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文档简介

第2讲 圆锥曲线的综合问题A组小题提速练一、选择题1已知双曲线1与直线y2x有交点,则双曲线离心率的取值范围为()A(1,)B(1,C(,) D,)解析:双曲线的一条渐近线方程为yx,则由题意得2,e.答案:C2(2018河南八市联考)已知点M(3,2)是坐标平面内一定点,若抛物线y22x的焦点为F,点Q是该抛物线上的一动点,则|MQ|QF|的最小值是()A. B3C. D2解析:抛物线的准线方程为x,依据抛物线的定义,得|QM|QF|xQ3|,选C.答案:C3已知圆C:x2y26x8y210,抛物线y28x的准线为l,设抛物线上任意一点P到直线l的距离为m,则m|PC|的最小值为()A5 B.C.2 D4解析:由题得,圆C的圆心坐标为(3,4),抛物线的焦点为F(2,0)根据抛物线的定义,得m|PC|PF|PC|FC|.答案:B4若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为1,则椭圆长轴长的最小值为()A1 B.C2 D2解析:设椭圆C:1(ab0),则使三角形面积最大时,三角形在椭圆上的顶点为椭圆短轴端点,所以S2cbbc1.所以a22.所以a.所以长轴长2a2,故选D.答案:D5以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A,B两点,交C的准线于D,E两点已知|AB|4,|DE|2,则C的焦点到准线的距离为()A2 B4C6 D8解析:设抛物线的方程为y22px(p0),圆的方程为x2y2r2.|AB|4,|DE|2,抛物线的准线方程为x,不妨设A,D.点A,D在圆x2y2r2上,85,p4(负值舍去)C的焦点到准线的距离为4.答案:B6(2018赣州模拟)若点A的坐标为(3,2),F是抛物线y22x的焦点,点M在抛物线上移动时,使|MF|MA|取得最小值的M的坐标为()A(0,0) B.C(1,) D(2,2)解析:过M点作准线的垂线,垂足是N,则|MF|MA|MN|MA|,当A,M,N三点共线时,|MF|MA|取得最小值,此时M(2,2)答案:D7(2018湖南师大附中月考)设双曲线C:1(a0,b0)的一条渐近线与抛物线y2x的一个交点的横坐标为x0,若x01,则双曲线C的离心率e的取值范围是()A. B(,)C(1,) D.解析:联立消去y得x2x,由x01知1,即1,故e21,所以1eb0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交E于A,B两点若AB的中点坐标为(1,1),则E的方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析:因为直线AB过点F(3,0)和点(1,1),所以直线AB的方程为y(x3),代入椭圆方程1消去y,得(b2)x2a2xa2a2b20,所以AB的中点的横坐标为1,即a22b2,又a2b2c2,所以bc3,选择D.答案:D12若双曲线1(a0,b0)的离心率e,点A(0,1)与双曲线上的点的最小距离是,则该双曲线的方程为()A.y21 B.y21C.y21 D.1解析:由c,知,解得a2b,所以双曲线的方程为1,即为x24y24b2.设B(x,y)是双曲线上任意一点,故|AB|2x2(y1)24b24y2(y1)2524b2,当y时,|AB|取得最小值 ,解得b1,所以该双曲线的方程为y21.答案:C二、填空题13若椭圆短轴的一个端点与两焦点组成一个正三角形,且焦点到同侧顶点的距离为1,则椭圆的标准方程为_解析:由题意可知b2a2c23.椭圆方程为1或1.答案:1或114双曲线1(a0,b0)的渐近线为正方形OABC的边OA,OC所在的直线,点B为该双曲线的焦点若正方形OABC的边长为2,则a_.解析:双曲线1的渐近线方程为yx,由已知可得两条渐近线方程互相垂直,由双曲线的对称性可得1.又正方形OABC的边长为2,所以c2,所以a2b2c2(2)2,解得a2.答案:215已知直线l:ykxt与圆:x2(y1)21相切,且与抛物线C:x24y交于不同的两点M,N,则实数t的取值范围是_解析:因为直线l与圆相切,所以1k2t22t.再把直线l的方程代入抛物线方程并整理得x24kx4t0,于是由16k216t16(t22t)16t0,得t0或t0或t0,b0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线,交C于点P.若点P的横坐标为2a,则C的离心率为_解析:设直线方程为y(xc),由,得x,由2a,e,解得e2(e2舍去)答案:2B组大题规范练1已知动点M到定点F1(2,0)和F2(2,0)的距离之和为4.(1)求动点M的轨迹C的方程;(2)设N(0,2),过点P(1,2)作直线l,交曲线C于不同于N的两点A,B,直线NA,NB的斜率分别为k1,k2,求k1k2的值解析:(1)由椭圆的定义,可知点M的轨迹是以F1,F2为焦点,4为长轴长的椭圆由c2,a2,得b2.故动点M的轨迹C的方程为1.(2)当直线l的斜率存在时,设其方程为y2k(x1),由得(12k2)x24k(k2)x2k28k0.4k(k2)24(12k2)(2k28k)0,则k0或kb0)的离心率为,左焦点为F(1,0),过点D(0,2)且斜率为k的直线l交椭圆于A,B两点(1)求椭圆C的标准方程;(2)在y轴上,是否存在定点E,使恒为定值?若存在,求出E点的坐标和这个定值;若不存在,说明理由解析:(1)由已知可得解得a22,b21,所以椭圆C的标准方程为y21.(2)设过点D(0,2)且斜率为k的直线l的方程为ykx2,由消去y整理得(12k2)x28kx60,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2,x1x2.又y1y2(kx12)(kx22)k2x1x22k(x1x2)4.y1y2(kx12)(kx22)k(x1x2)4.设存在点E(0,m),则(x1,my1),(x2,my2),所以x1x2m2m(y1y2)y1y2m2m.要使得t(t为常数),只需t,从而(2m222t)k2m24m10t0,即解得m,从而t,故存在定点E,使恒为定值.3已知椭圆C:1(ab0)的右焦点为F(1,0),且点P在椭圆C上,O为坐标原点(1)求椭圆C的标准方程;(2)设过定点T(0,2)的直线l与椭圆C交于不同的两点A,B,且AOB为锐角,求直线l的斜率k的取值范围解析:(1)由题意,得c1,所以a2b21.因为点P在椭圆C上,所以1,所以a24,b23.则椭圆C的标准方程为1.(2)设直线l的方程为ykx2,点A(x1,y1),B(x2,y2),由得(4k23)x216kx40.因为48(4k21)0,所以k2,由根与系数的关系,得x1x2,x1x2.因为AOB为锐角,所以0,即x1x2y1y20.所以x1x2(kx12)(kx22)0,即(1k2)x1x22k(x1x2)40,所以(1k2)2k40,即0,所以

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