生物统计学课件 2、抽样分布及应用㈠.ppt

第二章 抽样分布及其应用,第一节 单个母总体抽样 第二节 显著性检验的原理 第三节 两个母总体抽样 第四节 检验两个样本平均数差异 （含F分布、方差的齐性检验） 第五节 配对数据的显著性检验,第二章要点提示,抽样分布既是本课程的基础，又是本课程的难点，学习时要注意抽样分布的特点及其与上一章正态分布的统一性；要注意样本统计量如 、 y 、 、 的概率分布类型（正态分布）及其参数与母总体概型及其参数的联系和区别（中心极限定理）； 应充分理解显著性检验的原理和特点，熟悉两尾检验与一尾检验的异同；重点掌握检验和12时依据的抽样分布类型及标准误、S和差数标准误1- 2、S1- 2的计算公式，并与检验时依据的差数的抽样分布和计算差数平均数的标准误 、S的公式相区别。 涉及教材内容：第四章第六、七节，第五章第一、二、三节。 作业布置：P56 P57 T6、 T7、 T10、 T11、 T12、 T13、 T15、 T16；教材P78 T9、 T11、 T12。,第一节 单个母总体抽样,例2.1 给定一有限总体2，3，3，4,即 N = 4,= 3,2 = 1/2；现从中以n = 2进行 复置抽样，则所有可能的样本数为 Nn = 16 个，计算各样本的统计量并整理成右表 。 解 视为变量的衍生总体参数： = / Nn = 4816 = 3 2 =148 48 2 16/ 16 = 1/4 视y为变量的衍生总体参数： y = (y) / Nn = 9616 = 6 2y =592 96 216/16 = 1 以上两个衍生总体均由“一切可能的抽 样观察结果组成”，并且实际应用中遇到的 多为无限总体，可以想象得到，但“看不见， 也摸不着” 。,2，3，3，4,2，2,2，3,2，3,2，4,3，2,3，3,3，3,3，4,第一节 单个母总体抽样,第一节 单个母总体抽样,前例可归纳出抽样研究的部分结论： 由Nn个构成的衍生总体； N（ ，2 ）且有： = ， 2 = 2 /n 并有： u =（ ） 由Nn个y构成的衍生总体； y N（ y ，2y ）且有： y = n， 2y = n2 又有： u = （y y ） y 和表明抽样分布的类型实质上 还是正态分布，只是其变量特殊罢了。 只有以自由度 n 1算得的样本方差 S2才是2 的无偏估计值。 （但 S 不是的无偏估计值）,（ S2 / Nn = 816 = 1/2 = 2 ）,第一节 单个母总体抽样,例2.2 调查336个平方米的小地老虎 虫危害结果，= 4.73头 ，= 2.63头。 求抽样 n = 30时 4.37头的概率。 解 由上述结论知，须先求标准误： = /n = 2.6330 = 0.48头 u =（）/n = - 0.75 =（4.374.73）0.48 P( 4.37 ) = ( - 0.75) = 0.2266 查附表2表明本例所求结果实际为 获得 | -0.36 |这种抽样误差的两尾概率 （之和）为20.2266 = 0.4532。,fN(),n = 1,n =4,n = 9,第一节 单个母总体抽样,回眸例1.5求获得抽样误差的概率： =43.5g ，=4.65g，N =623； = 44.05 g，S = 4.523g，n = 25 解 按惯例所求两尾概率即抽样误差 的绝对值达到0.55的概率，因此有： = /n = 4.6525 = 0.93g u =0.55/n = 0.59 反查附表2或顺查附表1可得： P( | |0.55) = P(|u| 0.59) = 2 P(u - 0.59) = 2 (- 0.59) = 2 0.2776 = 0.5552 0.56,以上两例已由总体标准差深化到总 体标准误 ，使连续性变量的概率分布研 究从误差y 升华到抽样误差 ， 即 。 但这还不够，历史上也没有因此避免 正态分布在应用上的危机，因为要获得 的准确数值，其难度比大得多。到1908 年W.S.Gosset公开发表一篇论文才使抽样 误差的研究走出应用上的困境。 如例2.1中定义样本标准误S = S /n， 则可将抽样误差转换成另一个标准化变量 t = ( )S/n = 0.55 0.9 = 0.61 查附表3可知获得0.55的两尾概率 当在0.5以上（n1 = 24）。,第二节 显著性检验的原理,一、什么是显著性检验？ 在由样本研究总体时，先提出关于 总体的统计假设 ( Ho ) ，然后利用样本 提供的信息去反证它是否成立。 