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,10.3 平面波波动方程与波速,前面从振动状态传播角度，即运动学角度，得出了简谐行波的表达式，还可以从动力学角度分析媒质中质元的受力与形变，从而得到动力学方程即波动的微分方程，其解就是前面的波动方程。我们不作这样的分析（数理方程中出现），而是通过求偏导数得出这样的方程：,（波动的动力学方程）,10.3 平面波波动方程与波速,(u为波速),平面波波动方程：,对于无吸收的各向同性的均匀介质，在三维空间传播的一切波动过程都满足下列方程：,(为质元的位移),波速 u 决定于介质的特性（惯性和弹性）,（一维简谐波的表达式就是此波动方程的解）,(1)紧张柔软的弹性绳上传播的横波：, 具体问题：,（E 杨氏弹性模量，体密度）,(2) 固体棒中传播的纵波：,（ 绳的初始张力, 绳的线密度）,(2) 固体棒中的纵波:,(3) 固体中的横波:,G 切变模量，, 同种材料 G E , 固体中 u横波 u纵波.,（式中F/S是单位横截面积上所受的力，称为“应力” ；l / l0 是相对伸长量，称为“应变” ）,对于纵波在固体中传播，传播方向为 x , 质点的位移为 y ，则相对伸长量（“应变” ）可表示为：,则：,(4) 流体中的纵波:,（ = Cp /Cv , 摩尔质量）,体 变,V0+ V,理想气体:,在液体和气体中，不可能发生切变，所以在液体和气体中不能传播横波！,（波动的动力学方程）,说明： 它并不是包罗万象的，它的适用范围仅限于线性的无色散、无耗散介质中的经典波动，超出这一范围，形式五花八门，无法归纳成少数几种标准形式。,补充：相速跟频率无关的波叫作无色散的波。“色散”一词是从光学借用来的，各种不同色彩（即各种不同频率）的光波在一些介质，例如水滴或玻璃中的相速各不相同。色散就是复杂波在一定条件下分解为各种频率成分的现象。色散现象是由于在介质中光速随波长而变，以后在物理学中把“色散”的概念推而广之，凡波速与波长有关的现象，都叫做“色散”， 与k 的依赖关系 称为色散关系。,解 （1）气体中纵波的速度,由理想气体状态方程,例： 假如在空气中传播时，空气的压缩与膨胀过程进行得非常迅速，以致来不及与周围交换热量，声波的传播过程可看作绝热过程. （1）视空气为理想气体，试证声速 与压强 的关系为 ，与温度 T 的关系为 .式中 为气体摩尔热容之比， 为密度，R 为摩尔气体常数，M 为摩尔质量.,解 （2）由（1）, 波动方程 推导参考,波动方程由动力学规律得到的概括振动传播规律的方程.,以平面横波为例讨论,设横波沿x方向传播，体元横截面积S，密度 .,设横波沿x方向传播，体元横截面积S，密度 .,x 处，由胡克定律,在忽
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