苏科版九年级下第五章《二次函数》解答题专题训练(二)含答案.doc

二次函数解答题专题训练（2）一解答题（共30小题）1如图，抛物线y=ax2+2x3与x轴交于A、B两点，且B（1，0）（1）求抛物线的解析式和点A的坐标；（2）如图1，点P是直线y=x上的动点，当直线y=x平分APB时，求点P的坐标；（3）如图2，已知直线y=x分别与x轴、y轴交于C、F两点，点Q是直线CF下方的抛物线上的一个动点，过点Q作y轴的平行线，交直线CF于点D，点E在线段CD的延长线上，连接QE问：以QD为腰的等腰QDE的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由2如图，抛物线y=ax2+bx过A（4，0），B（1，3）两点，点C、B关于抛物线的对称轴对称，过点B作直线BHx轴，交x轴于点H（1）求抛物线的表达式；（2）直接写出点C的坐标，并求出ABC的面积；（3）点P是抛物线上一动点，且位于第四象限，当ABP的面积为6时，求出点P的坐标；（4）若点M在直线BH上运动，点N在x轴上运动，当以点C、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请直接写出此时CMN的面积3如图，在平面直角坐标系中，矩形OCDE的顶点C和E分别在y轴的正半轴和x轴的正半轴上，OC=8，OE=17，抛物线y=x23x+m与y轴相交于点A，抛物线的对称轴与x轴相交于点B，与CD交于点K（1）将矩形OCDE沿AB折叠，点O恰好落在边CD上的点F处点B的坐标为（、），BK的长是，CK的长是；求点F的坐标；请直接写出抛物线的函数表达式；（2）将矩形OCDE沿着经过点E的直线折叠，点O恰好落在边CD上的点G处，连接OG，折痕与OG相交于点H，点M是线段EH上的一个动点（不与点H重合），连接MG，MO，过点G作GPOM于点P，交EH于点N，连接ON，点M从点E开始沿线段EH向点H运动，至与点N重合时停止，MOG和NOG的面积分别表示为S1和S2，在点M的运动过程中，S1S2（即S1与S2的积）的值是否发生变化？若变化，请直接写出变化范围；若不变，请直接写出这个值温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便作答4如图，抛物线L：y=ax2+bx+c与x轴交于A、B（3，0）两点（A在B的左侧），与y轴交于点C（0，3），已知对称轴x=1（1）求抛物线L的解析式；（2）将抛物线L向下平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在OBC内（包括OBC的边界），求h的取值范围；（3）设点P是抛物线L上任一点，点Q在直线l：x=3上，PBQ能否成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若能，求出符合条件的点P的坐标；若不能，请说明理由5如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A和点B（3，0），与y轴交于点C（0，3）（1）求抛物线的解析式；（2）若点M是抛物线在x轴下方上的动点，过点M作MNy轴交直线BC于点N，求线段MN的最大值；（3）在（2）的条件下，当MN取得最大值时，在抛物线的对称轴l上是否存在点P，使PBN是等腰三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由6已知抛物线C：y=x23x+m，直线l：y=kx（k0），当k=1时，抛物线C与直线l只有一个公共点（1）求m的值；（2）若直线l与抛物线C交于不同的两点A，B，直线l与直线l1：y=3x+b交于点P，且，求b的值；（3）在（2）的条件下，设直线l1与y轴交于点Q，问：是否在实数k使SAPQ=SBPQ？若存在，求k的值，若不存在，说明理由7如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过ABC的三个顶点，其中点A（0，1），点B（9，10），ACx轴，点P是直线AC下方抛物线上的动点（1）求抛物线的解析式；（2）过点P且与y轴平行的直线l与直线AB、AC分别交于点E、F，当四边形AECP的面积最大时，求点P的坐标；（3）当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C、P、Q为顶点的三角形与ABC相似，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由8如图，抛物线y=x2+bx+c与直线y=x3交于A、B两点，其中点A在y轴上，点B坐标为（4，5），点P为y轴左侧的抛物线上一动点，过点P作PCx轴于点C，交AB于点D（1）求抛物线的解析式；（2）以O，A，P，D为顶点的平行四边形是否存在？