高考数学大一轮复习第十三章推理与证明算法复数13_3数学归纳法课件理北师大版

13.3 数学归纳法,基础知识 自主学习,课时作业,题型分类 深度剖析,内容索引,基础知识 自主学习,数学归纳法,知识梳理,数学归纳法是用来证明某些与正整数n有关的数学命题的一种方法.它的基本步骤是： (1)验证：当n取第一个值n0(如n01或2等)时，命题成立； (2)在假设当nk(kN，kn0)时命题成立的前提下，推出当nk1时，命题成立. 根据(1)(2)可以断定命题对一切从n0开始的正整数n都成立.,判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n1时结论成立.( ) (2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明.( ) (3)用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用.( ) (4)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由nk到nk1时，项数都增加了一项.( ) (5)用数学归纳法证明等式“12222n22n31”，验证n1时，左边式子应为122223.( ) (6)用数学归纳法证明凸n边形的内角和公式时，n03.( ),考点自测,A.1 B.1a C.1aa2 D.1aa2a3,答案,解析,当n1时，n12， 左边1a1a21aa2.,A.nk1时等式成立 B.nk2时等式成立 C.n2k2时等式成立 D.n2(k2)时等式成立,答案,解析,因为n为正偶数，nk时等式成立， 即n为第k个偶数时命题成立， 所以需假设n为下一个偶数，即nk2时等式成立.,3.在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为 n(n3)条时，第一步检验n等于,凸n边形边数最小时是三角形， 故第一步检验n3.,A.1 B.2 C.3 D.0,答案,解析,答案,解析,等式左边是从1开始的连续自然数的和，直到n2. 故nk1时，最后一项是(k1)2，而nk时，最后一项是k2，应加上(k21)(k22)(k23)(k1)2.,3,4,5,n1,答案,题型分类 深度剖析,题型一 用数学归纳法证明等式,例1 设f(n)1 (nN).求证：f(1)f(2)f(n1)nf(n)1(n2，nN).,证明,当n2时，左边f(1)1，,左边右边，等式成立. 假设nk(k2，kN)时，结论成立，即 f(1)f(2)f(k1)kf(k)1， 那么，当nk1时， f(1)f(2)f(k1)f(k) kf(k)1f(k)(k1)f(k)k,(k1)f(k1)(k1)(k1)f(k1)1，,当nk1时结论成立. 由可知当nN时，f(1)f(2)f(n1) nf(n)1(n2，nN).,用数学归纳法证明恒等式应注意 (1)明确初始值n0的取值并验证nn0时等式成立. (2)由nk证明nk1时，弄清左边增加的项，且明确变形目标. (3)掌握恒等变形常用的方法：因式分解；添拆项；配方法.,思维升华,跟踪训练1 用数学归纳法证明：,证明,左边右边，等式成立.,假设nk(k1，kN)时，等式成立.,则当nk1时，,左边右边，等式成立. 即对所有nN，原式都成立.,例2 (2016烟台模拟)等比数列an的前n项和为Sn，已知对任意的nN，点(n，Sn)均在函数ybxr(b0且b1，b，r均为常数)的图像上. (1)求r的值；,题型二 用数学归纳法证明不等式,解答,由题意，Snbnr， 当n2时，Sn1bn1r. 所以anSnSn1bn1(b1). 由于b0且b1， 所以n2时，an是以b为公比的等比数列. 又a1br，a2b(b1)，,证明,由(1)及b2知an2n1. 因此bn2n(nN)，,假设nk(k1，kN)时结论成立，,则当nk1时，,要证当nk1时结论成立，,所以当nk1时，结论成立.,数学归纳法证明不等式的适用范围及关键 (1)适用范围：当遇到与正整数n有关的不等式证明时，若用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法. (2)关键：由nk时命题成立证nk1时命题也成立，在归纳假设使用后可运用比较法、综合法、分析法、放缩法等来加以证明，充分应用基本不等式、不等式的性质等放缩技巧，使问题得以简化.,思维升华,跟踪训练2 若函数f(x)x22x3，定义数列xn如下：x12，xn1是过点P(4,5)、Qn(xn，f(xn)的直线PQn与x轴的交点的横坐标，试运用数学归纳法证明：2xnxn13.,证明,即n1时结论成立.,假设当nk时，结论成立，即2xkxk13.,当n1时，x12，f(x1)3，Q1(2，3). 所以直线PQ1的方程为y4x11，,即xk1xk2， 所以2xk1xk23， 即当nk1时，结论成立. 