[公务员考试]数字推理.doc

第一章基本知识与基本思维第一节基础数列一、要点评析基础数列六大类型：(1)常数数列；(2)等差数列；(3)等比数列；(4)质数型数列；(5)周期数列；(6)简单递推数列。常数数列由一个固定的常数构成的数列叫做常数数列。等差数列相邻两项之差（后项减去前项）等于定值的数列叫做等差数列。等比数列相邻两项之比（后项除以前项）等于定值的数列叫做等比数列。备考要点“等差数列”与“等比数列”重要的是以下两点：(1)快速地判断出某个中间数列是等差数列还是等比数列,抑或两者皆不是；(2)迅速将数列对应规律的下一项计算出来。质数型数列质数数列：由质数构成的数列叫做质数数列。合数数列：由合数构成的数列叫做合数数列。质数基本概念只有1和它本身两个约数的自然数叫做质数；除了1和它本身之外还有其他约数的自然数叫做合数。注意：1既不是质数,也不是合数。周期数列自某一项开始重复出现前面相同（相似）项的数列叫做周期数列。周期数列基本原则一般来说,数字推理当中的周期数列（包括未知项）至少应出现两个“3-循环节”,或三个“2-循环节”,此时其周期规律才比较明显。故在一般情况下,要判断一个数列有无周期规律,加上未知项,至少要有六项。项数过少的数列称其为“周期数列”过于牵强,此时这种数列如果还有其他规律存在,则优先考虑其他规律。简单递推数列数列当中每一项等于其前两项的和、差、积或商。基础数列核心提示在公务员考试中,以上基础数列都相对比较简单,直接考查以上各种基础数列的题目也不是很多,但各位考生一定要注意以下两点：1.在规律不变的前提下,可能只是由于数字稍加变化,规律就可能变得模糊；2.作为复杂数列的中间数列,大家对基础数列一定要“烂熟”。如果我们做差之后得到“1、2、2、4”或其倍数形式,那么原数列很可能与质数数列有关。二、例题精析【例1】（吉林2010-3）4,6,10,14,22,（）A.24 B.26 C.28 D.32答案B解析质数数列的2倍点睛两两做差得到2、4、4、8,因此与质数有关。【例2】(四川2010-3)-2,3,-5,8,-12,（）答案B解析符号正负交替（周期变换）,其绝对值两两做差,得到1、2、3、4、5,新数列是一个等差数列。第二节数字敏感一、要点评析基础数字知识200以内质数表（特别留意划线部分）2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、4143、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97101、103、107、109、113、127、131、137、139、149、151157、163、167、173、179、181、191、193、197、199“质数表”记忆1.“2、3、5、7、11、13、17、19”这几个质数作为一种特殊的“基准数”,是质数数列的“旗帜”,公务员考试中对于质数数列的考核往往集中在这几个数字上。2.83、89、97是100以内最大的三个质数,换言之80以上、100以下的其他自然数均是合数,特别需要留意91是一个合数（91=713）。3.像91这样较大的合数的“质因数分解”,也是公务员考试中经常会设置的障碍,牢记200以内一些特殊数字的分解有时可以起到意想不到的效果,可将其看作一种特殊意义上的“基准数”。常用经典因数分解91=713111=337119=717133=719117=913143=1113147=721153=917161=723171=919187=1117209=19111001=71113平方、立方数字底数123456789平方149162536496481立方182764125216343512729单数字发散定义：从题目中所给的某一个数字出发,寻找与之相关的各个特征数字,从而找到解析试题的“灵感”的思维方式。1.