Chapter3流体运动的基本方程组.doc

袁蒇薇螇羃芀蒃螆肅蒆荿袅膈芈蚇袅袇肁薃袄肀芇蕿袃膂膀蒅袂袂莅莁袁羄膈蚀袀肆莃薆羀膈膆蒂罿袈莂莈羈羀膄蚆羇膃莀蚂羆芅芃薈羅羅蒈蒄薂肇芁莀薁腿蒇虿薀衿艿薅虿羁蒅蒁蚈肄芈莇蚇芆肀螅蚇羆莆蚁蚆肈腿薇蚅膀莄蒃蚄袀膇荿蚃羂莂蚈螂肄膅薄螁膇莁蒀螁袆膄蒆螀聿葿莂蝿膁节蚁螈袁蒇薇螇羃芀蒃螆肅蒆荿袅膈芈蚇袅袇肁薃袄肀芇蕿袃膂膀蒅袂袂莅莁袁羄膈蚀袀肆莃薆羀膈膆蒂罿袈莂莈羈羀膄蚆羇膃莀蚂羆芅芃薈羅羅蒈蒄薂肇芁莀薁腿蒇虿薀衿艿薅虿羁蒅蒁蚈肄芈莇蚇芆肀螅蚇羆莆蚁蚆肈腿薇蚅膀莄蒃蚄袀膇荿蚃羂莂蚈螂肄膅薄螁膇莁蒀螁袆膄蒆螀聿葿莂蝿膁节蚁螈袁蒇薇螇羃芀蒃螆肅蒆荿袅膈芈蚇袅袇肁薃袄肀芇蕿袃膂膀蒅袂袂莅莁袁羄膈蚀袀肆莃薆羀膈膆蒂罿袈莂莈羈羀膄蚆羇膃莀蚂羆芅芃薈羅羅蒈蒄薂肇芁莀薁腿蒇虿薀衿艿薅虿羁蒅蒁蚈肄芈莇蚇芆肀螅蚇羆莆蚁蚆肈腿薇蚅膀莄蒃蚄袀膇荿蚃羂莂蚈螂肄膅薄螁膇莁蒀螁袆膄蒆螀聿葿莂蝿膁节蚁螈袁蒇薇螇羃芀蒃螆肅蒆荿袅膈芈蚇袅袇肁薃袄肀芇蕿袃膂膀蒅袂袂莅莁袁羄膈蚀袀肆莃薆羀膈膆蒂罿袈莂莈羈羀膄蚆羇膃莀蚂羆芅芃薈羅羅蒈蒄薂肇 Chapter 3 流体运动的基本方程组本章任务：建立控制流动的基本方程组，确定边界条件。3.1系统和控制体系统（）指给定流体质点组成的流体团，相当于质点或刚体力学中的研究对象物体；系统在流动过程中可以不断改变自己的位置和形状，但维持其连续性，始终由固定的那些流体质点组成。系统与外界可以有力的相互作用，可以有动量和能量交换，但是没有物质交换。控制体（）指流动空间内的一个给定空间区域（子空间），其边界面称为控制面（）。控制体一旦选定，其大小、形状和位置都是确定的，有流体不断出入。物质体元即流体微团。物质面元可以看成由连续分布的流体质点（看成是没有体积的几何点）构成的面元，物质面元在流动过程中可以变形，但始终由这些流体质点组成。物质线元可以看成连续分布的流体质点（看成是没有体积的几何点）构成的线元，或者说是连续分布的流体质点的连线线元，物质线元在流动过程中可以变形，但始终由这些流体质点组成。时间线就是物质线。（三者如同面团、薄饼和面条）3.2雷诺输运定理设代表流动的某物理量场（可以是密度场、温度场、动量密度分量场、能量密度场等），时刻某流体团（即系统）占据空间，取该空间为控制体。时刻该流体团的总为。（3-1）此也是时刻控制体内的总。设时刻（）该系统运动到如图所示位置，占据空间，此时系统的总为。（3-2）该系统总的随体导数。（3-3）将空间分为与空间重合的部分和其余部分，空间去除后剩余部分记为，于是，（3-4）进而，（3-5）可得，（3-6）其中第一项。（3-7）注意到是时间内从控制体内经由其右半控制面（和的公共表面）流出的，因而有（3-8）记控制体的左半控制面记为，和的公共表面为，法向如图。内的总在时间内经由流入空间，因而有。（3-9）控制体内总的增加率等于其控制面上通量的负值，即。（3-10）由于等号左边体积分（比等号右边面积分低一阶，忽略后可得，（3-11）于是.（3-12）将式（3-7）、（3-8）和（3-12）一起代入式（3-6），得到，（3-13）或表示为。（3-14）对于矢量物理量，同样有。（3-15）方程（3-14）和（3-15即Reynold输运方程，其物理意义：系统在时刻总的变化率=该时刻系统所占控制体内总随时间的变化率（局地导数） +该时刻通过控制面的通量例3.1 （1）若，则系统动能在时刻的变化率=该时刻系统所占控制体内动能随时间的变化率 +该时刻通过控制面的动能通量=作用在系统上的外力的功率（2）若则系统质量在时刻的变化率=该时刻系统所占控制体内质量随时间的变化率+该时刻通过控制面的质量通量因为系统质量不变，所以有控制体内质量随时间的变化率+控制面上的质量通量=0（3）若则系统动量在时刻的变化率=该时刻系统所占控制体内总动量随时间的变化率（局地导数） +该时刻通过控制面的动量通量=系统所受合外力式（3-8）和（3-12）也可通过如下的考虑得到。