这种证明 Ho 是否成立的过程就叫 统计假设测验，简称假设测（检）验。 如果假设测验只针对一个 Ho , 并不 同时研究其它假设, 则称为显著性检验。 还有一些假设测验问题，需要研究 两个或更多的统计假设, 必须采取包括 多重比较在内的方差分析法才能解决， 因而不再一般化地称之为假设测验, 所 以假设测验大多局限于显著性测验。,例如某地小麦亩产一般o= 300kg， 并从多年种植的经验知= 75kg，今引 进一新品种得 n = 25个亩产量观察值， 算得=327kg ，如何评价其表面效应？ 解 本例表面效应 “27kg产量差异”，要区分它是本质差别还是抽样误差 1. 先假定表面效应是抽样误差； Ho： = o或 = 300kg 2.按误差理论计算获此抽样误差的概率； P( | | 27 ) = P( | o| 27 ) = P( |u|2775/25 ) = 2 P(u -9/5) = 2 (- 1.8)= 2 0.036 = 0.072 3.根据小概率原理推断Ho是否成立； 按惯例= 0.05，故Ho成立。,第二节 显著性检验的原理,= 0.05也叫显著水平，是一个概率 临界值，它是根据“小概率事件在当前 这次试验(观察) 中实际不可能发生”这 种“道德确定性”、基于农业和生物学领 域的行业要求而规定的小概率标准。 = 0.05只能理解为否定 Ho时容许犯 错误的概率, 本例获得27kg抽样误差的 概率虽然很小, 但尚未小到否定Ho时规 定的显著水平, 反过来讲就是没有95% 以上的把握来认定其表面效应是“本质 差别”而不是抽样误差; 或者说表面效应 虽然较大, 但还没有大到有95%以上的 把握来排除它是抽样误差的可能性。,上述通过计算两尾概率评价其表面效 应的做法通常针对的提问方式是：“新品 种的单产与当地品种有无显著差异？” 实际上评价表面效应还有一种问法： “新品种的单产是否高于当地品种？” 解 这样提问往往是根据专业方面的信息 已明知新品种的单产不可能低于当地品种， 于是检验方法由双侧检验变成单侧检验。 1. 仍假定表面效应是抽样误差； Ho： o或 300kg 2.计算获此抽样误差的单侧概率； P( 27 ) = P( o 27 ) = P( u9/5) = (- 1.8) = 0.036 3.根据小概率原理推断：Ho不成立。,第二节 显著性检验的原理,二、显著性检验的特点 1. 是一种概率反证法； 先假定 (单向) 成立，再计算标准误， 然后将表面效应转换成标准化变量后查 算其属于抽样误差的概率是否为小概率, 是则拒绝Ho; 否则接受Ho。 2. 用了小概率原理； 否定Ho有95%以上的把握，但不可能 为100%，即表面效应只要大到视其为抽 样误差时的双侧或单侧概率小到显著水 平就能否定Ho，不然就暂且接受Ho ，决 不意味着接受Ho时有95%以上的把握。 3. 不同的场合依据不同的抽样分布。,三、关于 t 分布 定义：t = ( ) S 其中S = S /n 叫样本标准误 参数: t = 0, t = / (-2 ) 曲线特性: 以t = 0 处的纵轴对称,并以之为曲 线最高点位置, 而后往两侧递降;不同的 决定一条特异的 t 分布曲线; 曲线形 状随着的增加, 峰顶由下往上朝标准 曲线的峰顶逼近, 两尾由上往下朝标准 曲线的两尾收拢; 而当 (120) 时, t 分布曲线与标准曲线N(0, 1)重合。 4. 附表 3与 t 分布的关系。,第二节 显著性检验的原理,附表3所列为9种双侧概率对应的 | t | , 如右图所示, 当 n 1= 9时, 0.05 和0.10栏目下的2.262和1.833就表明 所得标准化变量 t 在 n =10时绝对值 超过2.262的概率(双侧面积)为0.05, 超过1.833的概率(双侧面积)为0.10。 按照显著性检验原理，计算获 得某抽样误差的概率只是为了确认 它是否为小概率，那反过来也就可 以根据0.05的显著水平确定标准化 变量 u 或 t 的“临界值”，再和抽样 误差标准化的结果相比较就是了， 由此而来的显著性检验步骤见下例。,0.90,0.05,0.025,0.025,1.833 ,2.262 ,t,f ( t ),= 9,第二节 显著性检验的原理,f ( t ),t,=,= 2,= 7,= 4,N(0, 1),第二节 显著性检验的原理,四、显著性检验的步骤 例2.3 已知某品种母猪的怀孕期为 0 = 114d，现抽查其10头母猪得怀孕期 平均日数 = 114.5d，S = 1.581d，则检 验所得样本的怀孕期是否显著超过114d 的步骤为： H0: o或 114d ; S = S/n = 1.58110 = 0.50 t = ( )S =0.50.50 = 1.00 按自由度 = 9 查得： 单侧 t0.05 = 双侧 t0.10 = 1.833 推断：t t0.05 ， H0 成立。