分解发散：针对某个数,联系其各个因子（即约数）及其因子的表示形式（包括幂次形式、阶乘形式等）,牢记典型质数与“典型形似质数”的分解方式。2.相邻发散：针对某个数,联系与其相邻的各个具有典型特征的数字（即“基准数字”）,将题干中数字与这些“基准数字”联系起来,从而洞悉解题的思想。多数字联系：从题目中所给的某些数字组合出发,寻找之间的联系,从而找到解析试题的“灵感”的思维方式。1.共性联系：把握数字之间的共有性质；2.递推联系：把握数字之间的递推关系。例如：题目中出现了数字1、4、9,则从1、4、9出发我们以联想到：二、例题精析【例1】（江苏2004B类）4,6,10,14,22,（）。A.30 B.28 C.26 D.24答案C解析4,6,10,14,22,（26）分别是2,3,5,7,11,（13）的两倍。点睛这里对各个数字用到了“分解发散”,对整体运用了“共性联系”。【例3】（国家2007-43）0,9,26,65,124,（）。A.165 B.193 C.217 D.239答案C解析0=13-1；9=23+1；26=33-1；65=43+1；124=53-1；（217=63+1）。点睛这里用到了“相邻发散”：26=27-1,以立方数为基准数字。【例4】3,4,8,26,122,（）。A.722 B.727 C.729 D.731答案A解析3=1!+2；4=2!+2；8=3!+2；26=4!+2；122=5!+2；（）=6!+2=722。点睛这里用到阶乘基准数字。【例7】1,4,9,（）,1,0。A.2 B.4 C.8 D.16答案C解析1,4,9,（8）,1,0可以写成50,41,32,23,14,05。点睛这里用到了多数字联系50,41,32的基本思想。【例8】3,1,4,9,25,（）。A.16 B.64 C.256 D.512答案C解析从第三项开始,每一项等于前面两项差的平方。点睛这里用到了多数字联系9=（4-1）2的基本思想。第三节数列试错在讲述“数列试错”的概念之前,我们先看看以下三个例子：【例1】1,2,（）,67,131。A.6 B.10 C.18 D.24【例2】1,2,（）,22,86。A.6 B.10 C.18 D.24【例3】1,2,（）,37,101。A.6 B.10 C.18 D.24分析以上三道题目的题干当中都含有五个数字,并且未知项都在正中间。因此,如果数列当中相邻数字两两作差,得到的次生数列（这个概念后面章节马上会讲到）当中的四个数中,中间两个是不知道的,需要我们“先猜后验”从而得到最终答案。巧合的是,以上三题两两作差得到同样的次生数列：1,（）,（）,64例1解析如果猜测该次生数列是一个等差数列,则应为形式：1,22,43,64,从而得到例1的答案,选择D：例2解析】如果猜测该次生数列是一个等比数列,则应为形式：1,4,16,64,从而得到例2的答案,选择A：例3解析如果猜测该次生数列是一个立方数列,则应为形式：1,8,27,64,从而得到例3的答案,选择B：【总结】例1-例3都是通过“相邻两项两两做差”得到同样的“次生数列”从而得到答案的,然而对这个“次生数列”的三种不同“猜测”分别对应以上三个不同的例题,其对应性需要我们进行“验算”来确定。因此,这三个例题告诉我们一个非常重要的道理：在考场上,我们需要进行很多大胆的“尝试”,但并非每一次尝试都会成功,有时候我们需要通过“数列试错”来剔除错误答案,并最终得到正确答案。下面,我们再来看看另外三个类似的例子：【例4】15,20,33,62,123,（）。A.194 B.214 C.248 D.278【例5】-1,6,25,62,123,（）。A.194 B.214 C.248 D.278【例6】3,2,27,62,123,（）。A.194 B.214 C.248 D.278分析以上三道题目的题干当中都含有六个数字,其中未知项是最后一项。