高中数学第三单元导数及其应用习题课导数的应用课件新人教b版选修1_1

第三章 导数及其应用,习题课 导数的应用,1.能利用导数研究函数的单调性. 2.理解函数的极值、最值与导数的关系. 3.掌握函数的单调性、极值与最值的综合应用.,学习目标,题型探究,知识梳理,内容索引,当堂训练,知识梳理,知识点一 函数的单调性与其导数的关系,定义在区间(a，b)内的函数yf(x),增,减,知识点二 求函数yf(x)的极值的方法,解方程f(x)0，当f(x0)0时， (1)如果在x0附近的左侧 ，右侧 ，那么f(x0)是极大值. (2)如果在x0附近的左侧 ，右侧 ，那么f(x0)是极小值.,f(x)0,f(x)0,f(x)0,f(x)0,知识点三 函数yf(x)在a，b上最大值与最小值的求法,1.求函数yf(x)在(a，b)内的极值. 2.将函数yf(x)的 与端点处的函数值 比较，其中 的一个是最大值， 的一个是最小值.,极值,f(a)，f(b),最大,最小,题型探究,类型一 函数与其导函数之间的关系,例1 已知函数yxf(x)的图象如图所示(其中f(x)是函数f(x)的导函数)，则yf(x)的图象大致是,答案,解析,当00， f(x)0，故yf(x)在(1,2)上为增函数，因此排除D.,研究一个函数的图象与其导函数图象之间的关系时，注意抓住各自的关键要素，对于原函数，要重点考查其图象在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减；而对于导函数，则应考察其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并考察这些区间与原函数的单调区间是否一致.,反思与感悟,跟踪训练1 设函数f(x)在R上可导，其导函数为f(x)，且函数f(x)在x2处取得极小值，则函数yxf(x)的图象可能是,答案,解析,函数f(x)在R上可导，其导函数为f(x)， 且函数f(x)在x2处取得极小值， 当x2时，f(x)0； 当x2时，f(x)0； 当x0. 由此观察四个选项，故选A.,类型二 构造函数求解,答案,解析,令g(x)xf(x)， 则g(x)(x)f(x)xf(x)， g(x)是偶函数. g(x)f(x)xf(x)，,当x0时，xf(x)f(x)0. g(x)在(0，)上是减函数.,反思与感悟,本例中根据条件构造函数g(x)xf(x)，通过g(x)确定g(x)的单调性，进而确定函数值的大小，此类题目的关键是构造出恰当的函数.,答案,解析,ab,命题角度2 求解不等式 例3 定义域为R的可导函数yf(x)的导函数f(x)满足f(x)2ex的解集为 A.(，0) B.(，2) C.(0，) D.(2，),解析,答案,f(x)0，即函数g(x)单调递增.,则不等式等价于g(x)g(0). 函数g(x)单调递增， x0，不等式的解集为(0，)，故选C.,反思与感悟,令g(x)f(x)2x4，f(x)2， 则g(x)f(x)20. 又由g(1)f(1)2(1)40， 得g(x)0，即g(x)g(1)的解为x1， f(x)2x4的解集为(1，).,跟踪训练3 函数f(x)的定义域为R，f(1)2，对任意xR，f(x)2，则f(x)2x4的解集为 A.(1,1) B.(1，) C.(，1) D.(，),答案,解析,命题角度3 利用导数证明不等式 例4 已知x1，证明不等式x1ln x.,证明,设f(x)x1ln x，x(1，)，,即函数f(x)在(1，)上是增函数， 又x1，所以f(x)f(1)11ln 10， 即x1ln x0，所以x1ln x.,反思与感悟,利用函数的最值证明不等式的基本步骤 (1)将不等式构造成f(x)0(或0)的形式. (2)利用导数将函数yf(x)在所给区间上的最小值(或最大值)求出. (3)证明函数yf(x)的最小值(或最大值)大于零(或小于零)即可证得原不等式成立.,跟踪训练4 证明：当x0时，22x2ex.,证明,设f(x)22x2ex， 则f(x)22ex2(1ex). 