2019年高考数学考纲解读与热点难点突破专题09平面向量及其应用教学案理（含解析）.docx

平面向量及其应用【2019年高考考纲解读】高考对本内容的考查主要有：平面向量这部分内容在高考中的要求大部分都为B级，只有平面向量的应用为A级要求，平面向量的数量积为C级要求，应特别重视试题类型可能是填空题，同时在解答题中经常与三角函数综合考查，构成中档题.【重点、难点剖析】 1向量的概念(1)零向量模的大小为0，方向是任意的，它与任意非零向量都共线，记为0.(2)长度等于1个单位长度的向量叫单位向量，a的单位向量为.(3)方向相同或相反的向量叫共线向量(平行向量)(4)如果直线l的斜率为k，则a(1，k)是直线l的一个方向向量(5)|b|cosa，b叫做b在向量a方向上的投影2两非零向量平行、垂直的充要条件设a(x1，y1)，b(x2，y2)，(1)若abab(0)；abx1y2x2y10.(2)若abab0；abx1x2y1y20.3平面向量的性质(1)若a(x，y)，则|a|.(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|A|. (3)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，为a与b的夹角，则cos .4当向量以几何图形的形式出现时，要把这个几何图形中的一个向量用其余的向量线性表示，就要根据向量加减法的法则进行，特别是减法法则很容易使用错误，向量(其中O为我们所需要的任何一个点)，这个法则就是终点向量减去起点向量5根据平行四边形法则，对于非零向量a，b，当|ab|ab|时，平行四边形的两条对角线长度相等，此时平行四边形是矩形，条件|ab|ab|等价于向量a，b互相垂直，反之也成立6两个向量夹角的范围是0，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角可能是0或的情况，如已知两个向量的夹角为钝角时，不单纯就是其数量积小于零，还要求不能反向共线【题型示例】题型一、平面向量的线性运算【例1】(2018全国卷)已知向量a(1,2)，b(2，2)，c(1，)若c(2ab)，则_.【解析】由已知得2ab(4,2)又c(1，)，c(2ab)，所以420，解得.【答案】【变式探究】 (2018全国卷)在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则()A. B.C. D.【变式探究】【2016高考新课标2理数】已知向量，且，则（ ）（A）8 （B）6 （C）6 （D）8【答案】D【解析】向量，由得，解得，故选D. 【举一反三】设D为ABC所在平面内一点，3，则()A. B.C. D.解析3，3()，即43，.答案A【变式探究】在ABC中，点M，N满足2，.若xy，则x_；y_解析()，x，y.答案【变式探究】 已知e1，e2是不共线向量，ame12e2，bne1e2，且mn0，若ab，则等于()A B. C2 D2【解析】ab，ab，即me12e2(ne1e2)，则故2.【答案】C【变式探究】已知P为ABC所在平面内一点，D为AB的中点，若2(1)，且PBA与PBC的面积相等，则实数的值为_ 【感悟提升】平面向量的运算主要包括向量运算的几何意义、向量的坐标运算以及数量积的运算律的应用等(1)已知条件中涉及向量运算的几何意义应数形结合，利用平行四边形、三角形法则求解(2)已知条件中涉及向量的坐标运算，需建立坐标系，用坐标运算公式求解(3)解决平面向量问题要灵活运用向量平行与垂直的充要条件列方程(4)正确理解并掌握向量的概念及运算；强化“坐标化”的解题意识；注重数形结合思想、方程思想与转化思想的应用注意：在利用数量积的定义计算时，要善于将相关向量分解为图形中的已知向量进行计算【变式探究】设D，E分别是ABC的边AB，BC上的点，ADAB，BEBC.若12(1，2为实数)，则12的值为_【答案】【解析】如图，()，则1，2，12.【规律方法】在一般向量的线性运算中，只要把其中的向量当作字母，其运算类似于代数中合并同类项的运算，在计算时可以进行类比本例中的第(1)题就是把向量用，表示出来，再与题中已知向量关系式进行对比，得出相等关系式，可求相应的系数题型二、平面向量的数量积 【例2】(2018上海卷)在平面直角坐标系中，已知点A(1,0)、B(2,0)，E、F是y轴上的两个动点，且|2，则的最小值为_【解析】设E(0，m)，F(0，n)，又A(1,0)，B(2,0)，(1，m)，(2，n)2mn，又知|2，|mn|2.当mn2时，mn2(n2)n2n22n2(n1)23.当n1，即E的坐标为(0,1)，F的坐标为(0，1)时，取得最小值3.当mn2时，mn2(n2)n2n22n2(n1)23.当n1，即E的坐标为(0，1)，F的坐标为(0,1)时，取得最小值3.综上可知，的最小值为3.【答案】3【变式探究】(2017全国卷)已知ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则()的最小值是()A2 B C D1【解析】解法一：设BC的中点为D，AD的中点为E，则有2，则()22()()2(22)而22，当P与E重合时，2有最小值0，故此时()取最小值，最小值为222.