如图所示，控制体表面上的物质面元经时间后移动到，对应的微小流体柱经由进入空间，于是空间可以看成由空间上的各面元对应的微小流体柱组成，因此有式（3-12）。同理可以分析得到式（3-8）。附：雷诺输运方程的严格数学导出3.3质量连续性方程质量守恒假设认为系统的质量恒定不变。对于很多流动问题，分子热运动引起的系统与外界的物质交换可忽略不计，质量守恒假设是良好的近似。在此假设下，对系统有。设时刻该系统所占控制体为，对应控制面，根据雷诺输运定理，有。（3-16）此即质量连续性方程的积分形式。由奥高公式得 ，（3-17）于是有。（3-18）考虑到的任意性，应有，（3-19）即 （3-20）此即质量守恒方程的微分形式各项意义分析：1）流体微团密度随时间的变化率；定常流动；不可压缩流动；均质流体的不可压缩流动。2）由（为微团的质量）知（为该微团时刻体积），从而知=流体微团体积随时间的相对变化率，即体膨胀率。3）不可压缩流体，故有 。由奥高公式有，可见对于不可压缩流动，任意闭合曲面上有。不可压缩流动满足的方程或是对速度场的一个约束。例3.2 （1）定常流场中取一段流管，则由易知：；如为均质不可压缩流动，则。（2）对于不可压缩球对称流动（如三维空间中的点源产生的流动）取两同心球面围成的控制体，则有，可见，其中代表点源强度（单位时间发出的流体体积）。例3.3 均质不可压缩流体（密度为）从圆管（半径为）入口端以速度流入管内，经过一定距离后，圆管内流体的速度发展为抛物型剖面，即。通常称这种流动为圆管的入口流。试求当管内流动发展为抛物型剖面时的最大速度。解：如图，将整个入口段取为控制体，对不可压缩流体有：， 由于管壁无渗透故上式可写为，可得。3.4微分形式的动量方程流体团所受合外力 = 该流体团的质量 其加速度一、方程的导出在直角坐标系下推导微分形式的动量定理。时刻，考虑一个正六面体形状的流体微团，如图所示，该流体微团时刻所占控制体，其边界。该流体微团所受体力合力为，面力合力为。 （3-22）于是有，即。（3-23）分量形式：。（3-24）式（3-23）也可表示为，（3-25）其中是单位体积流体团所受合面力。二、几种特殊形式1）NS方程将本构方程代入式（3-25）即得NS方程： 。（3-27）当流场温度变化不大时，近似为常数，故有 。（3-28）又，若流体不可压缩，方程化为。（3-29）2）欧拉方程若流体粘性可略理想流体，方程简化为欧拉方程。（3-30）3）兰姆葛罗米柯形式的动量方程利用公式可以证明，（3-31）代入式（3-25）得。（3-32）4）地转参照系下的动量方程绝对速度等于相对速度与牵连速度之和，（3-33）牵连速度等于地心平动速度加上参照系绕地心的转动速度，（3-34）其中为地球自传角速度。绝对加速度，（3-35）其中代表相对加速度，牵连加速度，（3-36）科氏加速度。（3-37）将式（3-35）代入动量方程得。（3-38）一般情况下可以忽略地球公转速度的变化和自转角速度的变化，认为，。例3.4 一完全浸没在理想不可压缩流体内部的球按规律膨胀，不计体力，试确定球面上的流体压力。设无穷远处流体速度为零，压强为。解：流体作球对称膨胀运动，流体运动的定解问题为由连续性方程可得或可得由动量方程可得，对上式积分，将速度表达式代入积分得。附球坐标系。例3.5 设有不可压缩重流体盛在直立圆柱形容器内，以等角速绕圆柱轴线稳定旋转。若已知流体静止时液面高，圆柱半径，不计大气压强，求1）液体内部压强分布；2）自由表面形状；3）容器底部所受总压力。解：该流动定常，。流体像刚体定轴转动一样运动，满足。流体不可压缩满足。容易证明此时，因而流动遵守欧拉方程。