这三道题都可以看作是“幂次修正数列”,其突破口就在最后两个已知数字上,即：62与123。在看以下解析之前,大家可以试着自己从这两个数字入手,通过寻找与之相邻的幂次数（相邻发散）,找到各题的答案。例4解析如果猜测“123=128-5=27-5”的话,那么我们可以得到例4的答案为C：原数列： 15 20 33 62 123 （248）基准数列：8 16 32 64 128 256（2的幂次数列）修正数列：7 4 1 -2 -5 -8（等差数列）例5解析如果猜测“123=125-2=53-2”的话,那么我们可以得到例5的答案为B：原数列： -1 6 25 62 123 （214）基准数列： 1 8 27 64 125 216（立方数列）修正数列：-2 -2 -2 -2 -2 -2（常数数列）例6解析如果猜测“123=121+2=112+2”的话,那么我们可以得到例6的答案为A：原数列： 3 2 27 62 123 （194）基准数列：1 4 25 64 121 196（平方数列）平方底数：-1 2 5 8 11 14（等差数列）修正数列：2 -2 2 -2 2 -2（周期数列）【总结】例4-例6都是通过相同的片断“62和123”入手,寻找与之相邻的特征幂次数,从而得到最终结果。虽然通过62我们只想到了64,但通过123我们却可以联想到三个不同的特征幂次数（前文“单数字发散”部分讲过126的发散,123与之类似）,从而得到三道不同题目分别对应的答案,再一次证明“数列试错”的实战重要性。【补充】例4的“基准数列”其实也是一个“等比数列”；例5本身就是一个“三级等差数列”；例6的“基准数列”其实也是一个“二级等差数列”。大家不妨试试。第四节速减训练尽管数字推理题只是对若干简单数字进行简单的分析和计算,但由于每道题目所允许的解题时间非常短,所以提高基本运算速度仍然是我们平时不可忽略的训练内容。基本运算速度包括两部分：（1）单数字分解发散；（2）基本加减乘除运算。前者包括迅速判断一个数是否为质数、这个数含有哪些因子、这个数有何种分解方式以及这个数是否可以表示为幂次形式（前文已经详尽阐述）；后者要求各位考生对于基本的“加减乘除”运算有一个非常娴熟的把握。在四则运算当中,“减法”是数字推理答题当中使用最多的,本节试图利用一个简单的例子给大家传递一个非常简单的信息：不要高估自己的减法计算能力,不要忽略自己的减法计算训练。当然有一个前提必须记住：时间是有限的。“速减训练”说明1.大家平时可以自己在草稿纸上任意写数进行计算,写数的时候务必注意：随机列出八个“-9与9之间”的数字,数字太多或数字绝对值太大将带来不必要的难度；2.自己随机列数的练习可以使用excel表格的公式进行自动验算；3.计算过程中,可以从左边减至右边,也可以从右边减至左边,但每一级的减法相减的顺序必须保持一致,因此最后得到的结果若只有正负号的区别,可以视为正确,当然,实践过程中仍然推荐大家从头到尾保持一致的相减顺序,否则极易出错；4.计算过程务必保持“心无杂念”,集中一切注意力,否则极易出错；5.一般来说,刚开始进行练习的考生往往需要2分钟甚至更长的时间完成一个数列的计算,并且结果往往是错误的,但请不要灰心,如果多训练几次,你很快会发现自己的减法计算水平有明显的提高；6.训练目标：10分钟之内完成10组“速减训练”（这个时间不包括编题、抄题和验算的时间）,并且正确率达到80%或以上。第五节因数分解一、要点评析多级数列与因数分解的本质联系1.能够分解为“两个等差数列子数列”的数列,是一个二级等差数列；2.能够分解为“三个等差数列子数列”的数列,是一个三级等差数列；3.能够分解为“四个等差数列子数列”的数列,是一个四级等差数列；4.能够分解为“一个等差数列子数列”和“一个二级等差数列子数列”的数列,是一个三级等差数列；5.能够分解为“一个等差数列子数列”和“一个三级等差数列子数列”的数列,是一个四级等差数列；6.