当x0时，exe01，f(x)2(1ex)0时，22x2ex0， 22x2ex.,类型三 利用导数研究函数的极值与最值,例5 已知函数f(x)x3ax2b的图象上一点P(1,0)，且在点P处的切线与直线3xy0平行. (1)求函数f(x)的解析式；,因为f(x)3x22ax，曲线在P(1,0)处的切线斜率为f(1)32a，即32a3，a3. 又函数过(1,0)点，即2b0，b2. 所以a3，b2，f(x)x33x22.,解答,(2)求函数f(x)在区间0，t(0t3)上的最大值和最小值；,解答,由f(x)x33x22，得f(x)3x26x. 由f(x)0，得x0或x2. 当0t2时，在区间0，t上，f(x)0，f(x)在0，t上是减函数，所以f(x)maxf(0)2，f(x)minf(t)t33t22.,当2t3时，当x变化时，f(x)、f(x)的变化情况如下表：,f(x)minf(2)2， f(x)max为f(0)与f(t)中较大的一个. 因为f(t)f(0)t33t2t2(t3)0， 所以f(x)maxf(0)2.,(3)在(1)的结论下，关于x的方程f(x)c在区间1,3上恰有两个相异的实根，求实数c的取值范围.,解答,令g(x)f(x)cx33x22c， 则g(x)3x26x3x(x2). 当x1,2)时，g(x)0. 要使g(x)0在1,3上恰有两个相异的实根，,解得2c0. 即实数c的取值范围为(2,0.,反思与感悟,(1)求极值时一般需确定f(x)0的点和单调性，对于常见连续函数，先确定单调性即可得极值点，当连续函数的极值点只有一个时，相应的极值点必为函数的最值点. (2)求闭区间上可导函数的最值时，对函数极值是极大值还是极小值可不再作判断，只需要直接与端点的函数值比较即可获得.,跟踪训练5 已知函数f(x)ax3(a1)x248(a2)xb的图象关于原点成中心对称. (1)求a，b的值；,函数f(x)的图象关于原点成中心对称， 则f(x)是奇函数， f(x)f(x)， 即ax3(a1)x248(a2)xbax3(a1)x248(a2)xb， 于是2(a1)x22b0恒成立，,解答,(2)求f(x)的单调区间及极值；,由(1)得f(x)x348x， f(x)3x2483(x4)(x4)， 令f(x)0，得x14，x24，令f(x)0，得x4. f(x)的单调递减区间为(4,4)，单调递增区间为(，4)和(4，)， f(x)极大值f(4)128，f(x)极小值f(4)128.,解答,(3)当x1,5时，求函数的最值.,由(2)知，函数在1,4上单调递减，在4,5上单调递增，对f(4)128，f(1)47，f(5)115， 当x1,5时，函数的最大值为47，最小值为128.,解答,当堂训练,1,2,3,4,5,答案,解析,1,2,3,4,5,由题意可知f(0)0，f(1)0，f(2)0， 可得1bc0,84b2c0，解得b3，c2， 所以函数的解析式为f(x)x33x22x， 所以f(x)3x26x2.,1,2,3,4,5,2.设f(x)、g(x)是定义在R上的恒大于0的可导函数，且f(x)g(x)f(x)g(x)f(b)g(b) B.f(x)g(a)f(a)g(x) C.f(x)g(b)f(b)g(x) D.f(x)g(x)f(a)g(a),答案,解析,f(x)g(b)f(b)g(x).,1,2,3,4,5,函数f(x)(x2)(x2c)在x2处有极值， f(x)(x2c)(x2)2x. f(2)0，c40，c4， f(x)(x24)(x2)2x， 函数f(x)的图象在x1处的切线的斜率为 f(1)(14)(12)25.,3.若函数f(x)(x2)(x2c)在x2处有极值，则函数f(x)的图象在x1处的切线的斜率为_.,答案,解析,5,4.函数f(x)x33x1，若对于区间3,2上的任意x1，x2，都有|f(x1)f(x2)|t，则实数t的最小值是_.,1,2,3,4,5,由f(x)3x230，得x1， 则f(x)minf(3)19，f(x)maxf(1)1， 由题意知，|f(x1)f(x2)|max|191|20， t20，故tmin20.,20,答案,解析,1,2,3,4,5,设f(x)xsin x(x0)，则f(x)1cos x0对x(0，)恒成立， 函数f(x)xsin x在(0，)上单调递增， 又f(0)0，f