如存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由（3）当点P运动到直线AB下方某一处时，过点P作PMAB，垂足为M，连接PA使PAM为等腰直角三角形，请直接写出此时点P的坐标9如图1，二次函数y1=（x2）（x4）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），其对称轴l与x轴交于点C，它的顶点为点D（1）写出点D的坐标（2）点P在对称轴l上，位于点C上方，且CP=2CD，以P为顶点的二次函数y2=ax2+bx+c（a0）的图象过点A试说明二次函数y2=ax2+bx+c（a0）的图象过点B；点R在二次函数y1=（x2）（x4）的图象上，到x轴的距离为d，当点R的坐标为时，二次函数y2=ax2+bx+c（a0）的图象上有且只有三个点到x轴的距离等于2d；如图2，已知0m2，过点M（0，m）作x轴的平行线，分别交二次函数y1=（x2）（x4）、y2=ax2+bx+c（a0）的图象于点E、F、G、H（点E、G在对称轴l左侧），过点H作x轴的垂线，垂足为点N，交二次函数y1=（x2）（x4）的图象于点Q，若GHNEHQ，求实数m的值10如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线C1：y=的顶点为M，与y轴相交于点N，先将抛物线C1沿x轴翻折，再向右平移p个单位长度后得到抛物线C2：直线l：y=kx+b经过M，N两点（1）结合图象，直接写出不等式x2+6x+2kx+b的解集；（2）若抛物线C2的顶点与点M关于原点对称，求p的值及抛物线C2的解析式；（3）若直线l沿y轴向下平移q个单位长度后，与（2）中的抛物线C2存在公共点，求34q的最大值11如图，直线l：y=x+1与x轴，y轴分别交于A，B两点，点P，Q是直线l上的两个动点，且点P在第二象限，点Q在第四象限，POQ=135（1）求AOB的周长；（2）设AQ=t0，试用含t的代数式表示点P的坐标；（3）当动点P，Q在直线l上运动到使得AOQ与BPO的周长相等时，记tanAOQ=m，若过点A的二次函数y=ax2+bx+c同时满足以下两个条件：6a+3b+2c=0；当mxm+2时，函数y的最大值等于，求二次项系数a的值12已知抛物线与x轴交于A（6，0）、B（，0）两点，与y轴交于点C，过抛物线上点M（1，3）作MNx轴于点N，连接OM（1）求此抛物线的解析式；（2）如图1，将OMN沿x轴向右平移t个单位（0t5）到OMN的位置，MN、MO与直线AC分别交于点E、F当点F为MO的中点时，求t的值；如图2，若直线MN与抛物线相交于点G，过点G作GHMO交AC于点H，试确定线段EH是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此时t的值；若不存在，请说明理由13如图，已知二次函数y=x2+bx+c的图象交x轴于点A（4，0）和点B，交y轴于点C（0，4）（1）求这个二次函数的表达式；（2）若点P在第二象限内的抛物线上，求四边形AOCP面积的最大值和此时点P的坐标；（2）在平面直角坐标系内，是否存在点Q，使A，B，C，Q四点构成平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由14如图所示，抛物线y=ax2x+c经过原点O与点A（6，0）两点，过点A作ACx轴，交直线y=2x2于点C，且直线y=2x2与x轴交于点D（1）求抛物线的解析式，并求出点C和点D的坐标；（2）求点A关于直线y=2x2的对称点A的坐标，并判断点A是否在抛物线上，并说明理由；（3）点P（x，y）是抛物线上一动点，过点P作y轴的平行线，交线段CA于点Q，设线段PQ的长为l，求l与x的函数关系式及l的最大值15如图，抛物线y=ax2+bx+c（a0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，3），且此抛物线的顶点坐标为M（1，4）（1）求此抛物线的解析式；（2）设点D为已知抛物线对称轴上的任意一点，当ACD与ACB面积相等时，求点D的坐标；（3）点P在线段AM上，当PC与y轴垂直时，过点P作x轴的垂线，垂足为E，将PCE沿直线CE翻折，使点P的对应点P与P、E、C处在同一平面内，请求出点P坐标，并判断点P是否在该抛物线上16综合与探究如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx8与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线l经过坐标原点O，与抛物线的一个交点为D，与抛物线的对称轴交于点E，连接CE，已知点A，D的坐标分别为（2，0），（6，8）（1）求抛物线的函数表达式，并分别求出点B和点E的坐标；（2）试探究抛物线上是否存在点F，使FOEFCE？