竞赛复习科目：数学高中数学竞赛总复习（一）.doc

成都家教网 膈膆蒁袈袈莁莇袇羀膄蚆袇肂莀薂羆膅膂蒈羅袄莈莄羄羇膁蚂羃腿莆蚈羂芁艿薄羁羁蒄蒀薈肃芇莆薇膅蒃蚅薆袅芆薁蚅羇蒁蒇蚄肀芄莃蚄节肇螂蚃羂莂蚈蚂肄膅薄蚁膆莀蒀蚀袆膃莆虿羈荿蚄蝿肁膂薀螈膃莇蒆螇羃膀蒂螆肅蒅莈螅膇芈蚇螄袇蒄薃螃罿芆葿袃肁蒂莅袂膄芅蚃袁袃肇蕿袀肆芃薅衿膈膆蒁袈袈莁莇袇羀膄蚆袇肂莀薂羆膅膂蒈羅袄莈莄羄羇膁蚂羃腿莆蚈羂芁艿薄羁羁蒄蒀薈肃芇莆薇膅蒃蚅薆袅芆薁蚅羇蒁蒇蚄肀芄莃蚄节肇螂蚃羂莂蚈蚂肄膅薄蚁膆莀蒀蚀袆膃莆虿羈荿蚄蝿肁膂薀螈膃莇蒆螇羃膀蒂螆肅蒅莈螅膇芈蚇螄袇蒄薃螃罿芆葿袃肁蒂莅袂膄芅蚃袁袃肇蕿袀肆芃薅衿膈膆蒁袈袈莁莇袇羀膄蚆袇肂莀薂羆膅膂蒈羅袄莈莄羄羇膁蚂羃腿莆蚈羂芁艿薄羁羁蒄蒀薈肃芇莆薇膅蒃蚅薆袅芆薁蚅羇蒁蒇蚄肀芄莃蚄节肇螂蚃羂莂蚈蚂肄膅薄蚁膆莀蒀蚀袆膃莆虿羈荿蚄蝿肁膂薀螈膃莇蒆螇羃膀蒂螆肅蒅莈螅膇芈蚇螄袇蒄薃螃罿芆葿袃肁蒂莅袂膄芅蚃袁袃肇蕿袀肆芃薅衿膈膆蒁袈袈莁莇袇羀膄蚆袇肂莀薂羆膅膂蒈羅袄莈莄羄羇膁蚂羃腿莆蚈羂芁艿薄羁羁蒄蒀薈肃芇莆薇膅蒃蚅薆袅芆薁蚅羇蒁蒇蚄肀芄莃蚄节肇螂蚃羂 竞赛复习科目：数学 高中数学竞赛总复习（一） 复习内容：高中数学第三章-数列 编写时间：2005-5修订时间：总计第一次 2005-5 一、数列专题 （一）数列常见题型形式.一、以极限为载体，考查等比数列中当1时，等比数列极限不存在. 当1时，等比数列极限存在. 若等比数列和的极限存在，则一定有1. 当数列的极限存在是，则.1. 设为等差数列，为等比数列，且（a1a2），又，试求的首项与公差.2. 数列由下列条件确定：. 若数列的极限存在，且大于零，求的值.二、以对数为载体，充分考虑比例分数的合比与分比定理.例： 等比数列的公比是 .三、求参数最值通常考虑判别式法.1. 各项为实数的等差数列的公差为4，其首项的平方与其余各项之和不超过100，这样的数列至多有 项.四、 若以集合形式出现，常常题目要隐藏其集合的包含与被包含关系.1. 若 和 分别表示数列和前项和，对任意正整数，.设集合.若等差数列的任一项是中的最大数，且，求的通项公式.（二）求常见数列的方法.一、求数列的通项.I. 形如的一阶递归式，其通项求法为.II. 形如的递归式，其通项求法为.注意：形如当数字特殊时可考虑转化为的形式，再叠乘可求出通项.形如常需要转化为或.例如：有有有.1. 数列确定，求通项.2. 在数列中，且，求.III. 形如的递归式，有方法一，两式相减得，故是首项为，且公比为的等比数列，先求出，再求出.有方法二转化等比：.有方法三：迭代法=有公式，由确定. 有方法四：特征根方法.IV. 形如的递推式，有方法一两边同除以，得，令，则，仿2求得，再求. 有方法二递推法. 例如：当为一次函数时与相减有仿III. 可求出.1. 已知数列，中，且 （1）求； （2）求.V. 形如或的递推式，方法一两边取对数有，令，则，仿4求得，再求. 方法二有1. 在数列中，且，求2. 数列满足，求通项.VI. 高阶等差数列：形如任意两项之差成等差数列不如比等差数列为，则我们可用构造新数列使，最后.高阶等差数列：给定一个数列，令，则称数列为的一阶差数列，而的一阶差数列称为的二阶差数列，递推地，可以定义的阶差数列.如果数列的阶差数列是一非零常数列，则称数列是阶等差数列.=1时，数列就是我们通常所说的等差数列，时，数列称为高阶等差数列. 数列是阶等差数列的充要条件是：数列的通项是关于的次多项式. 例如：数列2、4、7、11、16经观察发现成等差，故令.进而有. 1. 求数列：1，3，8，20，43，81，的一个通项表达式.VII. 不动点法：设数列满足.若有两个不相等的不动点，则数列是等比数列，可用 来求. 