能够分解为“两个二级等差数列子数列”的数列,是一个四级等差数列。事实上,上述结论并不难记忆,首先把一般的等差数列称为“一级等差数列”,那么上述结论可以简化为结论一。结论一：“一个M级等差数列子数列”与“一个N级等差数列子数列”对应项相乘构成的乘积数列,是一个M+N级等差数列。另外还有一个类似的重要结论,我们称为结论二。结论二：“一个M级等差数列子数列”与“一个N级等差数列子数列”对应项相加构成的和数列,是一个M级等差数列（MN）。以上两个结论对于我们直接解题意义并不大,但对于我们理解数列解题方法、综合比较不同的数列解题方法,有着非常重要的意义。问题二：如果一道题既可以通过“多级数列”做差的方式来解决,也可以通过“因数分解”的方式来解决,而显然前者更加简单、实用,那么“因数分解”这种方法还有什么实际的用途和意义呢？多级数列与因数分解的使用范围如果一个数列既可以通过“多级数列”做差的方式来解决,也可以通过“因数分解”的方式来解决,强力推荐大家使用做差来得到答案。但有时候,你必须并且只能通过“因数分解”来得到精准的答案,因为你有可能碰到以下两种情形：1.数列的子数列不全是等差数列或其他多级数列,最常见的情形就是子数列当中存在“质数数列”和“等比数列”；2.数列的已知数字个数,没有比其级数多2的,最常见的情形就是“已知四个数字的三级等差数列”和“已知五个数字的四级等差数列”。问题三：多级做差数列很好入手,拿来做差即可。但是如果一个数列需要通过“因数分解”分解成若干子数列,我们从何处下手呢？因数分解法常用子数列(1) -2,-1,0,1,2,3,（如果数列中间有0,或有正有负的）(2) 0,1,2,3,4,（如果数列端点是0）(3) 2,3,5,7,11,（如果数列中有数字明显存在7或11因子）(4) 1,2,3,4,5,6,（可以是2或3开头的自然数列）(5) 1,3,5,7,9,（也可以是3开头的奇数数列）【例1】（江苏2006B类-63）8,12,16,16,（）,-64。A.0 B.4 C.-8 D.12答案A解析原数列：8,12,16,16,（0）,-64提取子数列：4, 3, 2, 1,（0）, -1（常用子数列1）剩余子数列：2, 4, 8,16,（32）, 64（等比数列）【例2】（四川2008-5）6,21,52,105,（）。A.172 B.186 C.210 D.224答案B解析原数列：6,21,52,105,（186）提取子数列：2, 3, 4,5,（6）（常用子数列4）剩余子数列：3, 7,13, 21,（31）（二级等差数列）【例3】（福建2010春-96）1,8,28,80,（）A.128 B.148 C.180 D.208答案 D解析原数列：1, 8, 28, 80, （128）提取子数列： 1, 4, 7, 10, （13）（等差数列）剩余子数列： 1, 2, 4, 8, （16）（等比数列）【例4】（河北招警2010-28）20/9,4/3,7/9,4/9,1/4，（）A.1/6 B.1/9 C.5/36 D.1/144答案 C解析我们将原数列各项都乘以36后再因数分解。各项乘以36：80, 48, 28, 16, ，9， （5）提取子数列： 5, 6, 7, 8, 9， 10 （常用数列4）剩余子数列： 16, 8, 4, 2, 1， 1/2（等比数列）第六节题型概览题型比重五大题型1. 多级数列：数列中相邻项通过四则运算,得到的结果形成某种特定的规律。2.多重数列：数列中数字通过交叉或分组,从而形成某种特定的规律。3.分式数列：数列中的数通过自然分隔,形成某种特定的规律。4.幂次数列：数列中有基于平方、立方或其他乘方的规律。5.递推数列：数列中前面的项通过某种特定的运算,得出后一项从而形成规律。热点题型思维定式我们把数字推理的原题数列定义为“原生数列”,而原题数列经过一定处理后得到的新的数列我们称之为“次生数列”。