全国2017届高考数学第八章立体几何8.1空间几何体的三视图表面积和体积专用题组理新人教B版.docx

第八章立体几何8.1空间几何体的三视图、表面积和体积考点一三视图与直观图13.(2014江西,5,5分)一几何体的直观图如图,下列给出的四个俯视图中正确的是()答案B由几何体的直观图知,该几何体最上面的棱横放且在中间的位置上,因此它的俯视图应排除A、C、D,经验证B符合题意,故选B.14.(2014辽宁,7,5分)某几何体三视图如图所示,则该几何体的体积为()A.8-2B.8-C.8-D.8-答案B该几何体由一个棱长为2的正方体切去两个四分之一圆柱所得.所以其体积为V=23-2122=8-,故选B.15.(2014湖南,7,5分)一块石材表示的几何体的三视图如图所示,将该石材切削、打磨,加工成球,则能得到的最大球的半径等于()A.1B.2C.3D.4答案B由三视图知该石材表示的几何体是一个直三棱柱,该直三棱柱的底面是两直角边长分别为6和8的直角三角形,其高为12.要得到最大球,则球与三个侧面相切,从而球的半径应等于底面直角三角形的内切圆的半径,故半径r=2,其中S为底面直角三角形的面积.故选B.16.(2013四川,3,5分)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的直观图可以是()答案D由俯视图易知,只有选项D符合题意.故选D.17.(2013重庆,5,5分)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A.B.C.200D.240答案C由三视图可知该几何体是直四棱柱,底面是等腰梯形.底面面积S=(2+8)4=20,几何体的体积V=Sh=2010=200.选C.18.(2013湖南,7,5分)已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形,则该正方体的正视图的面积不可能等于()A.1B.C.D.答案C若该正方体的放置方式如图所示,当正视的方向与正方体的任一侧面垂直时,正视图的面积最小,其值为1,当正视图的方向与正方体的对角面BDD1B1或ACC1A1垂直时,正视图的面积最大,其值为,由于正视图的方向不同,因此正视图的面积S1,.故选C.评析本题考查空间几何体的三视图与直观图,考查学生空间想象能力及有关知识的应用能力,解答本题应设法求出正视图的面积的取值范围,而不应该逐项计算.19.(2014北京,7,5分)在空间直角坐标系Oxyz中,已知A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),D(1,1,).若S1,S2,S3分别是三棱锥D-ABC在xOy,yOz,zOx坐标平面上的正投影图形的面积,则()A.S1=S2=S3B.S2=S1且S2S3C.S3=S1且S3S2D.S3=S2且S3S1答案D三棱锥D-ABC如图所示.S1=SABC=22=2,S2=2=,S3=2=,S2=S3且S1S3,故选D.20.(2012课标全国,7,5分)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为()A.6B.9C.12D.18答案B由三视图可得,该几何体为如图所示的三棱锥,其底面ABC为等腰三角形且BA=BC,AC=6,AC边上的高为3,SB底面ABC,且SB=3,所以该几何体的体积V=633=9.故选B.评析本题考查了三视图和三棱锥的体积,考查了空间想象能力.由三视图正确得到该几何体的直观图是求解的关键.21.(2012湖北,4,5分)已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A.B.3C.D.6答案B由题意,画出几何体的直观图(如图),利用对称性补形,可转化为高为6的半圆柱体,则所求几何体的体积为(126)=3.故选B.评析本题考查几何体的三视图、直观图的画法,体积公式等知识,考查学生空间想象能力;运用割补法将不规则几何体转化为规则几何体,再运算求解.22.(2014湖北,5,5分)在如图所示的空间直角坐标系O-xyz中,一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2),(2,2,0),(1,2,1),(2,2,2).给出编号为、的四个图,则该四面体的正视图和俯视图分别为()A.和B.和C.和D.和答案D设A(0,0,2),B(2,2,0),C(1,2,1),D(2,2,2).B,C,D在平面yOz上的投影的坐标分别为(0,2,0),(0,2,1),(0,2,2),点A(0,0,2)在平面yOz上,又点C的横坐标小于点B和D的横坐标,该几何体的正视图为题图.点A,C,D在平面xOy上的投影的坐标分别为(0,0,0),(1,2,0),(2,2,0),点B(2,2,0)在平面xOy上,该几何体的俯视图为题图.故选D.评析本题考查了空间直角坐标系和三视图,考查了空间想象能力.本题也可以根据该四面体各顶点的坐标画出几何体的直观图再求解.23.(2013广东,5,5分)某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是()A.4B.C.D.6答案B由四棱台的三视图可知该四棱台的上底面是边长为1的正方形,下底面是边长为2的正方形,高为2.由棱台的体积公式可知该四棱台的体积V=(1+4+2)2=,故选B.评析本题考查几何体的三视图和直观图之间的关系以及棱台的体积公式,考查学生空间想象能力和运算能力,正确运用棱台的体积公式是解题的关键.24.(2013陕西,12,5分)某几何体的三视图如图所示,则其体积为.答案解析该几何体为一个半圆锥,故其体积为V=122=.25.(2013浙江,12,4分)若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的体积等于cm3.答案24解析此三视图所表示的几何体由一个直三棱柱截去一个三棱锥所得(如图所示),故其体积V=345-343=24(cm3).26.(2012辽宁,13,5分)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为.答案38解析如图所示:该几何体是长为4,宽为3,高为1的长方体内部挖去一个底面半径为1,高为1的圆柱.S表=2(43-)+2(31)+2(41)+2=24-2+6+8+2=38.