随机变量及分布课件

第二节 随机变量的分布,一、离散型随机变量的概率分布,二、随机变量的分布函数,三、连续型随机变量的概率密度,四、小结,第二章,一、离散型随机变量的概率分布,定义2.1,设离散型随机变量的所有可能值为,x1, x2, x3, , 取所有可能值的概率为,P=xk=pk, k=1,2,3, (2.1),称(2.1)式为随机变量的概率分布或分布律。,分布律可用如下表格表示:,或 ,pk具有以下性质：,例1.,一批零件中有9个合格品3个废品,安装机器时, 从这批产品中任取一个。如果每次取出的废品 不再放回去。求： (1) 在取得合格品以前已取出的废品数的概率分布; (2) 在取得合格品以前最多取到1个废品的概率.,解：,(1) 用 表示在取得合格品之前已,取出的废品数，则,列成概率分布表：,(2) 利用的概率分布表，可得,P0 1,= P=0+ P=1,=0.954.,概率分布。,列成概率分布表:,例2.,一盒内装有5 个乒乓球，其中2 个旧球3 个,新球。从中任取2个球，求取到新球个数的,解：,设表示取到的新球个数，其可能取值为,0,1,2, 且,常见分布,(1) 0-1 分布：,设随机变量可能取值0和1两个值，且,P=1= p, P=0=1- p,则称服从0-1分布，其相应的概率分布表：,例3.,一批产品的废品率为5%，从中任取一个进行,检验, 表示废品出现的情况, 写出的概率分布。,解：,用“=1”表示取到废品,“=0”表示取到正品,则,即有概率分布表：,P=1= 0.05, P=0=0.95,(2) 二项分布,其中0p1, q=1-p, 称为服从参数为n，p的,二项分布，记为B(n, p)。,设表示 n 重贝努里试验中事件A发生的次数,则 的所有可能取值为0,1,n, 且,由二项式公式有：,特别：当n=1时为01分布， B(1, p) 。,例4 一人同时掷3枚质地均匀的硬币, 求正面向上的枚数的概率分布。,解：,设表示正面向上的枚数，则所有可能取值,为0,1,2,3. 由于每枚硬币正面向上的概率为0.5,即 B(3,0.5),因此，的概率分布表如下,例5.,某车间有10台同类型的机床, 每台开动的概率为0.4, 且每台机床开动与否是相互独立的。,(1)求同时开动的机床数的概率分布； (2)若开动时每台机床消耗的电能为10单位, 现因电力供应紧张, 供电部门只提供了50单 位的电能。问这10台机床能够正常工作的概 率是多少？,解：,(1) 设表示同时开动的机床数，则,B(10,0.4)，即,(2) 50单位电能可供5台机床同时开动，,因而同时开动的台数不超过5台时，,机床都可以正常工作，其概率为,二项分布的最可能 值,在二项分布中，使 pk=P=k取最大的k,值称为二项分布的最可能值，记为k0。,例5中，n=10,p=0.4,np+p=4.4不是整数，,所以 k0=4,有4台同时开动的可能性最大。,(3) 泊松(Poisson)分布,其中0，则称为服从参数为的泊松分布，记为P()。,设随机变量的可能值为0,1,2,其概率分布为,例6. 设某种铸件上的缺陷数服从参数 =2的泊松分布。现随机抽取一件，求其缺陷 数少于4的概率。,解：设铸件上的缺陷数为，则P(2),查表一(P.250),解： P(10)，查表得,例7. 已知在某公共汽车起点站, 每辆 车上的人数服从=10的泊松分布。现随机观察一辆车。求： (1) 车上只有5人的概率； (2) 车上超过5人的概率。,用泊松分布近似二项分布,可证：二项分布以泊松分布为极限分布。,当n（30）很大，p很小，而np (5)不太大时，有,例8.,某厂有同型号设备400台(独立工作)，每台故 障率均为0.01。求同时出故障的设备台数不少于3的概率。,取=4000.01=4， 有,解：,设表示同时出故障的设备台数，则,B(400，0.01)。,解: 表示被选到的女生人数,其取值为0,1,2,3,4,因此,例9.,某班有学生20名，其中有女生5名。 现从班上任选4名学生参观展览,被选到的女生人数是一个随机变量, 求的分布。,(4) 超几何分布,其中，,定义 设N个元素分成两类，第一类有N1个元素，第二,类有N2个元素，且N1+N2=N。从N个元素中按不重复,抽样取n个样本,令表示这n个样本中第一类元素的个数,则的分布称为超几何公布：,超几何分布以二项分布为极限分布,当N50，且n相对于N很小时，有,例10. 一条生产线, 每天生产产品1800件, 次品率为2.5%。每天从中抽取1%作为样本，求样本中次品数低于10%的概率。,解：产品总数N=1800，次品数N1= 45，正品数N2=1755,从中取n=18件,且在实际抽样中，常采用无放回抽样方法.,若表示样本中次品数，则服从超几何分布，即,由于N=1800相对于n=18很大, 近似服从二项分布B(18,0.025)。 因此，有,例11. 一大批种子的发芽率为90%, 从中任取10粒播种。求： (1) 恰好有8粒种子发芽的概率； (2) 不少于8粒种子发芽的概率。,解：10粒种子是由一大批种子中抽取的，即N很大,而n相对较小的超几何分布。设表示10粒种子发芽,种子的数量，则可用二项分布B(10，0.9)近似计算：,二、随机变量的分布函数,由于 ab= b - a,且 a b,因此, Pab= P b-P a,定义2.2 设是一个随机变量, x是任意实数, 记 F(x)=Px 称F(x)为随机变量的分布函数。