得到“次生数列”的处理方式包括但不仅限于：1.原题数列相邻项做差/商/和/积得到的新数列；2.原题数列通过交叉思维得到的两个新数列；3.原题数列通过分组运算后得到的新数列；4.原题数列分子/分母单独构成的数列；5.原题数列写成幂次形式后,其底数/指数单独构成的数列；6.原题数列解题过程当中遇到的“修正数列”；7.原题数列拆成的两个乘积子数列或加和子数列。很明显,“次生数列”要比“原生数列”简单,求解次生数列,我们只需要简单地应用以下口诀即可：特征做差递推。而求解原生数列,我们的基本思想也是“特征做差递推”,只是这个过程相对次生数列更加细致、全面。我们用一个逻辑思路图来总结做题的思维步骤。逻辑思维图特别说明：1.上图简单地阐述了我们做数字推理题的整个“思维过程”,大家如果觉得过于抽象,务必在看完本书后面六章之后,再重新回头好好体会。事实上,对于整个思维步骤图,即使看完本书之后,还需要大家多加练习熟练掌握后才能真正应用自如。2.上图看似繁琐,但真正掌握之后,平均一分钟之内完成一道题是完全没有问题的,这就好比某武林秘笈的招数写出来也许有几十页,但打出来肯定不超过一两分钟。3.我们做题使用上图的时候,绝对不是一道一道的去验证上图,而是数字推理五道题（有些考试是十道题）一起验证,一起寻找特征,这样才能有效节省时间。4.上图三步后仍无法做出，完全可以考虑直接蒙一个,跳过这些特别难的数字推理题,节省下时间去完成其他题目未尝不是一个最佳选择；但如果时间够用,并且是对于基础相对较好的考生来说,那么就应该从这两个方面去验证所谓“特殊数列”：一是本书每章最后一节的“题型拓展”；二是关注当时各地考试刚出现的最新题型。第二章多级数列基本知识点：（1）多级数列是指对数列相邻两项进行“+”四则运算从而形成规律的数列；（2）“做差数列”是多级数列的主体内容,做和数列和做积数列一般很少考到；（3）以做差数列为主体内容的多级数列是五大题型中最基础、最重要、最常见的数列；（4）运算后得到的“次生数列”可能是等差数列、等比数列,也可以是其他“特殊数列”,包括质数数列、周期数列、幂次数列、基础递推数列等。第一节二级数列一、要点评析二、例题精析题型一：二级等差数列核心提示对于未知项在中间的多级数列,需要我们采取先“猜”后“验”的方式。题型二：二级等比数列核心提示“二级等比数列”全部可以看成“递推倍数数列”,其修正项为一常数数列。核心提示“二级等比数列”中,如果做一次差后生成的次生数列公比为-2,那么原生数列中每个数字是其后面两个数字的平均数；如果做一次差后生成的次生数列公比为-1/2,那么原生数列中每个数字是其前面两个数字的平均数。题型三：二级其他数列基本类型：1.二级质数数列；2.二级周期数列；3.二级幂次数列；4.二级递推数列；5.其他二级特殊数列。第二节三级数列一、要点评析二、例题精析题型一：三级等差数列题型二：三级等比数列题型三：三级其他数列第三节商和多级数列一、要点评析二、例题精析题型一：做商多级数列基本特征：数字之间倍数关系比较明显。三大趋势：（1）数字分数化、小数化；（2）两两做商得到一个“非等差形式”简单数列；（3）两两做商得到一个“非整数形式”简单数列。题型二：做和多级数列核心提示“做和多级数列”,通过相邻两项两两做和，可能得到等比数列、质数型数列、幂次数列、周期数列等形式第四节拓展多级数列一、要点评析主要拓展方向运算拓展：在减法、加法、除法的基础上，出现两两相乘的情形；项数拓展：在相邻两项运算的基础上，出现相邻三项间的运算（一般是加法）；层级拓展：在二级、三级数列的基础上，出现四级、五级数列；混合拓展：在单一运算的基础上，出现依次进行两种不同运算的情形；关系拓展：在相邻运算的基础上，出现固定“基数”的运算形式。二、例题精析题型一：做积多级数列题型二：三项多级数列题型三：超级多级数列题型四：混合多级数列题型五：定基多级数列第三章多重数列数列基本类型：（1）交叉数列：数列的奇数项与偶数项分别呈现规律；（2）分组数列：数列中数字两两分组,然后进行组内的“+”等四则运算。