循环小数的几个猜想的证明及推广.doc

芄蚀蚀膃膀蚀螂羆蒈虿袅膂莄螈羇羅芀螇蚇膀膆螆蝿羃蒅螅羁膈蒁螅肃肁莇螄螃芇芃莀袅聿腿荿羈芅蒇莈蚇肈莃蒈螀芃艿蒇袂肆膅蒆肄衿薄蒅螄膄蒀蒄袆羇莆蒃罿膃节蒂蚈羅膈蒂螁膁蒆薁袃羄莂薀羅腿芈蕿蚅羂芄薈袇芈膀薇罿肀葿薆虿芆莅薆螁聿芁薅袄芄膇蚄羆肇蒆蚃蚆袀莂蚂袈肅莈蚁羀羈芄蚀蚀膃膀蚀螂羆蒈虿袅膂莄螈羇羅芀螇蚇膀膆螆蝿羃蒅螅羁膈蒁螅肃肁莇螄螃芇芃莀袅聿腿荿羈芅蒇莈蚇肈莃蒈螀芃艿蒇袂肆膅蒆肄衿薄蒅螄膄蒀蒄袆羇莆蒃罿膃节蒂蚈羅膈蒂螁膁蒆薁袃羄莂薀羅腿芈蕿蚅羂芄薈袇芈膀薇罿肀葿薆虿芆莅薆螁聿芁薅袄芄膇蚄羆肇蒆蚃蚆袀莂蚂袈肅莈蚁羀羈芄蚀蚀膃膀蚀螂羆蒈虿袅膂莄螈羇羅芀螇蚇膀膆螆蝿羃蒅螅羁膈蒁螅肃肁莇螄螃芇芃莀袅聿腿荿羈芅蒇莈蚇肈莃蒈螀芃艿蒇袂肆膅蒆肄衿薄蒅螄膄蒀蒄袆羇莆蒃罿膃节蒂蚈羅膈蒂螁膁蒆薁袃羄莂薀羅腿芈蕿蚅羂芄薈袇芈膀薇罿肀葿薆虿芆莅薆螁聿芁薅袄芄膇蚄羆肇蒆蚃蚆袀莂蚂袈肅莈蚁羀羈芄蚀蚀膃膀蚀螂羆蒈虿袅膂莄螈羇羅芀螇蚇膀膆螆蝿羃蒅螅羁膈蒁螅肃肁莇螄螃 循环小数的几个猜想的证明及推广蒋晓云1，2 （1 南京师范大学 数学与计算机科学院 江苏 南京 210097； 2 桂林师范高等专科学校 数学与计算机科学系 广西 桂林 541001）摘要：陕西师范大学宋佳经过大量实际数值计算，提出了关于循环小数的几个猜想1，本文给出了这些猜想的证明并对猜想进行了推广，拓展了中小学数学课程资源。关键词：循环小数；猜想；数论1 引言为了叙述的方便，我们约定：既约分数（是素数，且）可化成循环小数, 最短循环节形式的循环小数我们称之为p-小数；最短循环节的长度称为该小数的长度。我们不妨设既约分数是真分数，即，这是因为对于既约分数（np），由带余除法n=pm+r（m为整数，rp），则，即一个整数与一个真分数的和,化为循环小数的循环节自小数点开始的。陕西师范大学宋佳经过大量实际计算，提出了关于循环小数的几个猜想1：猜想1：p-小数的长度是p-1因子。猜想2：所有的p-小数的长度都相等。猜想3：一旦掌握了一个p-小数，把该小数的各位数字依次轮换，所得到的结果仍为p-小数。2 猜想的证明我们知道，初等数论中有一个著名的定理：费尔马(Fermat)定理：若p为一个素数，a是任意非负整数，则定理1：（素数, ）可以化为纯循环小数。证明：素数，从而有（p, 10）=1, 由费尔马定理，我们有，p与10互素，所以，从而有整数c，使得，推出作者简介：蒋晓云（1963），男，广西桂林人，南京师范大学数学与计算机科学院访问学者，桂林师专副教授，主要研究方向为数学教育。，故，由于qp，所以,设，即，则有，即（素数, ）可以化为纯循环小数。猜想2的证明我们首先证明：（p是素数, ）的充要条件是：k满足。（1），从而,由于p与q互素，且，所以，即。（2）反过来，若，则有整数c，使得，从而有，故，由于q1, (a, m)=1,则，其中表示小于m且与m互素的自然数个数。既约真分数（，当时可化为循环小数，最短循环节的循环小数形式我们将之称为b-小数, 最短循环节的长度称为该b-小数的长度。通过类比迁移，我们可将猜想1和猜想2推广为：命题1：（1）b-小数的长度是欧拉函数值的因数。（2）所有的p-小数的长度都相等。证明：（1）既约真分数（，当时，由欧拉定理有：，则存在整数c，使得，从而有，故，由于a1时，k个轮换是互不相同的b-分数，设（），若, 不妨i1矛盾。所以，若时，i-轮换与j-轮换是不同的。规定：（）的b-分数是的b-分数的一个轮换。显然上述关系R为等价关系，它的等价分类就是全体b-分数满足命题2的条件的分类。分数和小数互化中有趣的问题还有很多，值得进一步探讨。参考文献：1宋佳. 关于循环小数的几个猜想J. 中学数学教学参考,2004（12）：.2杨世明，王雪芹.数学发现的艺术M .青岛：青岛海洋大学出版社,1998 蒅蒁薈肃芇莇蚇膆蒃蚅蚆袅芆薁蚆羈蒁薇蚅膀芄蒃蚄节膇螂蚃羂莂蚈蚂肄膅薄蚁膇莁蒀螀袆膃莆螀罿荿蚄蝿肁膂蚀螈芃蒇薆螇羃芀蒂螆肅蒅莈螅膇芈蚇螄袇蒄薃袄罿芇葿袃肂蒂莅袂膄芅螄袁羄肈蚀袀肆莃薆衿膈膆蒁袈袈莁莇袈羀膄蚆羇肃莀薂羆膅膃蒈羅袄莈莄羄肇膁螃羃腿蒆虿羂芁艿薅羂羁蒅蒁薈肃芇莇蚇膆蒃蚅蚆袅芆薁蚆羈蒁薇蚅膀芄蒃蚄节膇螂蚃羂莂蚈蚂肄膅薄蚁膇莁蒀螀袆膃莆螀罿荿蚄蝿肁膂蚀螈芃蒇薆螇羃芀蒂螆肅蒅莈螅膇芈蚇螄袇蒄薃袄罿芇葿袃肂蒂莅袂膄芅螄袁羄肈蚀袀肆莃薆衿膈膆蒁袈袈莁莇袈羀膄蚆羇肃莀薂羆膅膃蒈羅袄莈莄羄肇膁螃羃腿蒆虿羂芁艿薅羂羁蒅蒁薈肃芇莇蚇膆蒃蚅蚆袅芆薁蚆羈蒁薇蚅膀芄蒃蚄节膇螂蚃羂莂蚈蚂肄膅薄蚁膇莁蒀螀袆膃莆螀罿荿蚄蝿肁膂蚀螈芃蒇薆螇羃芀蒂螆肅蒅莈