若有两个相等的不动点，则数列是等差数列，公差d可用，来求. 注：形如亦可用不动点法.证明：令，即，令此方程的两个根为x1，x2，若x1=x2，则有其中k可以用待定系数法求解，然后再利用等差数列通项公式求解。注：如果有能力，可以将p的表达式记住，p=.若x1x2则有其中k可以用待定系数法求解，然后再利用等比数列通项公式求解。注：如果有能力，可以将q的表达式记住，q=.1. 设满足求通项.2. 数列满足求.VIII. 裂项法：常见的有等.1. 数列满足 ，且，求. IX. 取倒法：常用于对复杂分式转化为或等等常见数列形式.1. 在数列中，求.X. 换元法：数列中的通常把将数列通过换元构造位熟悉的等差、等比、或线性递推数列. 最重要的是三角换元法的应用.1. 已知数列的前项和与之间满足，且，求.2. 已知数列中，求通项. 3. 数列满足 且求通项.4. 设正数列满足，且，求.5. 已知数列 满足，求.二、求数列的和.I. 求导法：导数方法用于数列常是以求和形式出现，经常要与二项式定理联系（能够用错位相消法求和的数列问题，都可以用求导方法去做）.1. 已知，求数列的前项和.2. 已知，求数列的前项和.3. 求和.II. 形如时，则求和变为当为偶，-与+恰好抵消完；当为奇数时，剩一个-，故或.1. 已知是由非负整数组成的数列，满足求；证明求的通项公式及其前项和.三、周期数列.1. 设数列 定义求.2. 设数列满足，且对任意自然数都有又，则的值是 .【2005高中数学联赛预测】1. 各项为实数的等差数列的公差为4，其首项的平方与其余各项之和不超过100，这样的数列至多有 项.2. 设数列满足.（1）当时，求，并由此猜想出的一个通项公式；（2）当时，证明对所有的，有 ； 3. 数列满足：，求的整数部分.4. 3个数列存在下列关系：，这里为正常数.（1）求；（2）证明：若，必有0；（3）若数列的最小项为求的取值范围.5. 两个数列，满足 试求通项和6. 数列，满足 ，证明下列命题：（1）；（2）对任何正整数，有；（3）对任意整数，有.7. （不等式夹击法找数列范围）设等差数列的首项及公差均为非负整数，项数不小于3，且各项和为，则这样的数列共有（ ）A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 雷氏笔录数学组 编写 2005年5月18日竞赛复习科目：数学 高中数学竞赛总复习（二） 复习内容：高中数学第七、八章-解析几何编写时间：2005-5修订时间：总计第一次 2005-5 二、解析几何专题 一、 关于定值的证明. 平面解析几何有方法一：先取特殊位置，求出这个定值，再证明一般情况下也等于这个定值. 有方法二：直接证明法.1. 已知圆，直线.若连线的中点为M，与的交点为N， 求证为定值.2. 如图，M是圆C：上的动点，O是坐标原点，N是射线OM上的点，求N点的轨迹方程.二、共线问题经常转化为斜率相等这一重要条件，当然也可以用构造法大胆设参构造.1. 已知抛物线及定点.M是抛物线上的点，设直线AM、BM与抛物线的另一个交点为M1、M2.求证：当M点在抛物线上变动时（只要M1、M2 存在且）直线M1、M2恒过一个定点，并求出这个定点的坐标.三、看到有长度大小关系的直线方程时，又有动点与定点要考虑直线的参数方程.1. 过不在椭圆上任意一点P作两条直线和，分别交椭圆于A、B、C、D四点，若、的倾斜角为且.求证：A、B、C、D 四点共圆.四、曲线系方程.1. 已知MN是圆O的一条弦，R是弦MN的中点，过R任作两条相交弦AB和CD.过A，B，C，D四点的二次曲线T交MN于P，Q两点. 求证：R是PQ的中点.五、涉及整数点问题的最值问题用余数法.1. 直角坐标平面内横坐标与纵坐标都为整数的点称为格点，则平面内格点到直线的距离的最小值为 . 