数列基本特征：（1）数列较长：多重数列加上未知项,一般共8项或8项以上；（2）两个括号：如果数列含有两个未知项,那么几乎可以判定这一定是多重数列。第一节交叉数列一、要点评析基本解题思想：1.一般交叉数列中,奇数项与偶数项独立成规律,分别是两个较简单的数列；2.在交叉数列中,如果奇数项规律明显而偶数项规律不明显,那么偶数项的规律可能依赖于奇数项的规律,反之亦然。二、例题精析第二节分组数列一、要点评析当数列共有8项或10项（包括未知项）时，可以考虑两两分组；当数列共有9项、12项或15项（包括未知项）时，可以考虑三三分组。两两分组时，我们将组内两个数进行简单的“加减乘除”运算，就能得到一个简单数列。三三分组时，组内的三个数一般都满足简单的运算规律。题型拓展主要方向：1.多重数列的主要拓展方向是“机械分组”,即将数列当中的每个数字的每一位拆开单独进行考虑,从而形成某种规律；2.多重数列还可能在分组方式（首尾分组）和交叉方式（三项交叉）上进行拓展。二、例题精析题型一：两两分组题型二：三三分组第三节机械分组一、要点评析机械分组一般具备以下两个特征：每个数字位数相等且位数较多，或者位数不多，但递增至较多位数；数字大小变化比较紊乱，能够较明显的看出变化的无规律性。二、例题精析题型一：数字加和题型二：数字拆裂第四章分数数列含有部分分数的数列，除了分数数列、等差数列外，还可能是负幂次数列、积商多级数列和积商递推数列。第一节基础技巧数列一、要点评析分组规律型：分子、分母互不影响，各自独立为一个简单数列；交叉影响型：分子、分母互相影响，整体考虑有一个直观的规律；广义通分型：当分数的分子和分母很容易化为一致时，将其化为相同数。典型解题技巧分类：（1）经典约分；（2）经典通分；（3）分子通分；（4）分母/分子有理化。题型一：分组规律型题型二：交叉影响型题型三：广义通分型第二节反约分型数列一、要点评析将一个数的分子分母同时除以一个数，称为约分；将一个数的分子分母同时乘以一个数，称为反约分。二、例题精析第三节分数拓展数列一、要点评析二、例题精析题型一：带分数数列（整数部分、分子、分母分别具有一定规律）题型二：小数数列（整数部分、小数部分分别具有一定规律）题型三：根式数列（底数部分、根指数部分分别具有一定规律）第五章幂次数列基本类型：（1）基础幂次数列,平方数列、立方数列、变幂次数列等；（2）幂次修正数列,平方修正数列、立方修正数列、变幂次修正数列等。备考重点方向：（1）熟悉所有常用幂次数、幂次变换法则；（2）熟悉幂次数附近相关数的数字特征。第一节基础幂次数列一、要点评析常用幂次数平方数底数1234567891011平方149162536496481100121底数1213141516171819202122平方144169196225256289324361400441484底数2324252627282930313233平方52957662567672978484190096140241089立方数底数1234567891011立方18276412521634351272910001331多次方数次方12345678910111222481632641282565121024204840963392781243729441664256102455251256253125663621612967776常用幂次数记忆1.对于常用的幂次数字,考生务必将其牢记在心,这不仅对数字推理的解题很重要,对数学运算乃至资料分析试题的迅速、准确解答都起着至关重要的作用。2.很多数字的幂次数都是相通的,如729=93=36=272,256=28=44=162等。3.“2129”的平方数是相联系的,以25为中心,24与26、23与27、22与28、21与29,它们的平方数分别相差100、200、300、400。