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P是y轴负半轴上的一个动点，设其坐标为（0，m），直线PB与直线l交于点Q，试探究：当m为何值时，OPQ是等腰三角形17如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=a（x+1）23与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，），顶点为D，对称轴与x轴交于点H，过点H的直线l交抛物线于P，Q两点，点Q在y轴的右侧（1）求a的值及点A，B的坐标；（2）当直线l将四边形ABCD分为面积比为3：7的两部分时，求直线l的函数表达式；（3）当点P位于第二象限时，设PQ的中点为M，点N在抛物线上，则以DP为对角线的四边形DMPN能否为菱形？若能，求出点N的坐标；若不能，请说明理由18如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx经过两点A（1，1），B（2，2）过点B作BCx轴，交抛物线于点C，交y轴于点D（1）求此抛物线对应的函数表达式及点C的坐标；（2）若抛物线上存在点M，使得BCM的面积为，求出点M的坐标；（3）连接OA、OB、OC、AC，在坐标平面内，求使得AOC与OBN相似（边OA与边OB对应）的点N的坐标19如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点C，且B（1，0），C（0，3），将BOC绕点O按逆时针方向旋转90，C点恰好与A重合（1）求该二次函数的解析式；（2）若点P为线段AB上的任一动点，过点P作PEAC，交BC于点E，连结CP，求PCE面积S的最大值；（3）设抛物线的顶点为M，Q为它的图象上的任一动点，若OMQ为以OM为底的等腰三角形，求Q点的坐标20阅读：我们约定，在平面直角坐标系中，经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的直线，叫该点的“特征线”例如，点M（1，3）的特征线有：x=1，y=3，y=x+2，y=x+4问题与探究：如图，在平面直角坐标系中有正方形OABC，点B在第一象限，A、C分别在x轴和y轴上，抛物线经过B、C两点，顶点D在正方形内部（1）直接写出点D（m，n）所有的特征线；（2）若点D有一条特征线是y=x+1，求此抛物线的解析式；（3）点P是AB边上除点A外的任意一点，连接OP，将OAP沿着OP折叠，点A落在点A的位置，当点A在平行于坐标轴的D点的特征线上时，满足（2）中条件的抛物线向下平移多少距离，其顶点落在OP上？21如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（2，9），与y轴交于点A（0，5），与x轴交于点E、B（1）求二次函数y=ax2+bx+c的表达式；（2）过点A作AC平行于x轴，交抛物线于点C，点P为抛物线上的一点（点P在AC上方），作PD平行与y轴交AB于点D，问当点P在何位置时，四边形APCD的面积最大？并求出最大面积；（3）若点M在抛物线上，点N在其对称轴上，使得以A、E、N、M为顶点的四边形是平行四边形，且AE为其一边，求点M、N的坐标22如图，抛物线y=ax2+bx经过点A（1，0）和点B（5，0），与y轴交于点C（1）求抛物线的解析式；（2）以点A为圆心，作与直线BC相切的A，请判断A与y轴有怎样的位置关系，并说明理由；（3）在直线BC上方的抛物线上任取一点P，连接PB、PC，请问：PBC的面积是否存在最大值？若存在，求出这个值和此时点P的坐标；若不存在，请说明理由23如图，在矩形OABC纸片中，OA=7，OC=5，D为BC边上动点，将OCD沿OD折叠，当点C的对应点落在直线l：y=x+7上时，记为点E，F，当点C的对应点落在边OA上时，记为点G（1）求点E，F的坐标；（2）求经过E，F，G三点的抛物线的解析式；（3）当点C的对应点落在直线l上时，求CD的长；（4）在（2）中的抛物线上是否存在点P，使以E，F，P为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由24在直角坐标系xOy中，A（0，2）、B（1，0），将ABO经过旋转、平移变化后得到如图1所示的BCD（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）连结AC，点P是位于线段BC上方的抛物线上一动点，若直线PC将ABC的面积分成1：3两部分，求此时点P的坐标；（3）现将ABO、BCD分别向下、向左以1：2的速度同时平移，求出在此运动过程中ABO与BCD重叠部分面积的最大值25已知抛物线y=x2+（2m+1）x+m（m3）（m为常数，1m4）A（m1，y1），B（，y2），C（m，y3）是该抛物线上不同的三点，现将抛物线的对称轴绕坐标原点O逆时针旋转90得到直线a，过抛物线顶点P作PHa于H（1）用含m的代数式表示抛物线的顶点坐标；（2）若无论m取何值，抛物线与直线y=xkm（k为常数）有且仅有一个公共点，求k的值；（3）当1PH6时，试比较y1，y2，y3之间的大小26如图1（注：与图2完全相同），二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A（3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（1）求该二次函数的解