关于机械加工生产计划问题

机械加工生产计划问题摘要机械加工生产计划问题是通过分析各个变量对生产总利润的影响，利用数学知识，联系实际问题做出相应的解答和处理。根据表中数据和所给的条件，问题一我们建立了线性规划模型，对其进行分析解答，用lingo软件编程求解，得出在题设条件下最优的生产、库存、销售计划方案；问题二利用问题一的结果对产品的市场销售量上限进行灵敏性分析，得出在不改变原计划的前提下，销售量上限可以提高的最大幅度，从而得到获得最大利润的方法；问题三设备能力增加，利用每种设备生产时间的松弛变量进行分析，从而确定出购置新设备的优先顺序；问题四对模型一中每个月可以使用设备的台数，根据其松弛变量有微小变动时对总利润影响的大小，从而设计出每台设备在每个月的检修计划；问题五在问题四的基础上建立了最优设备检修计划模型，能使各设备的检修台数满足题中要求而使利润为最大。关键词： 线性整数规划 最优生产方案 设备检修模型一、问题重述机械加工厂生产7种产品（产品1到产品7）。该厂有以下设备：四台磨床、两台立式钻床、三台水平钻床、一台镗床和一台刨床。每种产品的利润（元/件，在这里，利润定义为销售价格与原料成本之差）以及生产单位产品需要的各种设备的工时（小时）如下表。表中短线表示这种产品不需要相应的设备加工。表1 产品的利润（元/件）和需要的设备工时（小时/件）产品1234567单位产品利润10.006.003.004.001.009.003.00磨床0.500.70-0.300.200.50立钻0.102.00-0.30-0.6-水平钻0.206.000.80-0.60镗床0.050.03-0.070.10-0.08刨床-0.01-0.05-0.05从一月份至六月份，每个月中需要检修的设备是（在检修的月份，被检修的设备全月不能用于生产）：表2 设备检修计划月份计划检修设备及台数月份计划检修设备及台数一 月一台磨床四月一台立式钻床二 月二台立式钻床五月一台磨床和一台立式钻床三 月一台镗床六月一台刨床和一台水平钻床每个月的各种产品的市场销售量的上限是：表3 产品的市场销售量上限（件/月）产品1234567一月5001000300300800200100二月6005002000400300150三月30060000500400100四月2003004005002000100五月010050010010003000六月500500100300110050060每种产品的最大库存量为100件，库存费用为每件每月0.5元，在一月初，所有产品都没有库存；而要求在六月底，每种产品都有50件库存。工厂每天开两班，每班8小时，为简单起见，假定每月都工作24天。其中，生产过程中，各种工序没有先后次序的要求。问题1: 制定六个月的生产、库存、销售计划, 使六个月的总利润最大。问题2: 在不改变以上计划的前提下, 哪几个月中哪些产品的销售上限可以提高以达到增加利润的目的。销售量上限提高的幅度是多大?问题3: 哪些设备的能力应该增加? 请列出购置新设备的优先顺序。问题4: 是否可以通过调整现有的设备检修计划来提高利润? 提出一个新的设备检修计划, 使原来计划检修的设备在这半年中都得到检修而使利润尽可能增加。问题5: 对上述生产计划问题。构造一个最优设备检修计划模型,使在这半年中各设备的检修台数满足题中的要求而使利润为最大。二、问题的分析与假设问题分析：设第i种产品第j月的生产量为 ；第i种产品第j月的库存为 。 其中i=1,27;j=1,26设为第j种产品单位产品的利润，则=(10.00,6.00,3.00,4.00,1.00,9.00,3.00);将该厂的设备按磨床，立式钻床，水平钻床，镗床，刨床这种顺序依次排列，则第k种设备加工第i种产品需要的工作时间（小时/件）为，为一个57的矩阵：=。由于从一月份到六月份中每个月都有需要检修的设备，而且在检修的月份，被检修的设备全月不能用于生产，根据设备的检修计划表，再结合该机械加工厂中各种设备的台数，得出第k种设备在第j个月中可以使用台数的矩阵，其中为一个56的矩阵：=。由于在每个月中每种产品都有市场销售量上限，根据产品市场销量上限可得出第i种产品第j月份的市场销售上限矩阵，其中为一个76的矩阵：=。1. 每种产品的最大库存量为100件，并且在6月底每种产品都有50件库存，所以可以得到库存的约束条件：100 (1)=50 (2) 2. 每个月每种产品都有市场销售上限，根据产品生产数量与产品库存量之间的关系，可以得出：a一月份：因为所有产品在月初都没有库存，所以在一月份每种产品的销售量等于该产品的生产量减去该产品的库存量；而且销售量不大于该月的销售上限，即，（i=1，27） (3)b二月份到六月份：由于产品在上个月有库存量的关系，所以，这五个月中每个月产品的销售量等于该月每种产品的生产量加上上个月的该产品的库存量再减去当月该产品库存量，并且产品的销售量不大于其当月的销售上限，即，（i=2，37;j=1,26）。 (4)3.该机械加工厂每天开两班，每班8小时，据题假定每月工作24天，则每个月功设备加工产品的工作时间为2428=384小时，得到第k种设备在第j个月中最大加工产品时间为384，所以是时间的限制为Tkj; (5)问题假设：1、成本不会因为设备修检而发生改变；2、产品的生产不会受修检方案的影响；3、产品的生产、库存、销售均为整数；4、生产过程中，各种工序没有先后次序的要求；三、符号表示1、：第i种产品的单位产品利润；2、:第i种产品在第j个月的生产量；3、：第i种产品在第j个月的库存；4、:第i种产品在第j个月的市场销售上限；5、:第k台机器在第j个月内能使用的台数；6、:第k台机器生产第i种产品所用的时间。四、模型的建立与求解问题制定六个月的生产、库存、销售计划，使六个月的总利润最大。通过上面的问题分析，建立线性规划模型:目标函数为六个月的总利润Y：Y=约束条件为：100 ；=50； 其中i=1，27；j=1,26;其中 ， 均为整数；利用lingo软件求解，程序如下：model:!机械产品生产计划SETS:months/mon1.mon6/;products/7/:P;machines/ma1.ma5/;links(products,months):X,R,SC;number(machines,months):N;links1(machines,products):T;ENDSETS!目标函数; max=sum(products(i):(sum(months(j):X(i,j)-50)*P(i)-sum(links(i,j):R(i,j)*0.5);!销量;for(links(i,j)|j#EQ#1:X(i,1)-R(i,1)=SC(i,1);for(links(i,j)|j#GT#1:X(i,j)+R(i,j-1)-R(i,j)=SC(i,j);!库存;for(links(i,j):R(i,j)=100);for(links(i,j)|j#EQ#6:R(i,6)=50);!时间;for(number(k,j):sum(products(i):T(k,i)*X(i,j)镗床立钻水平钻,而磨床则无须购买了。问题4、能否可以通过调整现有设备的修检计划来提高利润？提出一个新的设备检修计划，使原来计划检修的设备在这半年中都得到检修而使利润尽可能增加。由问题（3）分析的数据可知，磨床在每个月中松弛变量都不为0，约束条件为非紧约束，则相应的增加一个小时，其总利润不变；立式钻床在第二个月中松弛变量为0，约束条件为紧约束，每多工作一小时总利润增加100，远远大于其他月份的总利润，则其他月份的获利可不考虑。则在二月份可减少立式钻床的检修；水平钻床每多工作一小时，其总利润增加幅度不大，可不考虑；镗床在第三月份每多工作一小时总利润增加200，其他月份均为0，则镗床在第三月份可考虑不检修；刨床在第六月份每多工作一小时总利润增加220，在其他月份都为0，则刨床在第六月份可不考虑检修；根据题意，为了到达最大利润可考虑不同的计划。得到每种设备在每个月的计划检修表如下 ：表6月份123456磨床111111立式钻床101001水平钻床011100镗床110111刨床111110（注释：1表示设备在相应的月份可以检修，0表示最好不要检修。）根据以上分析，我们设定的检修计划为：表7 设备检修计划一月份计划检修设备及台数月份计划检修设备及台数一 月一台立式钻床四月一台立式钻床二 月一台磨床和一台刨床五月一台磨床和一台立式钻床三 月一台镗床和一台立式钻床六月一台水平钻床此时，代入模型一可得，在此检修计划下所得的最大利润为50011.5元。表8 设备检修计划二月份计划检修设备及台数月份计划检修设备及台数一 月一台立式钻床四月一台立式钻床二 月一台磨床和一台立式钻床五月一台磨床和一台立式钻床三 月一台镗床和一台刨床六月一台水平钻床此时的，代入模型一可得，在此检修计划下所得的最大利润为50605.5元问题5、对上述生产计划问题。构造一个最优设备检修计划模型，使在这半年中各设备的检修台数满足题中的要求而使利润最大。通过分析问题，我们建立最优设备检修计划模型如下：目标函数为六个月的总利润Y：Y=；约束条件为：100 ；=50；; i=1，27；j=1,26 其中 ， 均为整数；用lingo对此模型编程如下：model:SETS:months/mon1.mon6/;products/7/:P;machines/ma1.ma5/;links(products,months):X,R,SC;number(machines,months):N;links1(machines,products):T;ENDSETS!目标函数; max=sum(products(i):(sum(months(j):X(i,j)-50)*P(i)-sum(links(i,j):R(i,j)*0.5);!