六、移坐标法，我们可把坐标轴平移，可使某个点成为新原点，这样可以减少运算.1. 已知椭圆C：上存在关于直线对称的两点，试求m的取值范围.【2005高中数学联赛预测】1. 是椭圆的两个焦点，P是椭圆上任意一点，则的最小值是 . 2. 设双曲线的两支为如图，正三角形PQR的三顶点位于此双曲线上.（1）求证：P、Q、R不能都在双曲线的同一支上；（2）设P（-1，- 1）在上，Q、R在，求顶点Q、R 的坐标.3. 已知椭圆：1(ab0)， 动圆：x2y2R2，其中bRa.若A是椭圆上的动点，B是动圆上的动点，且使直线AB与椭圆和动圆均相切，求A、B两点的距离|AB|的最大值. （2004年四川初赛试题）解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为:ykxm因为A既在椭圆上，又在直线AB上，从而有将(1)代入(2)得：(a2k2b2)x22kma2xa2(m2b2)0由于直线与椭圆相切，故(2kma2)24(a2k2b2)a2(m2b2)0从而可得：m2b2a2k2，x1 (3)同理，由B既在圆上又在直线AB上，可得：m2R(1k2)，x2 (4)由(3)(4)得：k2，x2x1|AB|2(x2x1)2(y2y1)2(1k2)(x2x1)2 a2b2R2 (ab)2(R)2(ab)2.即|AB|ab，当且仅当R时取等号.所以，A、B两点的距离|AB|的最大值为ab.雷氏笔录数学组 编写 2005年5月18日竞赛复习科目：数学 高中数学竞赛总复习（三） 复习内容：高中数学第三、七、八章编写时间：2005-5修订时间：总计第一次 2005-5 三、数列、解析几何热点专题 数列一、奇偶数列.若为奇数项的数列，若为偶数项的数列，则有.二、特征方程.形如（p、q为二阶常数）方法一用特征根方法求解.具体步骤：写出特征方程（对应，x对应），并设二根若可设，若可设；由初始值确定.有方法二，. 有方法三迭代法，迭代法是解决一切数列问题的通法.三、求和.主要方法：倒序相加、错位相减、数学归纳法.等差数列的前项和为，在0时，有最大值. 如何确定使取最大值时的值，有两种方法：一是求使0，成立的值；二是由利用二次函数的性质求的值.如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积，求此数列前项和可依照等比数列前项和的推倒导方法：错位相减求和. 例如：1+2+3 +n = 四、等差、等比数列. 若，均是等差数列，则也是等差数列. 两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列，此等差数列的首项就是原两个数列的第一个相同项，公差是两个数列公差的最小公倍数. 解析几何一、几种常见的圆锥曲线问题.题型示例一若椭圆的左右焦点分别是过且倾斜角为的直线交椭圆为两点，若则椭圆的离心率为e = .解： .注：本题变为求直线AB的方程，解法如上，将转为求,则可确定，又过，故直线AB方程可确定.如果采用定比分点，则运算量大，但是若A、B不在椭圆上或者有一个点不在椭圆上，则只有用定比分点了.题型示例二已知抛物线，当一条过焦点的直线与抛物线交于A,B两点,求的值.解（一）：当k存在时，代入则，当k不存在时，成立. 故成立.解（二）：题型示例三 如图，一条过焦点F的直线与抛物线交于A，B. A,M,O三点共线，MN是抛物线的准线. 求证：MBx轴. 证：为过O点直线，kAO= kOM，所以.综上：，. 故MB为平行x轴直线.变题：若证AOM共线呢？提示：要证AOM共线，即证kAO= kOM，下面就如上法炮制了.题型示例四如下图，抛物线的焦点为F，CD为准线，P为AB的中点. 求证：AMB共圆，CFD为直角.