即所得样本的怀孕期没有显著超过114d 本次测验的显著水平： = 0.05,本例是按照题目要求进行单侧检验， 实际应用中这种提问方式必须有所谓的 “附加知识”为依据，即有来自专业方面 的信息表明所得样本的怀孕期不可能低 于114d，否则就只能用双侧检验。 H0: = o或 = 114d ; S = S/n = 1.58110 = 0.50 t = ( )S =0.50.50 = 1.00 (3) 按自由度 = 9 查得两尾 t0.05 = 2.262 (4) 推断：tt0.05 ， H0 成立。意即所得 样本的怀孕期与114d无显著差异。 本例双侧检验对 H0 的态度与单侧检 验相同，但实际研究中有不相同的。,第二节 显著性检验的原理,例2.4 按饲料配方规定，每1000kg某 种饲料中维生素C不得少于0 = 247g， 现从某工厂的产品中随机抽查12份样品 得平均含量 = 252g，S = 9.115g，则检 验所得样本的Vc含量是否显著超过247g 的步骤为： H0: o或 247g ; S = S/n = 9.11512 = 2.631 t = ( )S =52.631 = 1.90 按自由度 = 11 查得： 单侧 t0.05 = 双侧 t0.10 = 1.796 推断：t t0.05 ， H0 不成立。即 所得样本的Vc含量显著超过247g 本次检验的显著水平： = 0.05,本例是按照题目要求进行单侧检验， 实际应用中这种提问方式必须有所谓的 “附加知识”为依据，即有来自生产方面 的要求表明所得样本来自Vc含量不低于 247g的总体，否则就只能用双侧检验。 H0: = o或 = 247g ; S = S/n = 9.11512 = 2.631 t = ( )S =52.631 = 1.90 (3) 按自由度 = 11 查得双侧 t0.05 = 2.201 (4) 推断：tt0.05 ， H0 成立。意即所得 样本的Vc含量与247g无显著差异。 本例双侧检验对 H0 的态度与单侧检 验截然不同，说明有“附加知识”时应用 一尾测验有利于否定H0 。,第三节 两个母总体抽样,例2.5 假定第一总体2，4，6, N1=3， 1=4 ,12 = 8/3 ；第二总体3，6, N2=2， 2= 4.5 ,22 = 9/4。现从中分别以n1=2和n2=3 进行复置抽样,试研究1- 2抽样分布。 解 来自两个母总体的之差数1- 2构成的 衍生总体容量N1 n1 N2 n2 = 9 8 = 72，其全 部可能的取值及次数分布列表如右,按数据整 理时用过的加权法计算其参数如下: 1- 2 = f ( 1- 2 ) f = -36/72 = 1 - 2 = 1 - 2 = - 0.5 2 1- 2 = f ( 1- 2 + 0.5) 2 / f = 150/ 72 = 2 1 + 2 2 = 12 / n1 + 22 / n2 = 8/32 + 9/43 = 25/12,e =(1- 2) 1- 2=(1- 2) (1-2),第一节 单个母总体抽样,复置抽样时总体和随机样本的关系,n = 1,n = 2,第三节 两个母总体抽样,复置抽样时总体和随机样本的关系,n = 1,n = 2,n = 3,第三节 两个母总体抽样,复置抽样后差数1- 2构造衍生总体示意图,第三节 两个母总体抽样,由例2.5针对“平均数的差数”1- 2进行的抽样研究结果，实际上也是 中心极限定理内容之一：1- 2 N（ 1- 2 ， 2 1- 2 ），于是又有： u = ( 1- 2 ) 1- 2 1- 2 = ( 1- 2 )(1-2 )/ 可见，来自两个母总体的差数1- 2与其真值1- 2的抽样误差e取值 的概率分布也可以用正态分布来描述，当两个母总体的参数已知时，同 样可以转化为用标准分布求算概率。 只是因为实际应用中遇到的多为两个母总体参数未知的情况，所以 差数的抽样误差无法转化成正态离差 u 而只能转化成另一个标准化离差 t ，即：t =( 1- 2 ) 1- 2 S1- 2 ， 其中，S1- 2叫差数的样本标准误，由S1 2 、S2 2算出，并且计算公式和差 数的总体标准误相类似。