《探究欧拉不等式》doc版.doc

节蒂肁莈薀薁螀膁蒆薁袃莆莂薀肅腿莈蕿膇羂蚇薈袇芇薃薇罿肀葿薆肂芆莅薅螁肈芁蚅袄芄蕿蚄羆肇蒅蚃膈节蒁蚂袈膅莇蚁羀莁芃蚀肂膃薂虿螂荿蒈虿袄膂莄螈羇莇芀螇聿膀蕿螆蝿羃薅螅羁芈蒁螄肃肁莇螄螃芇芃螃袅聿薁螂羈芅蒇袁肀肈莃袀螀芃艿衿袂肆蚈袈肄莁薄袈膆膄蒀袇袆莀莆蒃羈膂节蒂肁莈薀薁螀膁蒆薁袃莆莂薀肅腿莈蕿膇羂蚇薈袇芇薃薇罿肀葿薆肂芆莅薅螁肈芁蚅袄芄蕿蚄羆肇蒅蚃膈节蒁蚂袈膅莇蚁羀莁芃蚀肂膃薂虿螂荿蒈虿袄膂莄螈羇莇芀螇聿膀蕿螆蝿羃薅螅羁芈蒁螄肃肁莇螄螃芇芃螃袅聿薁螂羈芅蒇袁肀肈莃袀螀芃艿衿袂肆蚈袈肄莁薄袈膆膄蒀袇袆莀莆蒃羈膂节蒂肁莈薀薁螀膁蒆薁袃莆莂薀肅腿莈蕿膇羂蚇薈袇芇薃薇罿肀葿薆肂芆莅薅螁肈芁蚅袄芄蕿蚄羆肇蒅蚃膈节蒁蚂袈膅莇蚁羀莁芃蚀肂膃薂虿螂荿蒈虿袄膂莄螈羇莇芀螇聿膀蕿螆蝿羃薅螅羁芈蒁螄肃肁莇螄螃芇芃螃袅聿薁螂羈芅蒇袁肀肈莃袀螀芃艿衿袂肆蚈袈肄莁薄袈膆膄蒀袇袆莀莆蒃羈膂节蒂肁莈薀薁螀膁蒆薁袃莆莂薀肅腿莈蕿膇羂蚇薈袇芇薃薇罿肀葿薆肂芆莅薅螁 探究欧拉不等式 薛畅前些日子，我在做画三角形的内切圆和外接圆的时候，就想图个方便，将三角形画成等边三角形，结果意外发现这个三角形的内切圆和外接圆是同心圆。有意思！再画一个不等大的等边三角形，作出它的内切圆和外接圆，发现它们仍是同心圆。于是，我建立假设，猜想三角形的内切圆和外接圆是同心圆这一性质适合于所有的三角形。接着来的任务就是验证猜想了。我画了一些腰与底边不相等的等腰三角形和各边都不相等的任意三角形，作出它们的内切圆和外接圆，发现腰与底边不相等的等腰三角形的内切圆和外接圆的圆心都在底边的高上，但圆心不同，而任意三角形的内切圆和外接圆关于圆心的规律一点没有。我有些丧气，猜想失败了。可为什么不成立呢？我的心缓缓归于平静，试着用自己所学的数学知识来解析这一现象：等边三角形的角平分线和对边的中垂线是共线的，因此它的三个角的角平分线的交点（内切圆的圆心）和三边的中垂线的交点（外接圆的圆心）是同一个点（即内切圆和外接圆是同心圆）；腰与底边不相等的等腰三角形的顶角的平分线和底边的中垂线共线，而底角的平分线和腰的中垂线不共线，因此它的三个角的角平分线的交点（内切圆的圆心）和三边的中垂线的交点（外接圆的圆心）都在底边上的高（也是底边的中垂线）上，但不是同一个点（即内切圆和外接圆不是同心圆）；各边都不相等的三角形的角平分线和对边的中垂线是不共线，因此它的内切圆和外接圆的圆心没有一定规律。同时，在分析上面现象的过程中，我们很容易发现等边三角形的外接圆的半径等于内切圆的半径的2倍。而通过尝试画图，便可以发现非等边三角形的外接圆的半径均大于内切圆的半径的2倍。不过这仅仅是靠眼睛观察而知，我一时还不能证明它的准确性。我带上我的草稿去问教数学的爸爸，爸爸抿着嘴眯着眼浅笑，有些神秘：“哟，不可小觑呵！这么讨巧，一不小心就生出个小欧拉呢。” 原来这结论绝非我首创，18世纪人欧拉就提出并证明了它著名的欧拉不等式：若三角形的外接圆的半径为R，内切圆的半径为r，则R2r。它可以看作著名的4个欧拉公式中的公式2的推论。欧拉公式2：设ABC外接圆的半径为R，内切圆的半径为r,两圆心之间的距离为d，则d=R(R-2r),当且仅当ABC为正三角形时d=0。证：设O、I分别为ABC的外心和内心，延长AI交外接圆于D，则D是弧BC的中点，设=1/2BAC，=1/2ABC，则BCD=BAD=，DBC=DAC=BID=+=DBIBDI是等腰三角形ID=BD由相交弦定理，得R-d=DIIA=DBIA=2Rsinr/sin=2Rr故d=R(R-2r)，且R2r，当且仅当ABC是正三角形时，d=0，此时，R=2r.