,特别地， (1) Pab= F(b)-F(a)。,(2) 若是取值为xk的离散随机变量，则,分布函数的性质：,4 F(x)至多有可列个间断点，且在间断点处右连续。,已知 F(x)时，求概率：,分析： 是一个离散型随机变量,其取值为0,1,2,可用,求解F(x).,例12 设随机变量的分布律为,求的分布函数F(x)及 概率P0 1.5。,解：,(2) P0 1.5= P0 1.5+P=0 = F(1.5)-F(0)+ P=0= 0.8-0.3+0.3= 0.8.,离散型随机变量的分布函数,离散型随机变量的分布函数的图形是阶梯曲线,它在的,一切有正概率的点xk处都有一个跳跃，其跃度为取值xk,的概率pk , 而在分布函数的任何一个连续点x上, 取值x,的概率都是0.,离散型随机变量的概率分布与分布函数及事件概率的关系：,(1)若 P=xk=pk (k=1,2,), 则,Pa b= F(b)- F(a) + P=a-P=b F(b)- F(a).,(2) 已知分布函数F(x), 则,P= xk = F(xk)- F(xk-0) (k=1,2,) ;,Pa b = F(b)- F(a) ;,例13 设离散型随机变量的分布函数为,求的概率分布；(2) 求P2| 0.,解：(1) 由已知，的可能值为：0,1,2,3。,由P= xk = F(xk)- F(xk-0) 得,P=0 = F(0)- F(0-0)=0.1,P=1 = F(1)- F(1-0)=0.4-0.1=0.3,P=2 = F(2)- F(2-0)=0.8-0.4=0.4，,P=3 = F(3)- F(3-0)=1-0.8=0.2.,概率分布表为,三、连续型随机变量的概率密度,定义2.3 对于随机变量的分布函数F(x),如果存在非负可积函数 f (x), 使得对任何实数 x, 都有,则称为连续型随机变量， f (x)为的概率密 度函数, 简称概率密度, 记为 f (x)。,概率密度 f (x) 有以下性质,例14 设随机变量的概率密度为,求常数a; (2) 求的分布函数F(x);,(3) 求P02。,解:,常见连续型分布,其中0, 则称服从参数为的指数分布,记为e().,1. 指数分布,若随机变量具有概率密度,注： 指数分布常用于描述具有“寿命”特征的随机变量的分布特性。,设e(), 的分布函数为,解：由已知的概率密度为,例15 某产品的寿命(单位：h)服从 参数为1/2000的指数分布，求产品使用1500h 不坏的概率。,解：由已知有， e(1/1000), 因此 P1000=1-F(1000)=e 1， A表示三个元件都没有损坏， P(A)=(e-1)3= e-3。,例16 某元件寿命(单位:小时)服从 参数为(=1/1000)的指数分布，求3个相同元 件使用1000小时后都没有损坏的概率。,例17 设某类日光灯管的使用寿命 X 服从参数为 1/2000的指数分布(单位:小时). (1)任取一只这种灯管, 求能正常使用1000小时以 上的概率. (2) 有一只这种灯管已经正常使用了3000 小时以 上,求还能使用1000小时以上的概率.,X 的分布函数为,解,指数分布的重要性质 :“无记忆性”.,2. 均匀分布,设a、b为有限数, 随机变量的概率密度为,称服从区间a, b上的均匀分布, 记为Ua, b。,设 Ua, b ， 的分布函数为,注： 随机变量落在 a,b子区间内的概率与子区间的长度成正比。,例18. 某公共汽车站每隔10分钟准时 开出一辆车，某人不知道发车时间，求他等车时间不超过3分钟的概率。,当7, 10时, 乘客等车时间不超过3分钟, 即,解：设乘客到达车站的时刻为， 则U0, 10，即,例19 设随机变量 X 在 2, 5 上服从均匀分布, 现对 X 进行三次独立观测 ,试求至少有两次观测值大于3 的概率.,X 的分布密度函数为,设 A 表示“对 X 的观测值大于 3 ”,解,即 A= X 3 .,因而有,设Y 表示3次独立观测中观测值大于3的次数,则,求(1) k; (2)分布函数 F(x); (3) P1.52.5.,(1) 由 ,例20 已知连续型随机变量的概率密度为,解：,3.正态分布,定义 若连续型随机变量的概率密度为,其中和为常数，且0，则称服从参数 为和2的正态分布，记为N(，2).,正态分布概率密度函数的几何特征,若N(，2)，则的分布函数为,正态分布是最常见最重要的一种分布,例如 测量误差, 人的生理特征尺寸如身高、体重等 ; 正常情况下生产的产品尺寸:直径、长度、重量 高度等都近似服从正态分布.,正态分布的应用与背景,标准正态分布,当=0，2=1时，称服从标准正态 分布，记为N(0，1)，相应的概率密 度与分布函数为,标准正态分布的图形,性质,证明,注意： (1)当N(0，1)时，有 P|xP-x x= (x)- (-x)=2(x)-1。 (2) 当0 x 4.99 时， (x)的值可查表(P253)求得； 当x 4.99 时，(x) 1。,例21. 设 N(0，1)，求：,P1.96； P-1.96； P|1.96； P-1 1.96； P5.9；,略解： P1.96=(1.96)； P-1.96 =(-1.96)=1