常用阶乘数（定义：n的阶乘写作n!。n!=1234（n-1）n）数字1234567阶乘126241207205040幂次变换基本法则（1）普通幂次数：平方表、立方表、多次方表需要烂熟于心（详见第一章）；（2）普通数变换：a=a1,如5=51,7=71；（3）负幂次变换：1a=a-1,如15=5-1,17=7-1；（4）负底数变换：a2N=（-a）2N,如49=(-7)2；-a2N+1=（-a）2N+1,如-8=(-2)3；（5）非唯一变换：当一个数字有多种常见变换方式时,做题需先从其他数字着手。二、例题精析题型一：恒定指数题型二：变化指数常用非唯一变换核心提示1.数字0的变换：0=0N（N0）；2.数字1的变换：1=a0=1N=（-1）2N（a0）；3.特殊数字变换：16=24=42；64=26=43=82；81=34=92；256=28=44=162； 512=29=83；729=93=27=36；1024=210=45=322；4.个位幂次数字：4=22=41；8=23=81；9=32=91。第二节幂次修正数列一、要点评析二、例题精析题型一：常数修正核心提示1.普通平方数列，以常数进行修正，结果是“二级等差数列”；2.普通立方数列，以常数进行修正，结果是“三级等差数列”。题型二：等差修正核心提示1.普通平方数列，以等差数列进行修正，结果是“二级等差数列”；2.普通立方数列，以等差数列进行修正，结果是“三级等差数列”。题型三：正负修正题型四：数列修正第六章递推数列第一节递推基本数列一、要点评析二、例题精析题型一：和差型题型二：积商型题型三：倍数型题型四：和差倍型核心提示所谓和差倍型，是和差型和倍数型的结合。一般形式为：前两项先做差或者和，再乘以一个倍数，等于第三项。这种形态的数列往往变化特征不是非常明显，一般需要使用后文讲述的两项递推联系法来解答。题型五：平方型第二节整体趋势法一、要点评析整体趋势法主要包括看趋势和做试探两个过程：看趋势：根据数列当中数字的整体变化趋势初步判断递推的具体形式。做试探：根据初步判断的趋势做合理的试探，并分析其误差，即修正项。二、例题精析题型一：基础递推型题型二：数列型修正核心提示在本节前面“基础递推数列”部分,我们只需要根据数列的“整体变化趋势”即可大概掌握解题思路,即使存在“修正项”,也都是常数数列（要么都是加1,要么都是减2、减3之类）。事实上，数列的修正项一般会比常数数列更为复杂，我们将修正项大致分为两种：一种是数列型修正项，包括常数数列、等差数列、等比数列这三种简单基础数列及其简单变形；另一种是前项型修正项，即修正项不在独立构成数列，而是与原数列中原有项存在数量关系。题型三：前项型修正模型解释如果任意相邻三个数字a、b、c满足“3b+a=c”,而我们在“看趋势”的时候,容易找到的是b与c之间满足较明显的3倍关系,于是我们用b的3倍与c比较,产生修正项c3b=a,而a恰好是b和c之前的那个数字。这就是“前项型修正项”递推数列的简单模型。事实上,如果递推数列中任意相邻三个数字a、b、c满足“b2+a=c”,或任意相邻四个数字a、b、c、d满足“bc+a=d”,我们都可以得到类似结论。使用技巧在递推数列中,如果我们研究两个数字或三个数字之间递推联系时产生了“修正项”,那么这个“修正项”一般应该是一个简单数列（常数数列、等差数列、等比数列等）,否则我们需要研究这个“修正项”与这两个数字或三个数字之前那个数字的关系。核心提示第三节递推联系法一、要点评析递推联系法是指研究递推数列当中相邻两个或三个数字之间的“递推联系”,从而找到解题关键的方法。递推联系法分为：两项递推（研究三数字递推联系）；单项递推（研究两个数字递推联系）。二、例题精析题型一：两项递推联系法使用法则圈定数列当中三个相邻数字（要求数字简单而不失代表性）,研究这三个数字当中前两个数字运算得到第三个数字的所有简单递推形式,将得到的递推形式代入到其