,第四节 检验 两个样本平均数差异,一、测验1- 2 例2.6 根据以往资料，某小麦品种每 m2产量的2= 0.4(kg2 )。今在该地的一块 地上以A、B两法取样，A法取12个样点， 得每m2产量1=1.2kg；B法取8个样点, 得 2 = 1.4kg。试问两法差异是否显著？ 解 题意指两种取方法得到的单产有无本 质差别，即表面效应能否视为抽样误差。 ,（1）H0: 1 =2 或 1-2 = 0 （2）12 =22 = 2 = 0.4(kg2 ) 1-2=(0.4/12+0.4/8)=0.2887kg u=(1.21.4)0.2887= -0.69 （3）查得两尾u0.05 = 1.96 （4）推断: |u| u0.05 ， H0成立 表明两种取样方法无本质差别。 关于原始数据用不同的单位对显著 性检验过程的影响问题, 要具体步骤具 体分析，本例若以“斤”或500g为单位， 则2 = 40.4(斤2 ), 1-2 = 20.2887(斤),而u= -0.69不变.,第四节 检验 两个样本平均数差异,一、测验1- 2 例2.7 某种猪场分别测定长白后备种猪和蓝 塘后备种猪90kg时的背膘厚度 ,各获得n1 = 12 和n2 = 11头猪的观察值，并算得 1 = 1.202mm， SS1 = 0.11mm2；2 =1.817mm，SS2 = 0.151mm2， 故检验两品种背膘厚度有无显著差异的步骤为： （1） H0：1=2或 1-2 = 0 （2） F= S大2 / S小2 =0.151/100.11/11= 1.51ns 查得右尾F0.05，10，11 = 2.86，于是有： Se2 = (SS1 + SS2) / (1+2) =0.261 21 = (1S12 +2S22)/(1+2) = 0.0124 S 1-2 = = 0.0465 t =( 1- 2 ) 1- 2 S1- 2 =( 1- 2 ) (1-2) S1- 2 = (1.202 1.817)/ 0.0465 = -13.226 （3）按 = 11+10 = 21查得两尾t0.05 = 2.080 （4）推断： | t | t0.05 H0不成立,本例属于实际应用中普遍遇到 的参数12 及22 未知的情形， 不可能用 u-test而只能用 t-test， 由于S1- 通过合并均方 Se2 计算 时必须以两样本均方经F-test证实 无显著差异(齐性检验)为先决条 件, 故要在用加权法合并两个样 本方差前插入一个 F-test 过程。 倘若经 F-test 证实有显著差异, 表明12 22 , 那就不能计算 Se2而只能仿照中心极限定理有关 结论计算: S 1-2 = , 只是以它为分母转换出来的标准 化变量已不再是严格意义上的 “t” 变量先了解一下F分布。,第四节 检验 两个样本平均数差异,关于F的定义及其分布 从一个母总体 N (, 2) 中随机抽取两个 独立样本, 算得两个样本均方依次为S12、S22， 则定义：F= S12 / S22 。 抽样研究的结果证明, F是一个连续性随机 变量, 理论上存在着抽样分布，这就是F分布。 它具有平均数为：F = 2 / (2 -2) F分布是由自由度1、2 决定的曲线系 统, 因为受F 0的限制, 任一条限于纵坐标右侧； F分布曲线不对称往左倾斜，左倾程度随 着1、2的一齐增加而减小， 2 时， F 的取值从大于 1 的那边由右往左1，曲线峰顶 向上、向右往 F 1 的垂线逼近； 附表4 (右尾F临界值表)与F分布的关系。,第四节 检验 两个样本平均数差异,F,f (F),1= 1,2 = 7,1= 1,2= 4,1= 1,2= 2,5.59 ,7.71 ,18.51 ,这里只显示1 = 1的反 J 型 曲线， 1 = 2 时也是如此； 当13 时，F分布曲线就 转为偏态，呈现反 S 型。,第四节 检验 两个样本平均数差异,例2.8 在抽穗期间测定喷矮壮素玉米 8株, 得到株高1= 176.3cm, SS1=3787.5 cm2，对照区玉米9株，得株高2=233.3 cm，SS2 = 18400cm2，试测验矮化效果。 （1） H0:12 或1-2 0 F = S大2 / S小2 = 2300541.1= 4.25* 查得F0.05，8，7 = 3.73 （2）S 1-2 = = (67.64 +255.56 ) = 18 “ t ” ( 1- 2 ) S1- 2 = (176.3 233.3)18 = -3.17 （3）k = S2 1/(S2 1 + S2 2) 1- k = 0.79 = 67.64 323.2 = 0.21,故= 1 k2/1+(1-k)2/212 = 1 (0.212/ 7+ 0.79 2/ 8) = 11.85 按查得单侧t0.05 = 双侧t0.10 = 1.782 （4）推断： | t | t0.05 H0不成立 本例经F-test知两个样本所属的总 体方差12 22 , 因此不能计算合并 Se2而只能模仿中心极限定理计算S 1-2, 由于以它为标准误转换出来的标准化变 量已不再是严格意义上的“ t ” , 所以查 表时不能简单地根据合并自由度15即 1+2，而必须予以修正, 这就是： Aspin-Welch检验。,第四节 检验 两个样本平均数差异,一、测验1- 2 例2.9 某家禽研究所用粤黄鸡对A、B两种 饲料的增重效果进行对比试验，时间60d，各 获得8只鸡的观察值，算得 1 = 705.625g， SS1= 2022g2； 2 = 696.125g，SS2 = 967g2， 检验增重效果有无显著差异的步骤为： （1） H0：1=2或 1-2 = 0 （2） F= S大2 / S小2 =2022/7967/7= 2.09ns 查得右尾F0.05，7，7 = 3.76，于是有： Se2 = (SS1 + SS2) / (1+2) =2989 14 = (1S12 +2S22)/(1+2) = 213.5 S 1-2 = = 7.306 t =( 1- 2 ) 1- 2 S1- 2 =( 1- 2 ) (1-2) S1- 2 = (705.625 696.125)/ 7.306 = 1.300 （3）按 = 7+7 = 14查得两尾t0.05 = 2.145 （4）推断： | t | t0.05 H0成立,本例属于实际应用中经常遇 到的两样本观察值个数n1 = n2 = n 的情形，此时计算公式可简化： Se2 = (SS1 + SS2) / (1+2) = (1S12 +2S22)/(1+2) = (S12 +S22)/2 S 1-2 = = 即使经 F-test 证实有显著差异, 表明12 22 时也是如此： S 1-2 = = 只是以它为分母转换出来的标 准化变量因不是严格意义上的 “t” 变量，仍需修正自由度。,第五节 配对数据的显著性检验,关于“差数的抽样”还有不同于两个独立样本的抽样研究，也 就是从一个参数、2既定的母总体中随机抽取容量相同的两个 样本，若将两者的观察值随机配对，则配对观察值差数 d 将服从 正态分布，即 d N（d ，2d ）, 且 d= 0，2d = 22 ； 继续研究“差数的平均数”，即d /n = ，根据例2.1所述中 心极限定理结论，定有： N（，2）, 且 = d = 0，2 = 2d /n = 22 /n。 u = ( )/ = /(22/n) 于是，当参数2 未知时，同理应有： t = ( ) / S = / Sd / n,第五节 配对数据的显著性检验,二、测验 例2.10 研究某批注射液对家兔体温的影响， 测得10只家兔注射前后的体温（C），根据 所得自身配对数据算得d = -7.3 （C）， Sd = 0.445（C），就该成对数据进行显著 性检验的方法如下： 1、单侧检验 (1) H0: d 0 (di为抽样引起的误差) = d /n = -7.3 / 10= -0. 73 SSd = (d - ) 2 = 1.781 S = Sd/ n = = 0.141 t =（ d)/ S = -0.73 / 0.141 = -5.177 按自由度 = 10 1,查得一尾t0.05 = 1.833 (4) 推断： | t | t0.05 H0不成立。 .,2、双侧检验 (1) H0: d = 0 (di为抽样引起的误差) S = Sd/ n = = 0.141 t =（ d)/ S = -0.73 / 0.141 = -5.177 按自由度 = 9, 查得 两尾t0.05 = 2.262 (4) 推断： | t | t0.05 H0不成立。 . 本例系同一试验单位在不同时间分别 接受前后两次不同处理，用其前后两次的 观察值进行自身对照比较，叫自身配对。 自身配对也可以是同一试验单位的不 同部位或不同方法的观察值进行自身对照 比较，两种情形在动科试验中都较常见。,第五节 配对数据的显著性检验,二、测验 例2.11 从8窝仔猪中每窝选性别相同、体重 接近的2头配对，