析式；（2）设该抛物线的顶点为D，求ACD的面积（请在图1中探索）；（3）若点P，Q同时从A点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB，AC边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，当P，Q运动到t秒时，APQ沿PQ所在的直线翻折，点A恰好落在抛物线上E点处，请直接判定此时四边形APEQ的形状，并求出E点坐标（请在图2中探索）27如图，直线y=x+3与x轴、y轴分别相交于点B、C，经过B、C两点的抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P，且对称轴为直线x=2（1）求该抛物线的解析式；（2）连接PB、PC，求PBC的面积；（3）连接AC，在x轴上是否存在一点Q，使得以点P，B，Q为顶点的三角形与ABC相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由28如图，在直角坐标系中，抛物线y=a（x）2+与M交于A，B，C，D四点，点A，B在x轴上，点C坐标为（0，2）（1）求a值及A，B两点坐标；（2）点P（m，n）是抛物线上的动点，当CPD为锐角是，请求出m的取值范围；（3）点e是抛物线的顶点，M沿cd所在直线平移，点C，D的对应点分别为点C，D，顺次连接A，C，D，E四点，四边形ACDE（只要考虑凸四边形）的周长是否存在最小值？若存在，请求出此时圆心M的坐标；若不存在，请说明理由29如图1，已知一次函数y=x+3的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y=x2+bx+c过A、B两点，且与x轴交于另一点C（1）求b、c的值；（2）如图1，点D为AC的中点，点E在线段BD上，且BE=2ED，连接CE并延长交抛物线于点M，求点M的坐标；（3）将直线AB绕点A按逆时针方向旋转15后交y轴于点G，连接CG，如图2，P为ACG内以点，连接PA、PC、PG，分别以AP、AG为边，在他们的左侧作等边APR，等边AGQ，连接QR求证：PG=RQ；求PA+PC+PG的最小值，并求出当PA+PC+PG取得最小值时点P的坐标30如图，抛物线y=ax2+bx4（a0）与x轴交于A（4，0）、B（1，0）两点，过点A的直线y=x+4交抛物线于点C（1）求此抛物线的解析式；（2）在直线AC上有一动点E，当点E在某个位置时，使BDE的周长最小，求此时E点坐标；（3）当动点E在直线AC与抛物线围成的封闭线ACBDA上运动时，是否存在使BDE为直角三角形的情况，若存在，请直接写出符合要求的E点的坐标；若不存在，请说明理由31如图，已知抛物线y=ax2+2x+6（a0）交x轴与A，B两点（点A在点B左侧），将直尺WXYZ与x轴负方向成45放置，边WZ经过抛物线上的点C（4，m），与抛物线的另一交点为点D，直尺被x轴截得的线段EF=2，且CEF的面积为6（1）求该抛物线的解析式；（2）探究：在直线AC上方的抛物线上是否存在一点P，使得ACP的面积最大？若存在，请求出面积的最大值及此时点P的坐标；若不存在，请说明理由（3）将直尺以每秒2个单位的速度沿x轴向左平移，设平移的时间为t秒，平移后的直尺为WXYZ，其中边XY所在的直线与x轴交于点M，与抛物线的其中一个交点为点N，请直接写出当t为何值时，可使得以C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形32如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是以AB为直径的M的内接四边形，点A，B在x轴上，MBC是边长为2的等边三角形，过点M作直线l与x轴垂直，交M于点E，垂足为点M，且点D平分（1）求过A，B，E三点的抛物线的解析式；（2）求证：四边形AMCD是菱形；（3）请问在抛物线上是否存在一点P，使得ABP的面积等于定值5？若存在，请求出所有的点P的坐标；若不存在，请说明理由33如图，在平面直角坐标系中，有抛物线y=a（xh）2抛物线y=a（x3）2+4经过原点，与x轴正半轴交于点A，与其对称轴交于点B，P是抛物线y=a（x3）2+4上一点，且在x轴上方，过点P作x轴的垂线交抛物线y=a（xh）2于点Q，过点Q作PQ的垂线交抛物线y=a（xh）2于点Q（不与点Q重合），连结PQ，设点P的横坐标为m（1）求a的值；（2）当抛物线y=a（xh）2经过原点时，设PQQ与OAB重叠部分图形的周长为l求的值；求l与m之间的函数关系式；（3）当h为何值时，存在点P，使以点O，A，Q，Q为顶点的四边形是轴对称图形？