高中数学阶段质量评估1北师大版选修2.docx

第一章推理与证明一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1一个奇数列1,3,5,7,9，现在进行如下分组：第一组含一个数1；第二组含二个数3,5；第三组含三个数7,9,11；试观察每组内各数之和与其组的编号数n有什么关系()A等于n2B等于n3C等于n4D等于n(n1)解析：第一组内各数之和为1，第二组内各数之和为35823，第3组内各数之和为79112733，由此猜想：第n组内各数之和为n3.答案：B2给出下列三个类比结论：(ab)nanbn与(ab)n类比，则有(ab)nanbn；loga(xy)logaxlogay与sin()类比，则有sin()sin sin ；(ab)2a22abb2与(ab)2类比，则有(ab)2a22abb2.共中结论正确的个数是()A0B1C2D3解析：错误，正确答案：B3用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设正确的是()A假设至少有一个钝角B假设至少有两个钝角C假设没有一个钝角D假设没有一个钝角或至少有两个钝角解析：用反证法对命题的假设就是对命题的否定，“至多有一个”的否定是“至少有两个”，故选B.答案：B4实数a，b，c不全为0等价于()Aa，b，c全不为0Ba，b，c中最多只有一个为0Ca，b，c中只有一个不为0Da，b，c中至少有一个不为0解析：“不全为0”等价于“至少有一个不为0”答案：D5将全体正整数排成一个三角形数阵：12345678910根据以上排列规律，数阵中第n(n3)行的从左至右的第3个数是()A.B.C.D.解析：第1行1个数，第2行2个数，第3行3个数，第n1行n1个数12(n1)，第n行的第3个数为3.答案：A6已知123332432n3n13n(nab)c对一切nN都成立，那么a、b、c的值为()Aa，bcBabcCa0，bcD不存在这样的a、b、c解析：已知等式对一切nN都成立，当n1,2,3时也成立即解得答案：A7用数学归纳法证明恒等式：123n2，则由nk到nk1时，等式左端应添加的项是()Ak21B(k1)2C(k1)12D(k21)(k22)(k1)2解析：nk时，左端为123k2，nk1时，左端为123k2(k21)(k22)(k1)2.两式相减，可知等式左端应添加的项是(k21)(k22)(k1)2.故选D.答案：D8已知xR，不等式x2，x3，x4，可推广为xn1，则a的值为()A2nBn2C22(n1)Dnn解析：观察a与n1的关系：12,43,274，即(21)12，(31)23，(41)34，故(n11)nn1，所以ann.答案：D9数列an中，若a1，an(n2，nN)，则a2 009的值为()A1B.C1D2解析：an，又a1，a22.a31.a4a1.数列an的项是周期性出现，周期为3.a2 009a66932a22.答案：D10设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)k2成立时，总可推出f(k1)(k1)2成立”那么，下列命题总成立的是()A若f(1)1成立，则f(10)100成立B若f(2)4成立，则f(1)1成立C若f(3)9成立，则当k1时，均有f(k)k2成立D若f(4)25成立，则当k4时，均有f(k)k2成立解析：题设中“当f(k)k2成立时，总可推出f(k1)(k1)2成立”实际上是给出了一个递推关系，从数学归纳法来考虑，f(4)25成立，f(4)16成立，即k的基础值为4，所以A、B、C都错误，故选D.答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分请把正确答案填在题中横线上)11在等差数列an中，有SmnSmSnmnd，其中Sm，Sn，Smn，分别是an的前m，n，mn项和，用类比推理的方法，在等比数列bn中，有_解析：由等差数列到等比数列的运算性质：“和积”，“积乘方”可猜测在等比数列中有AmnAmAnqmn，事实上，设公比为q，An为前n项积，则有Amnb1b2b3bmnb1b1qb1q2b1qmn1bq12(mn1)bq又AmAnqmn(b1b2bm)(b1b2bn)qmnbq12(m1)bq12(n1)qmnbqmnbq故猜测正确答案：AmnAmAnqmn，其中Amn、Am、An分别是bn的前mn，m，n项之积，q为公比12设函数f(x)(x0)，观察：f1(x)f(x)，f2(x)ff1(x)，f3(x)ff2(x)，f4(x)ff3(x)，根据以上事实，由归纳推理可得：当nN且n2时，fn(x)ffn1(x)_.解析：由f(x)(x0)得，f1(x)f(x)，f2(x)ff1(x)，f3(x)ff2(x)，f4(x)ff3(x)，当n2且nN时，fn(x)ffn1(x).答案：13平面上，周长一定的所有矩形中，正方形的面积最大；周长一定的所有矩形与圆中，圆的面积最大，将这些结论类比到空间，可以得到的结论是_解析：平面中的“周长”类比为空间中的“面积”，“平面图形”类比成“空间几何体”，“面积”类比成“体积”，“圆”类比成“球”答案：在空间几何体中，表面积一定的所有长方体中，正方体的体积最大；表面积一定的所有长方体与球中，球的体积最大14.蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，右图为一组蜂巢的截面图其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以f(n)表示第n个图的蜂巢总数，则f(n)_.解析：由于f(2)f(1)716，f(3)f(2)19726，推测当n2时，有f(n)f(n1)6(n1)，故f(n)f(n)f(n1)f(n1)f(n2)f(2)f(1)f(1)6(n1)(n2)2113n23n1.又f(1)1312311，所以f(n)3n23n1.答案：3n23n1三、解答题(本大题共4小题，满分50分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15(本小题满分12分)已知a是整数，a2是偶数求证：a是偶数证明：(反证法)假设a不是偶数，即a是奇数，则设a2n1(nZ)所以a24n24n1.因为4(n2n)是偶数，所以4n24n1是奇数，这与已知a2是偶数矛盾，故假设错误，从而，a一定是偶数16(本小题满分12分)把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间，并判断类比的结论是否成立(1)如果一条直线和两条平行线中的一条相交，则必和另一条相交；(2)如果两条直线同时垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行解析：(1)类比为：如果一个平面和两个平行平面中的一个相交，则必和另一个相交结论是正确的：证明如下：设，且a，则必有b，若与不相交，则必有，又，与a矛盾，必有b.(2)类比为：如果两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面互相平行，结论是错误的，这两个平面也可能相交17.(本小题满分12分)将自然数排成螺旋状如图所示；第一个拐弯处的数是2，第二个拐弯处的数是3，第20个及第25个拐弯处的数各是多少？解析：前几个拐弯处的数依次是2,3,5,7,10,13,17,21,26，这是一个数列，把数列的后一项减去前一项，得一新数列：1,2,2,3,3,4,4,5,5，把原数列的第一项2添在新数列的前面，得到2,1,2,2,3,3,4,4,5,5，于是原数列的第n项an就等于此新数列的前n项和，即a12112，a2211(11)3，a32121(112)5，a421221(1122)7，所以，第20个拐弯处的数是：a201(112233441010)12(1210)111，第25个拐弯处的数是：a251(1122121213)170.18(本小题满分14分)数列an是这样确定的：a11，an1panx，p0且p1，n2,3,4，试归纳出an的