大学物理_清华版_第3讲ppt课件

第3讲 微分方程初等积分法(1),高等教育电子音像出版社,宁波大学 陶祥兴等 编,本讲内容提要,一、变量分离方程与初等积分法 二、可化为变量分离方程的类型 三、一阶线性微分方程和常数变易法,简 介,接下来我们主要讨论某些具体类型的常微分方程的初等解法。初等解法也称为初等积分法。其所以称为初等积分法，是因为最后把求解的问题转化成求积分，并将方程的通解用初等函数或它的积分表达出来。凡是能做到这一点的常微分方程，称为可积方程。虽然这些类型的方程很有限，但它们却反映了实际中出现的微分方程的相当部分。初等积分法也是方程求解的基本方法。因此掌握这类方程及初等解法是一个基础工作，也有重要的实际意义。,一、变量分离方程与初等积分法,本节我们要介绍一类最简单的一阶微分方程，即变量可分离方程，或者简称变量分离方程。并讲解这类方程的解法初等积分法。 定义3.1 形如 的方程，称为变量可分离方程。,特点: 右端是只含 的函数和只含 的函数 的乘积。 一般假设 分别为 的连续函数。 补充: 当 时,它可以写成 且称这样的微分方程为变量可分离的微分方 程。,下面给出变量可分离与变量不可分离的例子：,变量不可分离方程,变量可分离方程,变量分离方程的初等积分法,先看特殊情形：,则 就是 的原函数：,一般情形:当 时，原方程可以写成,即为变量可分离微分方程。我们 可以利用下面结 论来解方程。 命题3.1 设 是 的一个原函数, 是,的一个原函数，则 为方程,的(隐式)通解,其中C为任意常数。 由此结论可知：为求 的通解， 只需各自求 与 再加上任意常数即可。,这里我们假设,否则两个方程的 变换是不等价的。,等式两边出现多个不定积分号时，常加上一个任意常数“C1”。 此时，不定积分可以看成是原函数。,即,解:用变量替换,例3.1 求,的通解。,两边积分得,我们还要回过去看看作的假设是否产生了失根。,或,其中,为属于 的任意,常数。另外 , 也是方程的解。,附注: 上面我们在求,的通解时假设,但有时往往会碰到某些点,使得,对于这种情形，显然,也是解,且称,这种常函数的解为定常解。,的常数C得到，则这样的解已含在通解中。,(1) 若,可由,中取适合,下面我们小结两种情形下方程的解：,(2) 若,不可由,中取适当的,常数 得到，则这样的解不含在通解中，对这样的解要特别注意。在求方程,的所有解时，这样的解必须给予补上。,例3.2 求解微分方程,解:当,即,时，变量分离得到,两边积分得到,即,为方程的通解，其中,为非0的任意常数。,另外,也是原方程的解，但此解,中取 得到。,可在通解,这个方程是以微分形式出现,微分形式方程可以直接转化为变量已分离形式,例3.3 求解微分方程,因此原方程的通解为,其中 为任意常数。,解:化原方程为,时，由变量分离得到,当,两边积分即得,其中,为非0的任意常数。,化简得方程的通解:,另外,也是方程的解，且,可在通解中取 得到，即如果在通解,中允许 ，则,已含在,通解中，但,在通解中不能取到。,因此原方程的通解为:,Cauchy问题或者称初值问题，一般是先求通解，再由初始条件确定特解。,其中 为任意常数，及定常数解,例3.4 求Cauchy问题,的特解。,解: 先求方程的通解,当,时，变量分离得,两边积分即得,因而通解为:,其中 为任意常数。,另外 也是方程的解且不能在通解中取适当的常数 得到。,所以,所求的特解为：,再求特解：以 代入通解中以确定任意常数 ,得到 。,当,时,方程积分可得,例3.5 求方程,满足初始条件,的解,即,解得通解为:,为求满足初始条件 的解,以,代入上解，可求得 ，,因此所求特解为:,另外，易知,为方程的解，,但不满足初始条件,故它不是所求的第二个特解。,从图中可以看到：取不同的常数C，得到不同的积分曲线。 例如取C为-1时，积分曲线介于y=-1和y=1的区域中。 取C=1时，积分曲线分成两段。 从图中可以看到积分曲线的走向，以及渐近线等。,下图描绘了所给方程的积分曲线的分布状况,变量分离方程的初等解法归纳：,则化原方程为变量已分离方程,时,若,两边积分得,左右两边各自关于 和 求不定积分(原函数)，化,简后确定 与 的隐函数关系式，验证其为原方程的解，即得通解。,使得,则得,也是方程的解，如果此解不包括在通解中则须补上。,若存在,二、可化为变量分离方程的类型,前面，我们讲了变量分离方程总可以用初等积分法求解。有的方程，从表面上看不是变量分离方程，但可以经过若干次变量变换转化成变量可分类方程，因而可积。现在先讨论两类可转化方程。,其中,均为常数。,齐次方程； 形如 的方程。,齐次方程与变量变换,例如对于函数,因为,所以,特别地, 若 ,即对任意的,使得,则称,为变量 的0次齐次函数。,例如: 对于函数,因为,所以,为3次齐次函数。