级数定义性质.ppt

级数,数项级数 函数项级数,数学分析的研究对象:函数.(一) 数学分析研究函数所用的方法：极限.(二) 数学分析的研究主要对象:连续函数.(三) 实数集关于极限运算是封闭的. (四) 这个性质就是实数集的完备性(连续性),研究函数性态的重要工具:导数和微分.(五) 微积分的基本定理:中值定理(六) 导数的逆运算:不定积分(七) 定积分(八),级数理论是分析学的一个分支； 它与另一个分支微积分学一起 作为基础知识和工具出现在其余 各分支中。 二者共同以极限为基本工具， 分别从离散与连续两个方面， 结合起来研究分析学的对象， 即变量之间的依赖关系函数。,级数分为:数项级数与函数项级数. 数项级数是函数项级数的特殊情况， 他又是函数项级数的基础.,级数是逼近理论的基础， 是研究函数、进行近似计算的一种有用的工具. 级数理论的主要内容是研究级数的收敛性 以及级数的应用.,9.1数项级数,一 收敛与发散的概念 二 收敛级数的性质 三 同号级数 四 变号级数 五 绝对收敛级数的性质,一 收敛与发散的概念,我们已经在初等数学中知道: 有限个实数 相加, 其结果是一个实数. 本节将讨论“无限个实数相加”所可能出现的情形及其特征.如,庄子天下篇“ 一尺之棰,日取其半,万世不竭”的例中,把每天截下那一部分的长度“加”起来: 这就是“无限个数相加”的一个例子.,定义 给定一个数列un, 即 将其各项依次用“+”号连接起来的表达式,称为数项级数或无穷级数(也常简称级数), 其中 un,称为数项级数(1)的通项或一般项或第n项.,由于式中的每一项都是常数，,(无穷多个数之和),上面级数,称为数项级数(1)的 n 项部分和.,数项级数(1)的前n项之和记为,部分和数列,部分和数列,定义:部分和,设,这时也称该级数收敛于 s .,若部分和数列的极限不存在（发散），,发散.,收敛，,收敛与发散定义,级数的收敛或发散(简称敛散性),称差值为收敛级数的n项余和，简称余和.,显然，级数收敛，总有,定义:余和,注 由于级数(1)的收敛或发散(简称敛散性),是由它, 如果把它看作某一数项级数的部分和数列, 则,这个数项级数就是,收敛时,其极限值就是级数(5)的和.,研究无穷级数收敛问题,实质上就是研究部分和数列的收敛问题,例1 讨论等比级数（几何级数）的敛散性,因此几何级数收敛.其和是,因此几何级数发散.,解,发散.,发散.,综上,例2 证明级数收敛，并求其和,证明：,由此知 f (x) 为增函数.,例3 证明调和级数发散,相加得,p10-1.(1) 讨论数项级数,的收敛性.,由于,因此级数 (4) 收敛,且其和为 1.,解 级数(4)的n项部分和为,首页,解,首页,二、收敛级数的性质,研究数项级数收敛问题,实质上就是研究部分和数列的收敛问题,基于级数与数列的关系,不难根据数列的柯西准则,得出下面关于级数的柯西收敛准则,定理1 (柯西收敛准则),推论1(级数收敛的必要条件),推论1的等价命题是:,证明:,即收敛级数的通项必趋于0.,注: 推论是级数收敛的一个必要条件:通项不趋于零,级数一定发散, 但通项趋于零, 则级数未必收敛,但其推论,判断级数发散很有效. 如级数,因为一般项un=( )n-1不趋于零，所以发散.,柯西收敛准则在理论上很重要, 但用它来判别一个具体级数的敛散性, 却很麻烦,甚至很困难,推论2 去掉、增加或改变级数的有限项并不改变,级数的敛散性.,注 去掉、增加或改变级数的有限项虽不改变该级,数的敛散性，但在收敛时，其和一般还是要变的.,根据数列极限运算性质,可得级数运算性质.,定理2,结论: 级数的每一项同乘一个不为零的常数, 该级数的敛散性不变.,结论 在收敛级数的项中任意加括号, 既不改变,级数的收敛性,也不改变它的和.,从级数加括号后的收敛,不能推断它在未加括号,时也收敛. 例如,注:对有限和来说,不但可以随意加括号,而且可以随意去括号. 但在级数中,对于收敛级数来说,项与项可以任意加括号, 但不能任意去掉(无限多个)括号.,推论 如果加括号后所成的级数发散, 则原来级数也发散.,逆否命题,如果加括号后所成的级数收敛, 不能推出则原