[工学]11动态电路的复频域分析.ppt

第十一章 动态电路的复频域分析,11-1 拉普拉斯变换及其基本性质,11-2 拉普拉斯反变换,11-3 动态电路的复频域模型,11-4 动态电路的复频域分析,11-5 网络函数,11-1 拉普拉斯变换及其基本性质,拉氏变换法是一种数学变化，可将高阶微分方程变换 为代数方程以便求解。,一、拉氏变换(Laplace transformation)的定义,1. 拉氏变换的定义：,s为复频率,f(t)与F(s)一一对应,拉氏变换:将时域函数f(t)（原函数：original function）变换为复频域函数F(s)（象函数：transform function）。,t 0，f(t)=0,f(t)=(t)时此项 0,F(s)称为象函数，用大写字母表示，如I(s)，U(s)。,f(t)称为原函数，用小写字母表示，如 i(t)，u(t)。,f(t)与F(s)一一对应,复变量sj常称为复频率，应用拉氏变换进行电路分析称为电路的一种复频域分析法，又称“运算法”；而时域分析方法则相应地称“经典法”。,2. 存在条件,（3）对于一个函数f(t)，如果存在正的有限值常数M和c,使下式成立,则f(t)的拉氏变换式F(s)总存在。,（1）,t 0，f(t)=0；,（2）t0时，f(t)和f(t)除去有限个第一类间断点外处处连续；,因为,傅氏积分公式存在的条件是(t)需满足狄里赫列条件，且,是收敛的。,这后一个条件的限制性较强，致使工程上常用的一些函数不能进行傅立叶变换，其原因大体是由于t时过程中(t)的减幅太慢。为了扩大傅氏变换的使用范围，选正实数，用收敛因子et 乘(t)。只要(t)随时间的增长不比指数函数快，则可使,收敛。,当t0时，et 将起发散作用。,收敛,故(t)仅限于t0的情况。这在电路理论中是可行的，因为换路常发生在t0时刻，换路前的历史可用t0时的初始条件概括地表示。,于是对et(t)进行傅氏变换，并引入复变量 sj，便可得到拉氏变换公式。,拉氏变换式的积分下限记为0-，如果(t)包含t0时刻的冲激，则拉氏变换也应包括这个冲激。 复变量sj的实部应足够大，使e t (t)绝对可积，(t)的拉氏变换才存在。 有些函数t t，e t 2等，不论多大都不存在拉氏变换，这些函数在电路理论中用处不大。 原函数(t)是以时间 t 为自变量的实变函数，象函数F(s)是以复变量s为自变量的复变函数。(t)与F(s)之间有着一一对应的关系。,拉普拉斯（拉氏）变换：,傅立叶（傅氏）变换：,原函数(t)的拉氏变换，实际上就是(t)(t)e t 的傅氏变换。 在t0时，(t)0的条件下，拉氏变换可看作傅氏变换把j换成s的推广，而傅氏变换（如果存在）则可看作拉氏变换sj的特例。 因为(t)拉氏变换就是将e t (t)进行傅氏变换，即把信号(t)展开为复频域函数F(s)。复变量sj常称为复频率，称分析线性电路的运算法为复频域分析，而相应地称经典法为时域分析。,3. 典型函数的拉氏变换,(1)单位阶跃函数,(3)指数函数,(2)冲激函数,= 1,二、拉普拉斯变换的基本性质,1.线性性质(linearity),证明：,欧拉公式：,同理，有：,（1）时域微分(time differentiation)性质,则,2、微性性质（differentiation）,证明：,推广：,（2）频域微分性质,则,若,证明：,3.时域积分(time integration)性质,若,则,证明：,利用时域微分性质：,（1）时域平移(time shift)性质,若,则,4、平移性质,注意：对于f(t-t0),tt0时， f(t-t0)=0,证明：,?,例13：,例14：周期函数的拉氏变换,设 f1(t)为第一周函数,（2）频域平移(frequency shift)性质,若,则,证明：,*5.初值定理和终值定理,（1）初值定理：,（2）终值定理：,若,若,初值定理的证明：,利用时域微分性质：,终值定理的证明：,上页已得到：,例17：运用初值和终值定理求象函数,对应的原函数f(t)的初值和终值。,小结：,1、常用函数的拉氏变换,2、性质：,线性性质：,时域微分性质：,复频域微分性质：,（时域）积分性质：,时域平移性质：,复频域平移性质：,初值定理：,终值定理：,11-2 拉普拉斯反变换的部分展开式,由象函数求原函数的方法：,(1)利用公式：,(2)对F(s)进行数学处理,象函数的一般形式：,查表,真分式,利用部分分式可将F(s)分解为：,求各系数：A1、A2、.，An,令s=p1, 则,同理可得,因此,求各系数：A1、A2、.，An,求待定系数的另一种方法极限法,因此,（罗比塔法则）,法一,解：,由于：,法二,因为：,由于：,一般形式：,所以，A1，A2也是一对共轭复根，设：,由于：,法一:,极点为,由于：,所以:,法二：配方法,法一：配方法,法二: 系数法,极点为:,因为：,同理可得,若为 q 重根，则,解：,单极点：,多重极点：,4、设m=n时：,将F(s)化成真分式,C0对应的时间函数为：,因为：,小结：,1)n =m时将F(s)化成真分式,1. 