解法二：以AB所在直线为x轴，AB的中点为原点建立平面直角坐标系，如图，则A(1,0)，B(1,0)，C(0，)，设P(x，y)，取BC的中点D，则D.()22(1x，y)22.因此，当x，y时，()取得最小值，为2，故选B.【答案】B【变式探究】已知|a|1，b(1,1)且a(ab)，则向量a与向量b的夹角为()A. B. C. D.【解析】设向量a与向量b的夹角为，因为a(ab)，所以a(ab)0，即|a|2ab1|a|b|cos1cos0，cos，故选D. 【答案】D【变式探究】已知点A(1,1)，B(1,2)，C(2，1)，D(3,4)，则向量在方向上的投影是()A3 B C3 D.【解析】依题意得，(2，1)，(5,5)，(2，1)(5,5)15，|，因此向量在方向上的投影是3，选A.【答案】A【变式探究】已知向量a(1,2)，b(3，6)，若向量c满足c与b的夹角为120，c(4ab)5，则|c|()A1 B. C2 D2【解析】依题意可得|a|，|b|3，ab.由c(4ab)5，可得4acbc5.由c与b的夹角为120，可得c与a的夹角为60，则有bc|b|c|cos120|c|3|c|，ac|a|c|cos60|c|c|，所以4|c|c|5，解得|c|2，故选D.【答案】D【变式探究】如图所示，在梯形ABCD中，ABCD，CD2，BAD，若2，则_.【举一反三】已知菱形ABCD 的边长为a，ABC60 ，则()Aa2 Ba2C.a2 D.a2解析如图所示，由题意，得BCa，CDa，BCD120.BD2BC2CD22BCCDcos 120a2a22aa3a2，BDa.|cos 30a2a2.答案D【变式探究】ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足2a，2ab，则下列结论正确的是()A|b|1 BabCab1 D(4ab)解析由于ABC是边长为2的等边三角形；()()0，即()0，(4ab)，即(4ab)，故选D.答案D【规律方法】求数量积的最值，一般要先利用向量的线性运算，尽可能将所求向量转化为长度和夹角已知的向量，利用向量的数量积运算建立目标函数，利用函数知识求解最值【变式探究】设四边形ABCD为平行四边形，|6，|4，若点M，N满足3，2，则()A20 B. 15 C9 D6解析，(43)(43)(16292)(1662942)9，选C.答案C题型三、平面向量基本定理及应用例3(2017全国卷)在矩形ABCD中，AB1，AD2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上若，则的最大值为()A3 B2 C. D2【解析】分别以CB、CD所在的直线为x轴、y轴建立直角坐标系，则A(2,1)，B(2,0)，D(0,1)点P在以C为圆心且与BD相切的圆上，可设P.则(0，1)，(2,0)，.又，sin1，cos1，2sincos2sin()，其中tan，()max3.【答案】A【变式探究】【2016年高考四川理数】在平面内，定点A，B，C，D满足 =,=-2，动点P，M满足 =1，=，则的最大值是( )（A） （B） （C） （D）【答案】B【解析】甴已知易得.以为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示，则设由已知，得，又，它表示圆上的点与点的距离的平方的，故选B. 【变式探究】在平面直角坐标系xOy中，已知向量a，b，|a|b|1，ab0，点Q满足(ab)曲线CP|acos bcos ，02，区域P|0r|R，rR若C为两段分离的曲线，则()A1rR3 B1r3RCr1R3 D1r3R解析由已知可设a(1，0)，b(0，1)，P(x，y)，则(，)，曲线CP|(cos ，sin )，02，即C：x2y21，区域P|0r|R，rR表示圆P1：(x)2(y)2r2与圆P2：(x)2(y)2R2所形成的圆环，如图所示，要使C为两段分离的曲线，只有1rR3. 答案A【举一反三】已知向量a(2，1)，b(1，2)，若manb(9，8)(m，nR)，则mn的值为_解析a(2，1)，b(1，2)，manb(2mn，m2n)(9，8)，即解得故mn253.答案3题型四平面向量的长度与角度问题例4【2017课标1，理13】已知向量a，b的夹角为60，|a|=2，|b|=1，则| a +2 b |= .【答案】【解析】利用如下图形，可以判断出的模长是以2为边长的菱形对角线的长度，所以. 【变式探究】若非零向量a，b满足|a|b|，且(ab)(3a2b)，则a与b的夹角为()A. B.C. D【变式探究】对任意向量a，b，下列关系式中不恒成立的是()A|ab|a|b| B|ab|a|b|C(ab)2|ab|2 D(ab)(ab)a2b2解析对于A，由|ab|a|b|cos|a|b|恒成立；对于B，当a，b均为非零向量且方向相反时不成立；对于C、D容易判断恒成立故选B.答案B【举一反三】