直接写出h的值34已知，抛物线y=ax2（a0）经过点A（4，4），（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，抛物线上存在点B，使得AOB是以AO为直角边的直角三角形，请直接写出所有符合条件的点B的坐标：（3）如图2，直线l经过点C（0，1），且平行与x轴，若点D为抛物线上任意一点（原点O除外），直线DO交l于点E，过点E作EFl，交抛物线于点F，求证：直线DF一定经过点G（0，1）35如图，顶点为A（，1）的抛物线经过坐标原点O，与x轴交于点B（1）求抛物线对应的二次函数的表达式；（2）过B作OA的平行线交y轴于点C，交抛物线于点D，求证：OCDOAB；（3）在x轴上找一点P，使得PCD的周长最小，求出P点的坐标36如图，抛物线L：y=（xt）（xt+4）（常数t0）与x轴从左到右的交点为B，A，过线段OA的中点M作MPx轴，交双曲线y=（k0，x0）于点P，且OAMP=12，（1）求k值；（2）当t=1时，求AB的长，并求直线MP与L对称轴之间的距离；（3）把L在直线MP左侧部分的图象（含与直线MP的交点）记为G，用t表示图象G最高点的坐标；（4）设L与双曲线有个交点的横坐标为x0，且满足4x06，通过L位置随t变化的过程，直接写出t的取值范围37如图，抛物线C1：y=x2+2x的顶点为A，与x轴的正半轴交于点B（1）将抛物线C1上的点的横坐标和纵坐标都扩大到原来的2倍，求变换后得到的抛物线的解析式；（2）将抛物线C1上的点（x，y）变为（kx，ky）（|k|1），变换后得到的抛物线记作C2，抛物线C2的顶点为C，点P在抛物线C2上，满足SPAC=SABC，且APC=90当k1时，求k的值；当k1时，请直接写出k的值，不必说明理由38如图，在平面直角坐标系xOy中，将二次函数y=x21的图象M沿x轴翻折，把所得到的图象向右平移2个单位长度后再向上平移8个单位长度，得到二次函数图象N（1）求N的函数表达式；（2）设点P（m，n）是以点C（1，4）为圆心、1为半径的圆上一动点，二次函数的图象M与x轴相交于两点A、B，求PA2+PB2的最大值；（3）若一个点的横坐标与纵坐标均为整数，则该点称为整点求M与N所围成封闭图形内（包括边界）整点的个数39如图，已知二次函数y=x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（3，1），点C（0，4），顶点为点M，过点A作ABx轴，交y轴于点D，交该二次函数图象于点B，连结BC（1）求该二次函数的解析式及点M的坐标；（2）若将该二次函数图象向下平移m（m0）个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在ABC的内部（不包括ABC的边界），求m的取值范围；（3）点P是直线AC上的动点，若点P，点C，点M所构成的三角形与BCD相似，请直接写出所有点P的坐标（直接写出结果，不必写解答过程）40如图，已知抛物线y=x2x+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（1）求点A，B，C的坐标；（2）点E是此抛物线上的点，点F是其对称轴上的点，求以A，B，E，F为顶点的平行四边形的面积；（3）此抛物线的对称轴上是否存在点M，使得ACM是等腰三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由参考答案与解析1（2016深圳）如图，抛物线y=ax2+2x3与x轴交于A、B两点，且B（1，0）（1）求抛物线的解析式和点A的坐标；（2）如图1，点P是直线y=x上的动点，当直线y=x平分APB时，求点P的坐标；（3）如图2，已知直线y=x分别与x轴、y轴交于C、F两点，点Q是直线CF下方的抛物线上的一个动点，过点Q作y轴的平行线，交直线CF于点D，点E在线段CD的延长线上，连接QE问：以QD为腰的等腰QDE的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由【分析】（1）把B点坐标代入抛物线解析式可求得a的值，可求得抛物线解析式，再令y=0，可解得相应方程的根，可求得A点坐标；（2）当点P在x轴上方时，连接AP交y轴于点B，可证OBPOBP，可求得B坐标，利用待定系数法可求得直线AP的解析式，联立直线y=x，可求得P点坐标；当点P在x轴下方时，同理可求得BPO=BPO，又BPO在APO的内部，可知此时没有满足条件的点P；（3）过Q作QHDE于点H，由直线CF的解析式可求得点C、F的坐标，结合条件可求得tanQDH，可分别用DQ表示出QH和DH的长，分DQ=DE和DQ=QE两种情况，分别用DQ的长表示出QDE的面积，再设出点Q的坐标，利用二次函数的性质可求得QDE的面积的最大值【解答】解：（1）把B（1，0）代入y=ax2+2x3，可得a+23=0，解得a=1，抛物线解析式为y=x2+2x3，令y=0，可得x2+2x3=0，解得x=1或x=3，A点坐标为（3，0）；（2）若y=x平分APB，则APO=BPO，如图1，若P点在x轴上方，PA与y轴交于点B，由于点P在直线y=x上，可知POB=POB=45，在BPO和BPO中，BPOBPO（ASA），BO=BO=1，设直线AP解析式为y=kx+b，把A、B两点坐标代入可得，解得，直线AP解析式为y=x+1，联立，解得，P点坐标为（，）；若P点在x轴下方时，同理可得BOPBOP，BPO=BPO，又BPO在APO的内部，APOBPO，即此时没有满