评析本题考查三视图及几何体的表面积,考查学生的空间想象能力.27.(2012天津,10,5分)一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为m3.答案18+9解析由三视图知原几何体是两个半径均为 m的球体相切放置,上面放长、宽、高分别是6 m、3 m、1 m的长方体,直观图如图.该几何体的体积V=2V球+V长方体=2+613=(18+9)m3.28.(2012安徽,12,5分)某几何体的三视图如图所示,该几何体的表面积是.答案92解析由三视图,画出几何体的直观图易求得基本量,如图所示,其表面积S=2+4(2+4+5+5)=28+64=92.29.(2012浙江,11,4分)已知某三棱锥的三视图(单位:cm)如图所示,则该三棱锥的体积等于cm3.答案1解析由三视图可知,该三棱锥底面为两条直角边长分别为1 cm和3 cm的直角三角形,一条侧棱垂直于底面,垂足为直角顶点,故高为2 cm,所以体积V=132=1(cm3).考点二表面积9.(2011安徽,6,5分)一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为()A.48B.32+8C.48+8D.80答案C此几何体的直观图是一个直四棱柱,底面是等腰梯形,上底长为2,下底长为4,高为4,则腰长为.故该几何体的表面积为24+24+24+44=48+8,故选C.评析本题考查三视图及几何体表面积计算,考查空间想象能力.关键是如何由三视图识辨其直观图的形状和特征,属中等难度题.10.(2014重庆,7,5分)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为()A.54B.60C.66D.72答案B该几何体的直观图如图所示,易知该几何体的表面是由两个直角三角形,两个直角梯形和一个矩形组成的,则其表面积S=34+35+5+4+35=60.选B.11.(2014浙江,3,5分)某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的表面积是()A.90 cm2B.129 cm2C.132 cm2D.138 cm2答案D由三视图可知该几何体由一个直三棱柱与一个长方体组合而成(如图),其表面积为S=35+243+43+33+243+246+36=138(cm2).评析本题考查三视图的概念和性质,空间几何体的直观图和表面积的计算,考查运算求解能力和空间想象能力.由三视图得几何体的直观图是解题的关键.考点三体积20.(2012广东,6,5分)某几何体的三视图如图所示,它的体积为()A.12B.45C.57D.81答案C根据三视图可知原几何体是一个圆柱和一个圆锥的组合体,其体积为325+324=57,故选C.评析本题考查空间几何体、三视图、柱体和锥体的体积计算公式,考查空间想象能力和运算求解能力.21.(2014山东,13,5分)三棱锥P-ABC中,D,E分别为PB,PC的中点,记三棱锥D-ABE的体积为V1,P-ABC的体积为V2,则=.答案解析如图,设SABD=S1,SPAB=S2,E到平面ABD的距离为h1,C到平面PAB的距离为h2,则S2=2S1,h2=2h1,V1=S1h1,V2=S2h2,=.评析本题考查三棱锥的体积求法以及等体积转化法在求空间几何体体积中的应用.本题的易错点是不能利用转化与化归思想把三棱锥的体积进行适当的转化,找不到两个三棱锥的底面积及相应高的关系,从而造成题目无法求解或求解错误.22.(2012上海,8,4分)若一个圆锥的侧面展开图是面积为2的半圆面,则该圆锥的体积为.答案解析设圆锥的母线长为l,底面半径为r,高为h,则解得h=.所以圆锥的体积V=r2h=.评析本题考查了圆锥的性质、侧面积和体积.考查空间想象能力.23.(2012上海,14,4分)如图,AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱,BC=2.若AD=2c,且AB+BD=AC+CD=2a,其中a、c为常数,则四面体ABCD的体积的最大值是.答案c解析根据图形的变化,利用四面体的性质和体积公式.如图,当BA=BD=CA=CD=a,且EF为AD和BC的公垂线段,F为AD的中点时,该几何体体积V最大,Vmax=SAEDBC=ADEFBC=.评析本题是开放性题目.运用数形结合的方法求其最值.考查了空间想象能力和应用意识.24.(2012湖南,18,12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA平面ABCD,AB=4,BC=3,AD=5,DAB=ABC=90,E是CD的中点.(1)证明:CD平面PAE;(2)若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等,求四棱锥P-ABCD的体积.解析解法一:(1)如图(1),连结AC.由AB=4,BC=3,ABC=90,得AC=5.又AD=5,E是CD的中点,所以CDAE.因为PA平面ABCD,CD平面ABCD,所以PACD.而PA,AE是平面PAE内的两条相交直线,所以CD平面PAE.(2)过点B作BGCD,分别与AE,AD相交于点F,G,连结PF.由(1)CD平面PAE知,BG平面PAE.于是BPF为直线PB与平面PAE所成的角,且BGAE.由PA平面ABCD知,PBA为直线PB与平面ABCD所成的角.由题意知PBA=BPF,因为sinPBA=,sinBPF=,所以PA=BF,由DAB=ABC=90知,ADBC,又BGCD,所以四边形BCDG是平行四边形,故GD=BC=3,于是AG=2.在RtBAG中,AB=4,AG=2,BGAF,所以BG=2,BF=.于是PA=BF=.又梯形ABCD的面积为S=(5+3)4=16,所以四棱锥P-ABCD的体积为V=SPA=16=.解法二:如图(2),以A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系.设PA=h,则相关各点的坐标为A(0,0,0),B(4,0,0),C(4,3,0),D(0,5,0),E(2,4,0),P(0,0,h).(1)易知=(-4,2,0),=(2,4,0),=(0,0,h).因为=-8+8+