由F(s)求f(t)的步骤：,2)求真分式分母的根（极点），确定分解单元,3)求各部分分式的系数,4)对每个部分分式和多项式逐项求拉氏反变换,2. 拉氏变换法分析电路,正变换,反变换,求单极点时的系数：,相量形式KCL、KVL,元件复阻抗、复导纳,11-3 动态电路的复频域模型,类似地，运算法：,元件运算阻抗、运算导纳,运算形式KCL、KVL,相量法：,二、电阻元件的运算形式,R：,u(t)=Ri(t),一、运算形式的电路定律,i(t)=Gu(t),L:,三、电感元件的运算形式,求其复频域（运算）形势：,其中，sL电感的运算阻抗；,i(0)电感中的初始电流；,电感的运算电路：注意方向,Li(0)附加电压源。,i(0)/s附加电流源。,思考：当电感的初始电流为0时，运算电路及方程？,C :,四、电容元件的运算形式,求其复频域形势：,其中，1/sC电容的运算阻抗；,uC(0)电感中的初始电压；,电容的运算电路：注意方向。,uc(0)/s附加电压源。,Cu(0)附加电流源。,思考：当电容的初始电压为0时，运算电路及方程？,五、耦合电感 的运算形式,sL1，sL2 自感运算阻抗,sM 互感运算阻抗,六、受控源的运算形式,七、RLC元件串联的复频域形式,运算阻抗,运算形式的欧姆定理,运算导纳,七、运算电路,运算电路,如 L 、C 有初值时，初值应考虑为附加电源。,时域电路,物理量用象函数表示 元件用运算形式表示,时域电路,运算电路,时打开开关, 11-4 动态电路的复频域分析,步骤：,1. 由换路前电路计算uC(0-)，iL(0-)。,2. 画运算电路图。,3. 应用电路分析方法求象函数。,4. 反变换求原函数。,例23：RC并联电路如图(a)所示，换路前处于零状态。现将该电路接通于单位阶跃电流源，试求uC(t) 和iC(t)。,解：作等效运算电路如图 (b)所示。其运算导纳为：,则:,两个单极根：p1=0，p2=1/RC,求部分展开式：,在未求出uC(t) 之前，可用初值和终值定理检验结果的正确性。即：,符合电路情况。,而：,例24：求冲激响应。已知,(t 0),(t 0),t = 0时闭合k，求 i1，uL。,(2)画运算电路,求部分展开式：,反变换求原函数,(4)求UL(s),?,例26：电路如图(a)所示，开关闭合前处于零状态。试求电流i1(t)。,a,解：采用戴维南定理，如图(b)所示，开路电压及内阻抗为：,故电流的象函数为：,所以,例27：已知 uS1=10V，uS2=2V，R=2， C1=C2=C3=2F， uC1(0-)= uC2(0-)=5V， t0时k合向2， 求uC2，各支路电流。,解：由图可知,uC3(0-)=2V,节点法:,由时域电路图可知：,u,其波形为：,t = 0时打开开关S , 求电流 i1(t)、电感电压。,磁链守恒：,小结：,A. 运算法直接求得全响应,C. 运算法分析动态电路的步骤：,B. 用 0 _ 初始条件，跳变情况自动包含在响应中,1. 由换路前电路计算 uC(0-) , iL (0-)。,2. 画运算电路图。,3. 应用电路分析方法求象函数。,4. 反变换求原函数。,例29：电路如图(a)所示，已知R10，0.9， L=0.05H，iL(0-)=0，e(t)=100sin(2000t+600)V，试求 电感中的过渡电流。,选讲,解：电感L除外的部分可以用戴维南等效电路替代，如图(b)所示。其中R0可根据图(c)所示电路计算。,选讲,不接电感时由图(d)可得：,i10=i10,则 i10=0,由图(b)得：,对于正弦电源除直接变换为象函数之外，在计算技巧上也可以用复数指数 Eme j(t+) 替代 Emsin(t+) 。这样，实际电源只是复数电源的虚部。计算结果也将是复数，但其虚部才是真正的答案。现设,选讲,于是,故,选讲,其原函数为：,最后得：,11-5 网络函数,一、网络函数的定义,电路在单一激励作用下，其零状态响应r(t)的象函数R(s)与激励e(t)的象函数E(s)之比为该电路的网络函数H(s)。,1、定义,例30：图示电路，uC为响应，试求电路的网络函数。,解：,2、驱动点函数,驱动点阻抗,驱动点导纳,激励与响应在同一个端口上。,若I(s)为激励,若U(s)为激励,3、转移函数(传递函数),激励与响应不在同一个端口上。,转移导纳,转移阻抗,电压转移函数,电流转移函数,4、激励为冲激函数时的网络函数,网络函数是单位冲激响应的象函数。,1,R(s),5、网络函数的应用,1)由网络函数求取任意激励的零状态响应,2)由网络函数确定正弦稳态响应,响应相量,激励相量,图(a)：,解：,图(b)：,图(d)：,图(c)：,极点用“”表示。,二、网络函数的极点和零点,复频率平面,j,0,解：,H(s)的零点为 z1=2； z2=4,H(s)的极点为 p1=1,电路的零状态响应的象函数,极点位置不同，响应的性质不同。,三、极点、零点与冲激响应,=,零状态响应 = 自由分量 + 强制