足条件的P点，综上可知P点坐标为（，）；（3）如图2，作QHCF，交CF于点H，CF为y=x，可求得C（，0），F（0，），tanOFC=，DQy轴，QDH=MFD=OFC，tanHDQ=，不妨设DQ=t，DH=t，HQ=t，QDE是以DQ为腰的等腰三角形，若DQ=DE，则SDEQ=DEHQ=tt=t2，若DQ=QE，则SDEQ=DEHQ=2DHHQ=tt=t2，t2t2，当DQ=QE时DEQ的面积比DQ=DE时大设Q点坐标为（x，x2+2x3），则D（x， x），Q点在直线CF的下方，DQ=t=x（x2+2x3）=x2x+，当x=时，tmax=3，（SDEQ）max=t2=，即以QD为腰的等腰三角形的面积最大值为【点评】本题主要考查二次函数的综合应用，涉及知识点有待定系数法、角平分线的定义、全等三角形的判定和性质、三角形的面积、等腰三角形的性质、二次函数的性质及分类讨论等在（2）中确定出直线AP的解析式是解题的关键，在（3）中利用DQ表示出QDE的面积是解题的关键本题考查知识点较多，综合性较强，计算量大，难度较大2（2016丹东）如图，抛物线y=ax2+bx过A（4，0），B（1，3）两点，点C、B关于抛物线的对称轴对称，过点B作直线BHx轴，交x轴于点H（1）求抛物线的表达式；（2）直接写出点C的坐标，并求出ABC的面积；（3）点P是抛物线上一动点，且位于第四象限，当ABP的面积为6时，求出点P的坐标；（4）若点M在直线BH上运动，点N在x轴上运动，当以点C、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请直接写出此时CMN的面积【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的表达式；（2）根据二次函数的对称轴x=2写出点C的坐标为（3，3），根据面积公式求ABC的面积；（3）因为点P是抛物线上一动点，且位于第四象限，设出点P的坐标（m，m2+4m），利用差表示ABP的面积，列式计算求出m的值，写出点P的坐标；（4）分别以点C、M、N为直角顶点分三类进行讨论，利用全等三角形和勾股定理求CM或CN的长，利用面积公式进行计算【解答】解：（1）把点A（4，0），B（1，3）代入抛物线y=ax2+bx中，得 解得：，抛物线表达式为：y=x2+4x；（2）点C的坐标为（3，3），又点B的坐标为（1，3），BC=2，SABC=23=3； （3）过P点作PDBH交BH于点D，设点P（m，m2+4m），根据题意，得：BH=AH=3，HD=m24m，PD=m1，SABP=SABH+S四边形HAPDSBPD，6=33+（3+m1）（m24m）（m1）（3+m24m），3m215m=0，m1=0（舍去），m2=5，点P坐标为（5，5） （4）以点C、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，分三类情况讨论：以点M为直角顶点且M在x轴上方时，如图2，CM=MN，CMN=90，则CBMMHN，BC=MH=2，BM=HN=32=1，M（1，2），N（2，0），由勾股定理得：MC=，SCMN=；以点M为直角顶点且M在x轴下方时，如图3，作辅助线，构建如图所示的两直角三角形：RtNEM和RtMDC，得RtNEMRtMDC，EM=CD=5，MD=ME=2，由勾股定理得：CM=，SCMN=；以点N为直角顶点且N在y轴左侧时，如图4，CN=MN，MNC=90，作辅助线，同理得：CN=，SCMN=17；以点N为直角顶点且N在y轴右侧时，作辅助线，如图5，同理得：CN=，SCMN=5；以C为直角顶点时，不能构成满足条件的等腰直角三角形；综上所述：CMN的面积为：或或17或5【点评】本题是二次函数的综合题，考查了利用待定系数法求二次函数的表达式，考查了等腰直角三角形和全等三角形的判定和性质；本题的一般思路为：根据函数的表达式设出点的坐标，利用面积公式直接表示或求和或求差列式，求出该点的坐标；利用等腰直角三角形的两直角边相等，构建两直角三角形全等，再利用全等性质与点的坐标结合解决问题3（2016沈阳）如图，在平面直角坐标系中，矩形OCDE的顶点C和E分别在y轴的正半轴和x轴的正半轴上，OC=8，OE=17，抛物线y=x23x+m与y轴相交于点A，抛物线的对称轴与x轴相交于点B，与CD交于点K（1）将矩形OCDE沿AB折叠，点O恰好落在边CD上的点F处点B的坐标为（10、0），BK的长是8，CK的长是10；求点F的坐标；请直接写出抛物线的函数表达式；（2）将矩形OCDE沿着经过点E的直线折叠，点O恰好落在边CD上的点G处，连接OG，折痕与OG相交于点H，点M是线段EH上的一个动点（不与点H重合），连接MG，MO，过点G作GPOM于点P，交EH于点N，连接ON，点M从点E开始沿线段EH向点H运动，至与点N重合时停止，MOG和NOG的面积分别表示为S1和S2，在点M的运动过程中，S1S2（即S1与S2的积）的值是否发生变化？