销量;for(links(i,j)|j#EQ#1:X(i,1)-R(i,1)=SC(i,1);for(links(i,j)|j#GT#1:X(i,j)+R(i,j-1)-R(i,j)=SC(i,j);!库存;for(links(i,j):R(i,j)=100);for(links(i,j)|j#EQ#6:R(i,6)=50);!时间;for(number(k,j):sum(products(i):T(k,i)*X(i,j)=(N(k,j)*384); !检修次数;FOR(number(k,j)|k#EQ#1:N(1,j)=4);FOR(number(k,j)|k#EQ#2:N(2,j)=2);FOR(number(k,j)|k#EQ#3:N(3,j)=3);FOR(number(k,j)|k#EQ#4:N(4,j)=1);FOR(number(k,j)|k#EQ#5:N(5,j)=1);(sum(months(j):N(1,j)=22;(sum(months(j):N(2,j)=8;(sum(months(j):N(3,j)=17;(sum(months(j):N(4,j)=5;(sum(months(j):N(5,j)=5;DATA:P=10 6 3 4 1 9 3;SC=500 600 300 200 0 500 1000 500 600 300 100 500 300 200 0 400 500 100 300 0 0 500 100 300 800 400 500 200 1000 1100 200 300 400 0 300 500 100 150 100 100 0 60;T= 0.50, 0.70, 0.00, 0.00, 0.30, 0.20, 0.50 0.10, 2.00, 0.00, 0.30, 0.00, 0.60, 0.00 0.20, 6.00, 0.80, 0.00, 0.00, 0.00, 0.60 0.05, 0.03, 0.00, 0.07, 0.10, 0.00, 0.08 0.00, 0.00, 0.01, 0.00, 0.05, 0.00, 0.05;ENDDATA!整数约束;for(links(i,j):gin(X(i,j);for(links(i,j):gin(R(i,j); for(number(i,j):gin(N(i,j);end运行以上程序得到的结果见附录3，总结出各个设备每个月可以使用的台数如下：设备一月份二月份三月份四月份五月份六月份磨床444414立钻112112水平钻333323镗床111101刨床110111表9由题中表3得出每种设备在六个月内需要检修的总次数结合上表可以得出新的设备检修计划如下：表10-月份计划检修设备及台数月份计划检修设备及台数一 月一台立式钻床四月一台立式钻床二 月一台立式钻床五月一台镗床和一台水平钻床和两台磨床三 月一台刨床六月无修检在此新的设备检修计划下，我们可以得到的最大利润为52500.5元。六、模型优缺点分析与检验优点1. 本文通过对问题的具体分析，联系实际，建立了较为简洁的销售总利润与生产、库存，销售上限之间关系的模型，并分别以题目所给的条件产生了不同的约束条件，得出目标函数的最优值，最后引入灵敏性分析，得出与题目相符结果；2我们建立了两种线性规划模型，利用模型求利润的最大值，并且用LINGO编程，便于计算，用灵敏度对销售上限进行了分析，并且用松弛变量对设备的能力进行了评价；3 模型一在每月设备一定的条件下，我们给出了求利润最大值的最优模型，由于本模型充分考虑的设备数量、能力，生产时间限制和销售量上限，任一条件的改变都会灵敏地反映在模型上，影响规划结果，为商家决策提供指南。模型二是在获得最大利润的条件下求其最优设备检修计划。 缺点1. 在求解问题2，问题3时，因为生产，库存，销售都为整数，而在整数条件下，lingo不能进行灵敏性分析，所以在此种情况下我们将模型中的整数这一限制条件去掉了，此时得到的最优解中只第二种产品在第六个月的生产数量为109.6667，比原来的生产计划109.0增加了0.6667，导致最大利润增加了4元，而库存和销售计划都相同。在这种情况下的灵敏性分析必然是会产生一定的误差的，比如，在销售上限能提高的幅度问题中，由于最大能提高的幅度不是整数的时我们以向零取整的原则，此处必然会产生误差，虽然误差很小。2. 解题过程中使用的模型单一，没有考虑各方面的因素，文中假设商品的成本不受影响，但机器在使用过程中会有一定的磨损，还会出现故障，则会影响其总利润，模型具有一定的局限性。3. 文中假设商品的成本不受影响，在一定程度上简化了模型，但是也限制了模型的实际应用，即此模型只适用于那些生产成本在一定时间内变化不大以及短期生产的商品。参考文献1袁新生、邵大宏、郁时炼主编. LINGO和Excel在数学建模中的应用.