将欧拉方程在柱坐标系下展开（或利用质点圆周运动的知识），得到将代入并积分得和。故有。自由表面上，因此，即可知自由表面为回转抛物面。由不可压缩流体的质量守恒关系得由此可确定常数，最后得到和。例3.6 若流体静止，1）N-S 方程化成什么形式？2）利用此时的N-S方程推导阿基米德定律（Archimeder）答：1）。若仅受重力这唯一体力，则，对均质不可压缩流体即。2）如图物体浸没在静止流体中，作用于物体上的合面力为 （其中利用了吴书公式18，p20）3.5 能量方程一、 能量方程在流动过程中，流体内部各流体团之间以及流体与外界间存在能量交换，流体宏观运动机械能和其他形式的能量（内能、热能、辐射能）之间也会发生转换。能量方程描述流体中能量交换和转换的规律。流体内能包含分子热运动动能和分子间相互作用势能，本文中流体的能量包含内能和动能。记单位质量流体的内能为，则流体团（系统）的总能量为。（3-39）根据能量守恒定律，系统能量的变化率等于外力对系统做功的功率加上从系统边界传入的热能，或者如果有的话，再加上系统单位时间从外界吸收的辐射能等其他形式的能量。取时刻流体团所占空间为控制体，外力对系统做功功率为。（3-40）在第一章讲流体的输运性质时，我们定义了热流强度矢量。如果流体温度在三维空间中分布不均匀，热流强度矢量与温度分布的关系为。此即傅里叶（Fourier）热传导定律的一般形式。热流强度方向与温度梯度方向相反，其大小等于通过法向为方向的单位面积面元上的热通量。时刻从系统表面流入的热通量即控制面上的热通量的负值，其表达式为。（3-41）设单位时间内单位质量流体从外界吸收的辐射能为 则系统单位时间从外界吸收的辐射能为。综上可得能量方程积分形式。（3-42）将上式右边的两个面积分变换成体积分：，并考虑到系统总能量的变化率等于控制体内所有流体微团能量变化率之和，可得微分形式能量方程，（3-43）其中。（3-44） 由于旋转运动张量是反对称张量，而应力张量是对称张量，故有。 记 而，于是有如下形式的能量方程：。（3-45）二、动能方程将动量方程两边同时点积得。（3-46） 而，（3-47）故有动能定理 。（3-48）右边两项分别代表合体力的功率和合面力的功率，注意面力功率仅有一部分（）转化为系统的宏观动能，另一部分（）转化为系统的内能。三、内能方程由式（3-45）和式（3-48）可得。（3-49）右边第一项代表流体内应力做功导致的单位时间内单位体积流体机械能转化成的内能，将本构方程代入 ， （3-50）其中为压缩功，而为粘性力的功，即粘性引起的机械能转化成内能。定义耗散函数。（3-51）耗散函数可以写成如下多项式平方和的形式，（3-52）可见，恒大于或等于零。这说明粘性力做功总是使机械能转化成内能，这个过程不可逆。例3.7 两平行平板间充满流体，匀速拖动上板引起流体剪切运动，。设平板面积，间距，忽略边缘效应，（1）写出该流动的耗散函数。 ， （2）证明外力拉动上板的功率等于 上板受外力上板受流体摩擦力 外力功率。3-6边界条件流体力学方程组是支配流体运动的普适的方程组。该方程组是微分方程组，要确定某个具体的流动，还必须给出定解条件，这通常包括边界条件和初始条件。本节讨论几种常见的边界条件。一、无穷远边界条件飞机在天空飞行，天空边界无穷远，在无穷远处流体的运动状态不受飞机的影响，通常是已知的，因此有边界条件：。（3-53）如果无穷远处空气静止，则边界条件为：，（3-54）其中代表大气压强。但是，有时为了方便把参照系固定在运动物体上，例如飞机（设飞行速度），则边界条件变为：。（3-55）在绕流问题中，一般情况下，当流动的空间尺度远大于明显受物体扰动的流动区域的尺度时（即被绕流物体的尺度），即可将扰动可略的区域视为无穷远。二、两种流体分界面上的边界条件（1）液体的表面张力介质（1）介质（2）表面张力在两种流体介质的界面上存在表面张力。