若变化，请直接写出变化范围；若不变，请直接写出这个值温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便作答【分析】（1）根据四边形OCKB是矩形以及对称轴公式即可解决问题在RTBKF中利用勾股定理即可解决问题设OA=AF=x，在RTACF中，AC=8x，AF=x，CF=4，利用勾股定理即可解决问题（2）不变S1S2=289由GHNMHG，得=，得到GH2=HNHM，求出GH2，根据S1S2=OGHNOGHM即可解决问题【解答】解：（1）如图1中，抛物线y=x23x+m的对称轴x=10，点B坐标（10，0），四边形OBKC是矩形，CK=OB=10，KB=OC=8，故答案分别为10，0，8，10在RTFBK中，FKB=90，BF=OB=10，BK=OC=8，FK=6，CF=CKFK=4，点F坐标（4，8）设OA=AF=x，在RTACF中，AC2+CF2=AF2，（8x）2+42=x2，x=5，点A坐标（0，5），代入抛物线y=x23x+m得m=5，抛物线为y=x23x+5（2）不变S1S2=289理由：如图2中，在RTEDG中，GE=EO=17，ED=8，DG=15，CG=CDDG=2，OG=2，GPOM，MHOG，NPM=NHG=90，HNG+HGN=90，PNM+PMN=90，HNG=PNM，HGN=NMP，NMP=HMG，GHN=GHM，GHNMHG，=，GH2=HNHM，GH=OH=，HNHM=17，S1S2=OGHNOGHM=（2）217=289【点评】本题考查二次函数综合题、矩形的性质、翻折变换相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是证明GHNMHG求出HNHM的值，属于中考压轴题4（2016玉林）如图，抛物线L：y=ax2+bx+c与x轴交于A、B（3，0）两点（A在B的左侧），与y轴交于点C（0，3），已知对称轴x=1（1）求抛物线L的解析式；（2）将抛物线L向下平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在OBC内（包括OBC的边界），求h的取值范围；（3）设点P是抛物线L上任一点，点Q在直线l：x=3上，PBQ能否成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若能，求出符合条件的点P的坐标；若不能，请说明理由【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式即可；（2）先求出直线BC解析式为y=x+3，再求出抛物线顶点坐标，得出当x=1时，y=2；结合抛物线顶点坐即可得出结果；（3）设P（m，m2+2m+3），Q（3，n），由勾股定理得出PB2=（m3）2+（m2+2m+3）2，PQ2=（m+3）2+（m2+2m+3n）2，BQ2=n2+36，过P点作PM垂直于y轴，交y轴与M点，过B点作BN垂直于MP的延长线于N点，由AAS证明PQMBPN，得出MQ=NP，PM=BN，则MQ=m2+2m+3n，PN=3m，得出方程m2+2m+3n=3m，解方程即可【解答】解：（1）抛物线的对称轴x=1，B（3，0），A（1，0）抛物线y=ax2+bx+c过点C（0，3）当x=0时，c=3又抛物线y=ax2+bx+c过点A（1，0），B（3，0），抛物线的解析式为：y=x2+2x+3；（2）C（0，3），B（3，0），直线BC解析式为y=x+3，y=x2+2x+3=（x1）2+4，顶点坐标为（1，4）对于直线BC：y=x+1，当x=1时，y=2；将抛物线L向下平移h个单位长度，当h=2时，抛物线顶点落在BC上；当h=4时，抛物线顶点落在OB上，将抛物线L向下平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在OBC内（包括OBC的边界），则2h4；（3）设P（m，m2+2m+3），Q（3，n），当P点在x轴上方时，过P点作PM垂直于y轴，交y轴与M点，过B点作BN垂直于MP的延长线于N点，如图所示：B（3，0），PBQ是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，BPQ=90，BP=PQ，则PMQ=BNP=90，MPQ=NBP，在PQM和BPN中，PQMBPN（AAS），PM=BN，PM=BN=m2+2m+3，根据B点坐标可得PN=3m，且PM+PN=6，m2+2m+3+3m=6，解得：m=1或m=0，P（1，4）或P（0，3）当P点在x轴下方时，过P点作PM垂直于l于M点，过B点作BN垂直于MP的延长线与N点，同理可得PQMBPN，PM=BN，PM=6（3m）=3+m，BN=m22m3，则3+m=m22m3，解得m=或P（，）或（，）综上可得，符合条件的点P的坐标是（1，4），（0，3），（，）和（，）【点评】本题是二次函数综合题目，考查了用待定系数法求出抛物线的解析式、抛物线的顶点式、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、坐标与图形性质等知识；本题综合性强，有一定难度，特别是（3）中，需要通过作辅助线证明三角形全等才能得出结果5（2016漳州）