铁军：2013年考研数学导学班讲义.doc

万学海文2013考研数学导学班辅导讲义主讲: 铁军 教授铁军教授简介：著名考研数学辅导专家，近几年在北京、南京、天津、沈阳、武汉、广州、上海、厦门等各大城市声名鹊起，成为与王式安、李永乐齐名的考研数学辅导“三驾马车”之一。铁军教授从事考研数学辅导工作以来，以其高屋建瓴、大气磅礴、睿智幽默的风格，对考点、重点、难点全面、深刻、透彻的把握，关爱学生、高度负责的态度以及对考题的精准预测，令考生受益无穷。特别是铁军老师的数学全程保过班，更是以无与伦比的连续性、系统性和考生的数学成绩大面积高分而受到广大莘莘学子的爱戴！ 2013年，考研竞争空前激烈！我们邀请铁军老师亲临海文面授，为您考研成功指点迷津，保驾护航。大师风范，品质感人！2013年，我们将与您携手并肩，您的理想将在您我的共同努力下实现。这是我们的信心，也将是您的信心！因为我们的自信，让您更加自信！数学考试根据工学、经济学、管理学各学科和专业对硕士研究生入学所应具备的数学知识和能力的不同要求，将数学统考试卷分为数学一、数学二、数学三。第一节 函数及其特性函数是微积分的研究对象，极限是微积分的理论基础，而连续性是可导性与可积性的重要条件。它们是每年必考的内容之一。【考点分析】按照考试大纲的要求，函数部分主要考查：函数的四个常见性态奇偶性、单调性、周期性、有界性与函数的两种运算复合运算和反函数运算。在历年的试题中，既有单纯考查函数有关知识的题目，也有许多把函数有关知识融汇于其他内容当中的综合性题目。题型以填空题和选择题为主。一、函数的奇偶性设函数的定义域为，若对于任，都有，称为偶函数；若对于任都有，称为奇函数。偶函数的图形关于轴对称，奇函数的图形关于坐标原点对称。【考点一】判别给定函数的奇偶性的主要方法是：不管的具体形式是什么，均计算的值。如果，则由定义知为偶函数；如果，则由定义知为奇函数。【例1】判别下列函数的奇偶性：（1）（2），（3）【考点二】设二阶可导，则有：（1） 若为奇函数，则为偶函数，为奇函数，且。简单地说，可导的奇函数的导数为偶函数。（2） 若为偶函数，则为奇函数，为偶函数，且。简单地说，可导的偶函数的导数为奇函数。【例2（1997数学三、四）】若在内 且，则在内有( C )（A）（B）（C）（D）二、函数的周期性对函数，若存在常数，使得对于定义域的每一个，仍在定义域内，且有，则称函数为周期函数，T称为的周期。【考点三】判断函数是否为周期函数，主要方法是根据周期函数的定义，要先找到一个非零常数，计算是否有等式成立。而对于抽象的周期函数，其周期一定与已知条件中所给的参数或常数有关，是其二倍、三倍。【例3】设对任何存在常数。证明是周期函数。【例4】设，则在内，（ ）.(A) 是周期函数，周期为 (B) 是周期函数，周期为(C) 是周期函数，周期为 (D) 不是周期函数【例5】设在上有定义，且恒有关系式成立，其中为正实数，证明是周期函数。【考点四】可导的周期函数的导函数是具有相同周期的周期函数。也就是说，如果函数f(x)二阶可导，且有，则，。【例6】设函数具有二阶导数，并满足且若 则（ ）(A) (B) (C) (D) 三、函数的有界性设函数在数集X上有定义，若存在正数M，使得对于每一个，都有 成立，称在X上有界，否则，即这样的M不存在，称在X上无界。 【考点五】（1）无界变量与无穷大量的区别：无穷大量一定是无界变量，但无界变量不一定是无穷大量。（2）非零的有界变量与无穷大量的乘积是无界变量，但不是无穷大量.【评注】(1) 无界变量与有界变量是函数有界性的正反两个方面。（2）用无穷大量的定义和无界变量的定义来区别这两个概念。是指，在x=x0处的充分小邻域内，对于所有的都可以任意大，而“无界”不要求“所有的”。【例7】当时，变量是（ ）（A）无穷小。（B）无穷大。（C）有界的，但不是无穷小量。（D）无界的，但不是无穷大。【例8】设数列，则下列断言正确的是（ ） （A）若发散，则必发散 （B）若无界，则必有界（C）若有界，则必为无穷小 （D）若为无穷小，则必为无穷小 四、函数的单调性设函数在区间上有定义，若对于上任意两点与且时，均有 ，则称函数在区间上单调增加（或单调减少）。如果其中的“”或“”改为“”），称函数在上严格单调增加（或严格单调减少）。设函数f(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导，若对任一，有在a,b上单调增加（减少）。注意： 若将上面的不等式的点（驻点）只有有限个，则结论仍成立。