函数的概念习题答案.doc

学院 姓名 学号 日期 函数的概念一、 选择题1.下列各对函数表示相同函数的是( B )A. B.C. D.2.的周期为（ D ）A. B. C. D.不存在3. 的定义域为 （ C ）（A） （B） （C） （D）二、填空题1.设函数, 则 2.设函数的定义域为, 则的定义域为3. 函数的反函数为.三、解答题1. 已知, 且,求的表达式及定义域.解：因为, 所以2. 判定 的奇偶性.解：由于，即，从而,并且,故为奇函数.3. 设, 求.解：当时, ,当时，即 4*. 收音机每台售价为90元，成本为60元，厂方为鼓励销售商大量采购，决定凡是定购量超过100台以上的，每多订购1台，售价就降低1分，但最低价为每台75元.（1）将每台的实际售价表示为订购量的函数；（2）将厂方所获的利润表示成订购量的函数；（3）某一商行订购了1000台，厂方可获利润多少？解：(1) 5.(*)设, .求解：当即时, ;当即时, 即 1.2 数列与函数的极限一、 选择题1.数列（ B）A.发散 B.收敛于0 C.收敛于-1 D.收敛于12. 下列数列中收敛的是（ B ）（A） （B） （C） （D）3. 设, 则（ B ）（） （） （） （）二、填空题1. 数列的通项 , 及 0 。2. 4 3. ， ， ， .三、解答题1.设, 求, , .2. 讨论函数在处的极限是否存在.3. 极限可改写成, 其中. 将下列极限完成这种改写, 并求出相应的(1) ; (2) .4*. 根据函数极限定义证明: 证明：对取, 当时，就有成立, 即5*.设. 试分别讨论在时的极限.证明：在时有：, , 从而不存在;, 从而极限的四则运算一、 选择题1.已知, 则（C ）A. B C. D.不存在2. 的值为（ C） A B C D 3. 当时，函数是（ D ）（A）无穷小；（B）无穷大；（C）有界的，但不是无穷小； （D）无界的，但不是无穷大.二、填空题1. 3 2. 的值为 3. 当 时，是无穷小；当 1时，是无穷大.4. 当 时，是无穷小；当 时，是无穷大.三、解答题1. ;解：因为 同理从而2. 解：3. 解：4. ;解：5. ;解：6. 解：四*.计算错在何处, 请指正.解：本题错在使用极限四则运算时, 必须每个极限都得存在, 而此时不存在.应该为：, 从而五*.计算的值.解：对分子分母同时有理化得极限存在的两个准则和两个重要极限一. 利用夹逼定理求下列极限：(1)证明：因为且, 由夹逼准则可知 (2) 证：，由夹逼准则可知二. 利用单调有界原理证明下列数列极限存在，并求出其极限：(1) 证明：i) 显然, 首先用数学归纳法证明.当时显然成立;假设时不等式也成立, 即;那么当时, 也成立, 从而对任意自然数都成立, 也就是数列有上界再证数列单调递增;事实上, , 此时可令, 则 从而, 即单调递增. 由单调有界原理可知, 的极限存在. ii) 下面给出数列的极限值.设, 则对两边取极限有： , 解之得 (2*) 证：显然 ， ，所以，数列单调递减，且有下界，设三. 计算下列极限：1. ； 2. ; 3. ; 4. ;5. ; 6. .解：1. 2. 3. 4. 5. 6. 四. 计算下列极限1. ; 2. .3. ； 4. 5. ; 6. .解：1. 2. 3. 4. 5. 6. 五*. 设,且存在, 求的值.解：, 由存在得, 六*. 设，.（1）证明数列单调增加，数列单调减少且满足；（2）证明数列和都收敛，并且有相同的极限.证明：（1）（2）设根据无穷小量的比较一、 选择题1.下列函数中当时,与无穷小相比是高阶无穷小的是（ D ） A B C D 2.函数在时, 若（ D ） A 不是无穷大, 则必有界 B 极限不存在, 则必为无界 C 是无界, 则必为无穷大 D 是无穷小, 则必存在极限3. 当时，为了使与等价，应为 （ C ）（A） （B） （C） （D）二、填空题1. 