,定义3.2 设,为二元函数,若对任意的,使得,则称,为变量 的 次,齐次函数。,关于0次齐次函数,我们有下面的命题:,例如,或,命题3.2 设,为0次齐次函数,则,或,即本质上,可写成关于一,或,的函数。,为0次齐次函数。,个变元,齐次方程的初等解法：,例如:,是齐次方程。,定义3.3 若,次函数,则称微分方程,为齐次方程。,为变量 的0次齐,设,为齐次方程,则由命题3.2,或,我们仅讨论,的初等解法。,的讨论是类似的。,对于方程,作变量替换,于是,则原方程变为,整理后,得到,此即为变量分离方程。,若可求得通解,于是得到原方程的通解为,例3.6 求解方程,解: 令,当,时得到,两边积分得到,因此可得通解,其中,另外,即,也是方程的解，,但这已经包含在通解中。因此原方程的通解为,其中 为任意常数。,例3.7 求解方程,解: 将原方程改写为,这是齐次方程。令,化简并变量分离，当,时得到,两边积分得到,所以得到通解为,其中,另外,即,也是方程的解, 并且它不包,中 。,含在通解,因此原方程的通解为:,(其中,)及一个定常数解,例3.8 求方程,的通解,解: 判断此为齐次方程。令,则原方程变为,化简并变量分离得到,两边积分得到,化简并用,代入得到通解,当 时，则此方程属于齐次方程，从而可化成变量分离方程。,形如 的方程,当,即,则方程可写成,令,方程化为,这是变量分离方程 ，从而可用初等解法求解。,当,的情形,此时二元一次线性代数方程组,存在唯一解,若作变量替换,则原方程,变为,此为关于 的齐次方程，可用初等解法求解。,综上所述，形如,的方程可用初等解法求解。,例3.9 解方程,解: 因为,所以解代数方程组,得到,作变量替换,即,则原方程变为,这是齐次方程,令,两边积分得到,化简并变量分离得到,将,代回到上式 , 得到方程的通解为:,C为任意常数。,例3.10 解方程,解: 因为,令,则原方程化为,这是变量分离方程。当,时，变量分离得到,两边积分后代回,再化简得到通解,附注：从上面的讨论可以看到，无论是齐次方程还是形如上面的方程，作为变量变换的目的都是设法把方程化为变量分离方程，从而可用初等解法求解。因此从这个意义 上讲，对于一个给定的方程，如果能找到适当的变量变换, 将它化为变量分离方程，则总可用初等解法,另外,即,也是原方程的解，,但它包含在上述通解中（即取常数C=0），因此原方程的通解为：,其中 为任意常数。,求解。然而，对于一个具体的方程，能否找到变量变换将它化为变量分离方程以及怎样找这样的变量变换，则没有统一的方法。下面我们举一些作变量变换可化为变量分离方程的微分方程的例子。,可做变换,可做变换,可作变量变换,可作变量变换,可作变量变换,可作变量变换,可作变量变换,三、一阶线性微分方程和常数变易法,前面我们介绍了几类特殊的线性微分方程及对应的解法, 下面我们来讨论一下一般形式的一阶线性方程:,的解法。,首先我们对原方程变形得:,其中 在考虑区间上是关于 的连续函数。,下面求解方程(3.2)的通解。不难看出，方程(3.1)为(3.2)的特殊情形，两者既有联系又有差别，可以设想两者的解也应该有一定的联系而又有差别。,当,时 ，即,此时利用变量分离求解,易得通解为:,C 为任意常数。,我们称方程(3.1)为一阶线性微分方程。,一般地，,(3.2),称为一阶非齐线性方程。,(3.1),常数变易法：,具体解法：,令,两边微分,得,即,积分得:,所以(3.2)的通解为:,代入(3.2),将方程(3.1)通解中的常数变易为关于 的待定函数,若其为(3.2)式的解,的表达式。,代入(3.2)求出,例3.11 求解方程,解: 显然,这也是一个一阶非齐线性方程。,先求对应齐线性方程:,易求得通解为:,利用常数变易法,令,为任意常数。,为原方程的解。,代入原方程有:,即,积分得,从而可得原方程的通解为:,例3.12 求解方程,解: 显然这也是一个一阶非齐线性方程。,先解对应齐次线性方程:,分离变量后积分有:,得通解:,为任意常数。,利用常数变易法 ,令,为方程的解。,代入得,即,积分得,原方程的解为:,非齐线性方程的一个特解,对应齐线性方程的通解,结论：非齐线性方程(3.2)的通解，等于它所对应的齐线性方程(3.1)的通解与它本身的一个特解之和。,再仔细看一下非齐线性方程,的通解公式:,补充：伯努利 (Bernoulli)方程,定义3.4 形如 的方程，称伯努利 (Bernoulli)方程。,伯努利方程是一种非线性的一阶微分方程，但是 经过适当的变量变换之后，它可以化成一阶线性 方程。下面我们来看它的解法：,小问题: 为什么,这里,为 的连续函数 ,时,方程两边同乘,可得,令,有,代入得,此时为一阶线性方程,再利用常数变易法求解。,注: 需另考虑 也是方程的解 。,例3.13 求解方程,解: 这是 时的伯努力方程。,