【考点六】（1）判断抽象的函数的单调性，在考试时采用举反例排除法，而尽量不用单调性的定义进行证明；（2）导数大于零的函数一定单调递增，但单调递增的可导函数的导数不一定严格大于零，其导数也可能等于零。【例9】设f(x)在内可导，且对任意，当时，都有，则（ ） （A） 对任意 （B）对任意 （C）函数单调增加 （D）函数单调增加 .第二节 数列的极限【考点分析】数列极限的考点主要包括：定义的理解，极限运算法则的理解，单调有界准则和夹逼准则求极限，利用定积分的定义求和式的极限等等。一、数列的极限1数列的极限无穷多个数按一定顺序排成一列：称为数列，记为数列称为数列的一般项或通项。设有数列和常数A。若对任意给定的，总存在自然数，当nN时，恒有 ，则称常数A为数列的极限，或称数列收敛于A，记为。没有极限的数列称为发散数列。收敛数列必为有界数列，其极限存在且唯一。2极限存在准则（1）定理1.1.4（夹逼定理）设在的某空心邻域内恒有，且有 ， 则极限 存在，且等于A .注 对其他极限过程及数列极限，有类似结论. （2）定理：单调有界数列必有极限. 3重要结论：（1）若，则，其中为任意常数。 （2）。 （3） 。【考点七】(1) 单调有界数列必有极限.(2) 单调递增且有上界的数列必有极限，单调递增且无上界的数列的极限为.（3）单调递减且有下界的数列必有极限，单调递减且无下界的数列的极限为.【评注】（1）在应用【考点七】进行证明时，有些题目中关于单调性与有界性的证明有先后次序之分，需要及时进行调整证明次序。（2）判定数列的单调性主要有三种方法：I 计算 . 若，则单调递增；若，则单调递减。II 当时，计算 . 若，则单调递增；若，则单调递减。III 令，将n改为x，得到函数。若可导，则当时，单调递增；当时，单调递减。【例1】(1) (武汉大学，2003年)设，, 证明：收敛，并求其极限。(2) （中国科学院，2002年）设 （n1），则 .【例2】（1）证明：对任意的正整数n，都有 成立.（2）设，证明数列收敛.【考点八】（夹逼准则）设有正整数，当时，且，则.【评注】在使用夹逼准则时，需要对通项进行“缩小”和“放大”，要注意：“缩小”应该是尽可能地大，而“放大”应该是尽可能地小，在这种情况下，如果仍然“夹”不住，那么就说明夹逼准则不适用于这个题目，要改用其他方法。【例3】求下列极限：【例4】设 （），求 .第三节 函数的极限【考点分析】函数极限的考点主要包括：用洛必达法则求未定式的极限，由已知极限求未知极限，极限中的参数问题，无穷小量阶的比较等等。【考点九】 也就是说，函数极限存在且等于A的充分必要条件是，左极限与右极限都存在，并且都等于A。【评注】在求极限时，如果函数中包含或项，则立即讨论左右极限和，再根据【考点九】判断双侧极限是否存在。【例1】当时，函数的极限（ ） （A）等于2. （B）等于0.（C）为（D）不存在但不为【例2】求极限【考点十】使用洛必达（）法则求型未定式的极限之前，一定要将所求极限尽可能地化简。化简的主要方法： （1）首先用等价无穷小进行代换。注意：等价无穷小代换只能在极限的乘除运算中使用，而不能在极限的加减运算中使用，但在极限的加减运算中高阶无穷小可以略去； （2）将极限值不为零的因子先求极限； （3）利用变量代换（通常是作倒代换，令） （4）恒等变形：通过因式分解或根式有理化消去零因子，将分式函数拆项、合并或通分达到化简的目的。【记忆要点】常见的等价无穷小代换：（一）基本情形：当时，我们有：（1）sinxx (2)arcsinxx （3）tanxx (4)arctanxx (5) (6) (7) (8) (9) (10)() （11） （12）（二）差函数中常用的等价无穷小代换：当时，我们有： （1） （2） （3） （4）（5） （6）【例3】（2003数学二）若是等价无穷小，则【例4】.【例5】若.【考点十一】（1）求幂指函数型不定式的极限，常用“换底法”或“用e抬起法”，化为型后再使用洛必达法则，即（2）计算型极限的最简单方法是使用如下的型极限计算公式：。推导如下（为简便，略去自变量）：【例6】【例7】求极限.【考点十二】（1）已知 A，则有： 若g(x) 0，则f (x) 0； 若f (x) 0，且A 0，则g(x) 0.（2）已知，若，则.【评注】在已知函数的极限求未知的参数问题时，【考点十二】是主要的分析问题与解决问题的方法。【例8】若，则a =，b =.