2.当时, 与比较是 3 阶无穷小量？三、利用等价无穷小量求下列极限1. ； 2. ; 3. ; 4. ; 5*. ; 6. .1解：2.解：因为从而, 所以即 , 所以, 即3. 4. 5. 解：原式6. 四. 当时, 若与等价, 求的值.解：依题意, 从而 , 解得五*. 求的值.解：原式 连续函数与间断点一、 选择题1.要使函数在处连续, 则要求补充定义（B ） A B C D 2. 函数在点处连续的充要条件是当时（ C ）（A）有极限 （B）的左右极限都存在（C）是无穷小量 （D）是无穷小量3. 下列函数在处不连续的是（B ） A B C D 二、填空题1.已知在实数集上连续, 则 2 ， .2.是的 第一类可去 间断点.三求下列函数的间断点，并指出其类型：1. ； 2. .1. 解：显然，且，从而为的第一类可去间断点，为的第二类无穷间断点。2. 解：这里，且 ，从而为的第二类无穷间断点，为的第一类跳跃间断点。四解答题1. 求函数，当时的增量.解：函数的增量2. 求函数的连续区间.解：显然，从而在上连续。3计算的值.解：因为，从而4. 设函数在内连续，求的值.解：由连续函数的定义可知，且从而五利用初等函数的连续性计算下列极限：1. ； 2. ； 3. .1.解： 2.解：3.解：六*. 讨论函数的连续性, 若有间断点, 判别其类型.解：函数在处连续, 且, 从而为的第一类可去间断点.七. 证明: 方程在区间上至少有一个实根.证明：令, 则, 从而, 由零点定理可知,至少存在, 使得, 即.八设函数f (x)，g(x)在 a,b 上连续且 f (a) g(a)，f (b) 0， F(b)=f (b)-g(b)0，据闭区间上连续函数的零值定理，可知：在（a,b）内至少存在一点，使F（）=0，即f ()-g ()=0，所以f ()=g ()，曲线y=f (x)与y=g (x)在（a,b）内至少有一个公共点，即至少存在一个交点。 证毕九*. 证明: 若在上连续, 且, 则在上必有点, 使得证明：由于在上连续, 从而有最小值与最大值, 即, 所以 , 由介质定理可知, 使得函数与极限 综合练习一、 选择题1. 函数的定义域是（A）A.， B.， C， D.2. 已知, 则（ B ）（A）2 （B）3 （C）3 （D）43. 下列极限中，正确的是 （ D ）（A） （B）（C） （D）4. 当时, 与相比是几阶无穷小量？（C） A B C D 解：，当时，所以选C5. 设函数在定义域内连续, 则的值为（C） A B C D 解：因为在定义域内连续，所以只需要在分断点处连续就可以了，要在处连续，即所以，即有 二、填空题1. 设, 则 2. 已知,则_25_,_-20_.解： 要使上式的极限存在，由于这里极限的过程是，极限存在，则必须分子分母的次数相同，即3. 的值为 解：因为这里的极限过程是，为类型，分子分母同除以，则4. 的值为 5. 已知当时，与是等价无穷小，则常数 _。解：当时， ， 与是等价无穷小，所以所以三、解答与证明1.计算下列极限：(1) (2) (3) (4) 解：（1）（2）（3）（4）2. 设, 求的值.解：依题意，当时，要使极限存在，可知，即，同时 此时有表示 ，则从而3. 指出下列函数的间断点，并说明这些间断点的类型，若是第一类可去间断点，请补充函数的定义使函数在改点连续.(1) (2) (3) (4) 解：(1), 且为可去间断点，可补充，同时为第二类无穷间断点. (2) 所以为第一类跳跃间断点，所以为第一类可去间断点，所以为第二类无穷间断点综上，为第一类跳跃间断点，为第二类无穷间断点，为第一类可去间断点，可补充(3) ，因为，从而为第一类跳跃间断点(4) ，且，所以为第一类可去间断点，可补充4.计算的值.解：5.设, 证明：极限存在, 且求出极限值.证明：显然，下面用数学归纳法证明 当时命题成立假设时命题成立，