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A和点B（3，0），与y轴交于点C（0，3）（1）求抛物线的解析式；（2）若点M是抛物线在x轴下方上的动点，过点M作MNy轴交直线BC于点N，求线段MN的最大值；（3）在（2）的条件下，当MN取得最大值时，在抛物线的对称轴l上是否存在点P，使PBN是等腰三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）由点B、C的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）设出点M的坐标以及直线BC的解析式，由点B、C的坐标利用待定系数法即可求出直线BC的解析式，结合点M的坐标即可得出点N的坐标，由此即可得出线段MN的长度关于m的函数关系式，再结合点M在x轴下方可找出m的取值范围，利用二次函数的性质即可解决最值问题；（3）假设存在，设出点P的坐标为（2，n），结合（2）的结论可求出点N的坐标，结合点N、B的坐标利用两点间的距离公式求出线段PN、PB、BN的长度，根据等腰三角形的性质分类讨论即可求出n值，从而得出点P的坐标【解答】解：（1）将点B（3，0）、C（0，3）代入抛物线y=x2+bx+c中，得：，解得：，抛物线的解析式为y=x24x+3（2）设点M的坐标为（m，m24m+3），设直线BC的解析式为y=kx+3，把点点B（3，0）代入y=kx+3中，得：0=3k+3，解得：k=1，直线BC的解析式为y=x+3MNy轴，点N的坐标为（m，m+3）抛物线的解析式为y=x24x+3=（x2）21，抛物线的对称轴为x=2，点（1，0）在抛物线的图象上，1m3线段MN=m+3（m24m+3）=m2+3m=+，当m=时，线段MN取最大值，最大值为（3）假设存在设点P的坐标为（2，n）当m=时，点N的坐标为（，），PB=，PN=，BN=PBN为等腰三角形分三种情况：当PB=PN时，即=，解得：n=，此时点P的坐标为（2，）；当PB=BN时，即=，解得：n=，此时点P的坐标为（2，）或（2，）；当PN=BN时，即=，解得：n=，此时点P的坐标为（2，）或（2，）综上可知：在抛物线的对称轴l上存在点P，使PBN是等腰三角形，点的坐标为（2，）、（2，）、（2，）、（2，）或（2，）【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、两点间的距离以及等腰三角形的性质，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出函数解析式；（2）利用二次函数的性质解决最值问题；（3）分类讨论本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，利用配方法将二次函数解析式变形为顶点式，再结合二次函数的性质解决最值问题是关键6（2016内江）已知抛物线C：y=x23x+m，直线l：y=kx（k0），当k=1时，抛物线C与直线l只有一个公共点（1）求m的值；（2）若直线l与抛物线C交于不同的两点A，B，直线l与直线l1：y=3x+b交于点P，且，求b的值；（3）在（2）的条件下，设直线l1与y轴交于点Q，问：是否在实数k使SAPQ=SBPQ？若存在，求k的值，若不存在，说明理由【分析】（1）两图象有一个交点，则对应的方程组有一组解，即=0，代入计算即可求出m的值；（2）作出辅助线，得到OACOPD， +=2，同理+=2，AC，BE是x2（k+3）x+4=0两根，即可；（3）由SAPQ=SBPQ得到AC+BE=2PD，建立方程（k+3）2=16即可【解答】解：（1）当k=1时，抛物线C与直线l只有一个公共点，直线l解析式为y=x，x23x+m=x，x24x+m=0，=164m=0，m=4，（2）如图，分别过点A，P，B作y轴的垂线，垂足依次为C，D，E，则OACOPD， 同理， +=，+=2 +=2 +=，即= 解方程组，得，x=，即PD=| 由方程组消去y，得x2（k+3）x+4=0 AC，BE是以上一元二次方程的两根，AC+BE=k+3，ACBE=4 当b0时， 解得b=8 当b0时，=，b=8，（3）不存在理由如下：假设存在，当SAPQ=SBPQ时，有AP=PB，于是PDAC=PEPD，即AC+BE=2PD 由（2）可知AC+BE=k+3，PD=，k+3=2，即（k+3）2=16 解得k=1（舍去k=7） 当k=1时，A，B两点重合，BQA不存在 不存在实数k使SAPQ=SBPQ【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了相似三角形的性质和判定，比例的性质，一元二次方程的根与系数的关系，解本题的关键是灵活运用根与系数的关系7（2016潍坊）如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过ABC的三个顶点，其中点A（0，1），点B（9，10），ACx轴，点P是直线AC下方抛物线上的动点（1）求抛物线的解析式；（2）过点P且与y轴平行的直线l与直