界面上任一面元边框上的线元都要受到与该线元垂直的，沿界面切向的作用力，称为表面张力。单位长度线元上的表面张力的大小被称为表面张力系数。作用于单位面积界面上的表面张力的合力为，其中，是该面元的两个主曲率半径（即任意两个包含的正交平面和界面交线的曲率半径，若指向曲率中心，曲率半径为正，否则为负）。（2）应力边界条件在界面两侧对称地取微元小柱体，柱高两底面的尺度，对此微元应用动量定理，由于体力和柱体侧面所受面力两底上的面力和柱体与界面交线上的表面张力，故有两底上的面力柱体侧面与边界面的交线上的表面张力0，即 。（3-56）由此可见，界面两侧切应力连续，法应力在界面平均曲率不为零时有一个突变。当界面为平面时，法应力和切应力均连续。特别地当流体静止时，在上图中，。（3-57）（3）速度衔接条件假设1）两介质的界面是物质面，即假设界面上不发生蒸发、渗透、凝结和相互融解等现象，那么，在运动过程中，分界面始终由同一批质点所组成；2）两介质的界面不发生分离。在这两个假设下，界面两侧的法向流速必满足连续条件，。（3-58）在流体的分界面上同样有分子的输运效应，它的效果就是减小界面两侧物理量的差异。如果界面两侧流体切向速度不同，那么粘性应力就会消除它们的差异，由此我们假设界面上切向速度连续，。（3-59）此条件称为无滑移条件，对粘性流体的界面成立。对于理想流体，没有切向速度边界条件。（4）热力学边界条件同样，流体分界面上的分子输运效应也会消除两侧温度的差异，故我们假设边界两侧温度连续，。（3-60）分析前面提到的界面上的小柱体内由热传导引起的能量变化，根据能量守恒，柱体内能量的增加率应等于其表面上的热通量的负值。由于柱体内的能量和侧面上的热通量的量阶低于两底面上的热通量，因此上底面的热通量与下底面的热通量之和等于零，即。（3-61）可得温度一阶导数满足的边界条件：。（3-62）三、固壁边界条件和自由表面边界条件与分界面两边都是求解对象的问题相比，此时运动方程数减少了一半。边界条件也需相应的减少一半，或者说，此时只能容许一半数目的边界条件。（1）固壁边界条件固体边界的运动通常作为已知条件给出，即已知。在不发生渗透和流动分离的情况下，。若流体有粘性，还有切向速度的无滑移条件；对理想流体无切应力边界条件。事实上，在固壁边界附近存在边界层，在边界层内流体粘性必须考虑，因而在固壁表面实际上是满足无滑移条件。如果边界层很薄，在求解边界层外部的理想流体流动时，仍将固壁作为理想流体流动的边界，但不加无滑移条件约束。在固壁边界，热力学边界条件仍成立。（2）自由表面边界条件液体的自由表面指它与真空或大气的接触面。很多情况下我们仅关心液体的流动，并且，考虑到大气的密度和粘性系数都很低，不会对液体产生显著的影响，通常忽略大气对液体运动的影响(但研究风浪 大气液体时除外)。作为近似，大气中的应力张量处处可取为，此时边界上流体的应力满足：，（3-63） ，（3-64）其中代表应力的切向分量。四、分界面上的运动学边界条件若已知界面曲面方程，由于界面是物质面，速度边界条件还可以表述为另一种形式。设界面曲面方程为，考虑界面上的一质点，时刻该质点在点，时刻运动到，有 ，(3-65)和。(3-66)以上二式相减得即。（3-67）而为界面上质点的速度，于是得到 ，（3-68）上式也即。考虑到曲面法线方向, 上式还可以表述为，（3-69）例如在水波表面，已知自由表面方程，代表波面位移，则自由表面上水质点速度满足。(3-70)若已知固壁表面曲面方程，据式（3-69）固壁表面任意点的法向速度为固壁表面法向速度连续条件等价于要求：，即。（3-71）例3.8 长椭圆柱横截面长、短轴分别为、，该柱以速度沿长轴方向作直线运动，试写出椭圆柱的曲面方程。设该圆柱在无界水中运动，写出柱面边界上的速度应满足的运动学边界条件，