证（1）：因为，故AF = AC ,DF = DB. 又因为PM为梯形CABD的中位线，故PM =,故MP=AP=BP,所以AMB共圆， 且P为三角形AMB外心.证（2）：.注：题型示例四 拓展1：根据上述证明，可以推导以双曲线焦点弦，为直径为圆与准线是相交关系；以椭圆焦点弦为直径的圆与准线是相离关系.拓展2：ABM中最大角为90，这时是的临界条件，这条准线上其它的点与A、B构成的三角形是锐角，故若要使ABM为钝角，只需或为锐角.过A作垂直于AB的直线交L于E，则在E上方（不包括E）的点与A、B构成三角形为钝角，但是由于AB这条直线与准线要相交（这里要检验，是否在所求范围内），同理过B作垂直于AB的直线交L于F，则在F下方（不包括F）与A、B构成的三角形都是钝角.题型示例五如下图，抛物线，一直线交抛物线于A，B，且AOBO. 求证：直线AB过一定点.证：设,令lOA：y=kx令lOB：y=，故 ，故lAB可求得恒过(2P,0).题型示例六 已知抛物线，焦点为F，一直线交抛物线于A，B，求证：.证： ，.二、区域问题：当求整点个数常用数列逼近法.1. 直角坐标平面上，求满足不等式组的整点的个数.2. 一张纸上画有半径为R的圆O及圆O内一定点A，且OA=a，折叠纸片，使圆周上，某一点刚好与A点重合，这样的每一种折法，都留下一条直线折痕. 当取遍圆周上所有点时，求所有折痕所在直线上点的集合.（2003全国高中联赛）三、圆的幂与根轴. 过定点A 任作直线交定圆于B、C两点，则为定值，该定值称为定点A对定圆的幂1. 向以原是为圆心，半径为1的圆A和另一圆B所引切线长相等的点在直线上，求圆心B的轨迹方程.四、与数论结合.若g是质数，P是正整数，若构造出了10g+13p巧妙的解出p=11，g=143或p=23时g=23.1. 一次函数的图象经过点（10，13），它与x轴的交点为（p，0），与y轴的交点为（0，q），其中P是质数，q是正整数，则满足条件的所有一次函数为 .【2005高中数学联赛预测】1. (数形结合)已知两点A(- 2, 0),B(0 ,2),点C是圆上的任意一点，则的面积最小值是（ ）A. B. C. D. 2. (立体几何与余弦定理综合)设A，B，C，D是空间四个点，满足ABAC，ABAD，ACAD，则BCD是（ ）A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 不确定雷氏笔录数学组 编写 2005年5月24日竞赛复习科目：数学 高中数学竞赛总复习（四） 复习内容：高中数学第二章-函数 编写时间：2005-5修订时间：总计第一次 2005-5 四、函数专题 一、函数与方程.I. 发现和利用函数的奇偶性，函数的奇偶性常常与函数方程结合.1. 求的图象与x轴的交点坐标.II. 三元二个方程一定不能求出解，若要求出解一定是（无交叉项时）或（有交叉项时）或者是以x为主元，其判别式只有k=0故可求出其一变量的值.2. 已知且则 .3. 求三个实数x，y，z，使得它们同时满足下列方程： III. 求选对偶式解方程题或者利用不等式来凑，即凑出原方程小于某一常数，但此方程又等于这一常数.则等号成立条件即为方程的解. 例如：，则必有.1.求所有的实数x，使得. 二、函数的最值，对二次函数的值域属于R的充要条件是.1. 若k是实数，对任意三个实数a，b，c，存在一个以为三边长的三角形，求k的取值范围.三、函数与不等式.1. 设时，恒有，求证：当时，有. 雷氏笔录数学组 编写 2005年5月24日 竞赛复习科目：数学 高中数学竞赛总复习（五） 复习内容：高中数学第四章-三角函数 编写时间：2005-5修订时间：总计第一次 2005-5 五、三角函数专题 一、求三角函数的最