【例9】已知函数，设试求的取值范围【考点十三】在已知条件或欲证结论中涉及到无穷小量阶的比较的话，则“不管三七二十一”，先用 无穷小量阶的比较的定义处理一下再说。【评注】无穷小量阶的比较，是一个重要考点。其主要方法是将两个无穷小量相除取极限，再由定义比较阶的高低。设是同一过程下的两个无穷小，即。若若则称是比低阶的无穷小；若若若则称与是等价无穷小。【例10】当的 （A）低阶无穷小。（B）高阶无穷小。（C）等价无穷小。（D）同阶但非等价无穷小。【例11】设当高阶的无穷小，则 （A）。（B）。（C）。（D）。【例12】已知当x 0时，与是等价无穷小，则 ( )(A) k=1, c =4 (B ) k=1,c =4(C) k=3,c =4 (D) k=3,c =4第四节 函数的连续性【考点分析】主要考点包括：函数连续的充要条件，间断点的类型及其判断，闭区间连续函数的性质定理及其应用等。一、函数的连续性与间断点. 函数连续性概念定义1 设函数在点的某邻域内有定义，若，则称函数在点处连续，并称为连续点。定义2 若函数在点的某个左（右）邻域内有定义，并且 ，则称函数在点处左（右）连续。显然，函数在点处连续的充要条件是在点既左连续又右连续。定义3 函数在开区间内连续，是指在内每点都连续；在闭区间上连续，是指在开区间内连续，并且在左端点处右连续，在右端点处左连续。使函数连续的区间，称为的连续区间。 . 函数的间断点及其分类 定义 函数不连续的点称为函数的间断点，即在点处有下列三种情况之一出现：（1）在点附近函数有定义，但在点无定义；（2）不存在；（3）与都存在，但则称在点处不连续，或称为函数的间断点。 间断点的分类 设为函数的间断点，间断点的分类是以 点的左、右极限来划分的。 第一类间断点 若与都存在，则称为第一类间断点： （1）若，则称为跳跃型间断点，并称为点的跳跃度； （2）若存在（即=），则称为可去间断点。此时，当在无定义时，可以补充定义，则在连续；当存在，但时，可以改变在的定义，定义极限值为该点函数值，则在连续。 第二类间断点 若与中至少有一个不存在，则称为第二类间断点，其中若与中至少有一个为无穷大，则称为无穷型间断点；否则称为摆动型间断点。【考点十四】在连续性的各种题型中，无论是确定函数（特别是分段函数）的间断点及其类型，还是利用连续性确定函数中的常数，解题方法的核心均为先求函数在一些特殊点（特别是无定义的点和分段函数的分段点）处的左右极限和，然后再根据间断点的定义与函数连续的充要条件求出相应结果。在由抽象函数构造的连续性选择题中，选择的次序应从最简单的函数开始，最简单的往往就是正确选项。【例1】设有定义，分别各有唯一的间断点，则必有间断点的函数是（ ）（A）fg(x) (B)f(x)g(x)(C)f(x)+g(x) (D)f(sinx)+g(sinx)【例2】设内有定义，为连续函数，且有间断点，则（A）必有间断点。（B）必有间断点。（C）必有间断点。（D）必有间断点。【例3】设函数处连续，则.【例4】函数的无穷间断点的个数为( )(A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3.二、闭区间上连续函数的性质定理定理 1.（有界性定理） 闭区间a,b上的连续函数必在a,b上有界。定理2. (最大值最小值定理) 闭区间a,b上的函数，必在a,b上有最大值和最小值，即在a,b上，至少存在两点，使得对a,b上的一切x，恒有 .此处与就是在a,b上最小值与最大值。定理 3.(介值定理) 设函数在闭区间a,b连续，m与M分别为在a,b上的最小值与最大值，则对于任一实数c(mcM)，至少存在一点，使。定理4.（零点定理或根的存在定理） 若在闭区间a,b上连续，且，则至少存在一点，使。【考点十五】设函数在区间上连续，且对任，均有，则函数在区间上必恒正或恒负（即在区间上必恒大于零或恒小于零）.【证明】反证之。假设在区间上不恒正且不恒负，则必存在使.又因为函数在区间上连续，所以在区间或区间上连续，且区间端点的函数值异号，即，故由闭区间上连续函数的零点定理知，至少存在一点或，使，这与已知条件矛盾。因此，所作的假设是错误的，函数在区间上必恒正或恒负（即在区间上必恒大于零或恒小于零）.【例5】设y=f(x)在（0，1）内具有二阶连续导数，且，求证：（1）对于（0，1）内任一点，存在唯一的成立。（2）令，求当时的极限值。第五节 罗尔定理中值定理是一元函数微分学的理论核心，它反映了导数更深刻的性质，是用导数与微分研究函数性质的理论基础，也是研究生考试的考核重点。罗尔定