高科学出版社.2陈东彦、李冬梅、王树忠主编数学建模科学出版社附录1Global optimal solution found. Objective value: 41464.00 Extended solver steps: 0 Total solver iterations: 44Variable Value Reduced CostP( PRO1) 10.00000 0.000000P( PRO2) 6.000000 0.000000P( PRO3) 3.000000 0.000000P( PRO4) 4.000000 0.000000P( PRO5) 1.000000 0.000000P( PRO6) 9.000000 0.000000P( PRO7) 3.000000 0.000000X( PRO1, MON1) 600.0000 -10.00000X( PRO1, MON2) 0.000000 -10.00000X( PRO1, MON3) 0.000000 -10.00000X( PRO1, MON4) 200.0000 -10.00000X( PRO1, MON5) 0.000000 -10.00000X( PRO1, MON6) 550.0000 -10.00000X( PRO2, MON1) 122.0000 -6.000000X( PRO2, MON2) 0.000000 -6.000000X( PRO2, MON3) 0.000000 -6.000000X( PRO2, MON4) 107.0000 -6.000000X( PRO2, MON5) 102.0000 -6.000000X( PRO2, MON6) 109.0000 -6.000000X( PRO3, MON1) 300.0000 -3.000000X( PRO3, MON2) 200.0000 -3.000000X( PRO3, MON3) 0.000000 -3.000000X( PRO3, MON4) 400.0000 -3.000000X( PRO3, MON5) 600.0000 -3.000000X( PRO3, MON6) 0.000000 -3.000000X( PRO4, MON1) 300.0000 -4.000000X( PRO4, MON2) 0.000000 -4.000000X( PRO4, MON3) 0.000000 -4.000000X( PRO4, MON4) 500.0000 -4.000000X( PRO4, MON5) 100.0000 -4.000000X( PRO4, MON6) 350.0000 -4.000000X( PRO5, MON1) 800.0000 -1.000000X( PRO5, MON2) 500.0000 -1.000000X( PRO5, MON3) 0.000000 -1.000000X( PRO5, MON4) 200.0000 -1.000000X( PRO5, MON5) 1100.000 -1.000000X( PRO5, MON6) 0.000000 -1.000000X( PRO6, MON1) 300.0000 -9.000000X( PRO6, MON2) 0.000000 -9.000000X( PRO6, MON3) 450.0000 -9.000000X( PRO6, MON4) 0.000000 -9.000000X( PRO6, MON5) 250.0000 -9.000000X( PRO6, MON6) 550.0000 -9.000000X( PRO7, MON1) 100.0000 -3.000000X( PRO7, MON2) 250.0000 -3.000000X( PRO7, MON3) 0.000000 -3.000000X( PRO7, MON4) 100.0000 -3.000000X( PRO7, MON5) 100.0000 -3.000000X( PRO7, MON6) 0.000000 -3.000000R( PRO1, MON1) 100.0000 0.5000000R( PRO1, MON2) 0.000000 0.5000000R( PRO1, MON3) 0.000000 0.5000000R( PRO1, MON4) 0.000000 0.5000000R( PRO1, MON5) 0.000000 0.5000000R( PRO1, MON6) 50.00000 0.000000R( PRO2, MON1) 0.000000 0.5000000R( PRO2, MON2) 0.000000 0.5000000R( PRO2, MON3) 0.000000 0.5000000R( PRO2, MON4) 0.0