从欧拉公式2的证明过程可知：由于d=R(R-2r) 0，所以R2r，当且仅当三角形是等边三角形时，d=0，此时有R=2r。虽然，从上面的计算过程已经可以说明：R2r。但我总觉得“R2r”说理过程有些不知所云。所以，我想应用更严密的逻辑思维来证明“R2r”。于是，我设计了如下方案：方案1：直接利用平面几何知识证明。方案2：建立直角坐标系，利用平面解析几何知识，通过计算直线的交点的坐标，算出R和r的表达式而证之。然而随着问题的深入，按照方案1的思路总让人不知从何下手，难以找出解决问题的方法。而方案2中又存在新的麻烦：R、r的表达式过于繁琐，且难以比较大小，无法证明R2r。万般无奈之下，我上网查阅他人证明欧拉不等式的方法。但老师们采用的都是高中学习的三角函数知识，我看得是丈二和尚摸不着头脑，一头雾水。我在一条唤做迷茫的荆棘路上久久徘徊。直至有一天，班长在课堂上提出：能运用特殊方法来解老师布置的一道几何题。我脑子里灵光一现：如果用常规的数学思想方法解决问题时遇到了困难，那么我能不能考虑一下它的特殊情况？或许就能找出解决问题的办法。于是我另起炉灶，把问题分成两步：（1）当三角形ABC是等腰三角形时；(2)当ABC不是等腰三角形时。 经过一番思考，我终于证明了欧拉不等式，证明如下：证明：（1）当ABC是等腰三角形时，设ABC的内切圆的半径为r，外接圆的半径为R，高AH为h则RtAEFRtADCRtAHCr=sinB=sinD=h=2RsinB r= 当cosB=，即ABC 是等边三角形时，r取得最大值R，命题成立。(2)当ABC不是等腰三角形时，在圆内作与ABC同底等高的三角形ABC，在圆上作与ABC同底得等腰AB C，（如图）设：等腰ABC与等腰ABC的外接圆的半径为R（它们共外接圆），内切圆的半径分别为r、r，ABC的面积为S，周长为L，ABC的外接圆的半径为R，内切圆的半径分别为r，面积为S，周长为L。ABC与ABC等高同底 S= SAB+ACAB+AC（用数形结合方法可以看出来，或平面几何知识证明：延长CA至P，使AP=AC，连结AP，易证AAPPAAB，得到AB=AP，所以AB+AC=CA+AP=PCAC+AP=AB+AC）LL2S=Lr，2S=Lr rr2rR（第一步已证） 2rRABC在圆内 RR2rR据（1）、（2）证明可知：2rR 当仅当ABC是等边三角形时取等号。（命题得证）问题的解决让我沐浴在成功的喜悦之中，然而，在一切趋于平静之后，我又开始思考自己在解决问题的过程中的所感所悟。有时，常用的一般的数学方法和技能不是打开数学问题的万能钥匙。从特殊的视觉入手，往往会起到意想不到的效果，解决问题事半功倍，这就是数学的奇妙所在。从问题的特殊情况开始考虑，然后推广到一般情况，再将一般情况在转化到特殊情况进行考虑。整合知识点和数学思想方法，能为今后分析问题和解决问题提供帮助。在解决问题过程中，我体验了发现、探索、创造的乐趣，尝试了丰收的喜悦，增强了学好数学的信心，为自己以后的学习和工作打下良好的基础。这正是我们学习数学的真正的目的。指导老师：洪慧林 袄肆蒀虿聿莅葿袁袂莁蒈羃膈芇蒇蚃羀膃蒇螅膆聿蒆袈罿莇蒅薇膄芃薄蚀羇腿薃螂膂肅薂羄羅蒄薁蚄螈莀薁螆肄芆薀衿袆膂蕿薈肂肈薈蚁袅莆蚇螃肀节蚆袅袃膈蚅薅肈膄蚅螇羁蒃蚄衿膇荿蚃羂羀芅蚂蚁膅膁芈螄羈肇莈袆膃莆莇薆羆节莆蚈膂芈莅袀肄膄莄羃袇蒂莃蚂肃莈莂螅袅芄莂袇肁膀蒁薇袄肆蒀虿聿莅葿袁袂莁蒈羃膈芇蒇蚃羀膃蒇螅膆聿蒆袈罿莇蒅薇膄芃薄蚀羇腿薃螂膂肅薂羄羅蒄薁蚄螈莀薁螆肄芆薀衿袆膂蕿薈肂肈薈蚁袅莆蚇螃肀节蚆袅袃膈蚅薅肈膄蚅螇羁蒃蚄衿膇荿蚃羂羀芅蚂蚁膅膁芈螄羈肇莈袆膃莆莇薆羆节莆蚈膂芈莅袀肄膄莄羃袇蒂莃蚂肃莈莂螅袅芄莂袇肁膀蒁薇袄肆