由知对任意的正整数n,2xnxn13.,题型三 归纳猜想证明,命题点1 与函数有关的证明问题,解答,由x2x4x6，猜想：数列x2n是递减数列.,下面用数学归纳法证明：,当n1时，已证命题成立.,假设当nk时命题成立，即x2kx2k2，,易知xk0，那么,即x2(k1)x2(k1)2.,所以当nk1时命题也成立.,结合知，对于任何nN命题成立.,命题点2 与数列有关的证明问题 例4 在数列an中，a12，an1ann1(2)2n(nN，0). (1)求a2，a3，a4；,解答,a2222(2)222， a3(222)3(2)222323， a4(2323)4(2)233424.,(2)猜想an 的通项公式，并加以证明.,解答,由(1)可猜想数列通项公式为 an(n1)n2n. 下面用数学归纳法证明： 当n1,2,3,4时，等式显然成立， 假设当nk(k4，kN)时等式成立， 即ak(k1)k2k， 那么当nk1时， ak1akk1(2)2k (k1)k2kk12k12k,(k1)k1k12k1 (k1)1k12k1，,所以当nk1时，ak1(k1)1k12k1，猜想成立. 由知数列的通项公式为an(n1)n2n(nN，0).,命题点3 存在性问题的证明,解答,(1)若b1，求a2，a3及数列an的通项公式；,从而(an1)2是首项为0，公差为1的等差数列，,下面用数学归纳法证明上式： 当n1时结论显然成立.,所以当nk1时结论成立.,(2)若b1，问：是否存在实数c使得a2nca2n1对所有nN成立？证明你的结论.,解答,则an1f(an).,下面用数学归纳法证明加强命题：,a2nca2n11.,假设nk时结论成立，即a2kca2k11.,再由f(x)在(，1上为减函数，,得cf(c)f(a2k2)f(a2)a31，故ca2k31.,易知f(x)在(，1上为减函数，,从而cf(c)f(a2k1)f(1)a2，即1ca2k2a2.,因此a2(k1)ca2(k1)11.,先证：0an1(nN). ,当n1时，结论显然成立.,假设nk时结论成立，即0ak1. 易知f(x)在(，1上为减函数，从而,这就是说，当nk1时结论成立. 故成立.,再证：a2na2n1(nN). ,有a2a3，即n1时成立. 假设nk时，结论成立，即a2ka2k1. 由及f(x)在(，1上为减函数，得,a2k1f(a2k)f(a2k1)a2k2， a2(k1)f(a2k1)f(a2k2)a2(k1)1. 这就是说，当nk1时成立， 所以对一切nN成立.,又由及f(x)在(，1上为减函数，,得f(a2n)f(a2n1)，即a2n1a2n2，,(1)利用数学归纳法可以探索与正整数n有关的未知问题、存在性问题，其基本模式是“归纳猜想证明”，即先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理即演绎推理论证结论的正确性. (2)“归纳猜想证明”的基本步骤是“试验归纳猜想证明”.高中阶段与数列结合的问题是最常见的问题.,思维升华,跟踪训练3 (2015江苏)已知集合X1,2,3，Yn1,2,3，n(nN)，设Sn(a，b)|a整除b或b整除a，aX，bYn，令f(n)表示集合Sn所含元素的个数. (1)写出f(6)的值；,解答,Y61,2,3,4,5,6，S6中的元素(a，b)满足： 若a1，则b1,2,3,4,5,6；若a2，则b1,2,4,6； 若a3，则b1,3,6.所以f(6)13.,解答,(2)当n6时，写出f(n)的表达式，并用数学归纳法证明.,当n6时，,下面用数学归纳法证明：,假设nk(k6)时结论成立，那么nk1时，Sk1在Sk的基础上新增加的元素在(1，k1)，(2，k1)，(3，k1)中产生，分以下情形讨论： ()若k16t，则k6(t1)5，此时有,()若k16t1，则k6t，此时有,()若k16t2，则k6t1，此时有,()若k16t3，则k6t2，此时有,()若k16t4，则k6t3，此时有,()若k16t5，则k6t4，此时有,综上所述，结论对满足n6的自然数n均成立.,典例 (12分)数列an满足Sn2nan(nN). (1)计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项公式an； (2)证明(1)中的猜想.,归纳猜想证明问题,答题模板系列9,规范解答,(1)由S1a1算出a1；由anSnSn1算出a2，a3，a4，观察所得数值的特征猜出通项公式. (2)用数学归纳法证明.,答题模板,思维点拨,(1)解 当n1时，a1S12a1，a11；,当n4时，a1a2a3a4S424a4，,(2)证明 当n1时，a11，结论成立. 5分,假设nk(k1且kN)时，结论成立，,那么nk1时， 7分,2akak1，,2ak12ak. 9分,ak1Sk1Sk2(k1)ak12kak,当nk1时，结论成立. 11分,返回,归纳猜想证明问题的一般步骤： 第一步：计算数列前几项或特殊情况，观察规律猜测数列的通项或一般结论； 第二步：验证一般结论对第一个值n0(n0N)成立； 第三步：假设nk(kn0，kN)时结论成立，证明当nk1时结论也成立； 第四步：下结论，由上可知结论对任意nn0，nN成立.,返回,课时作业,1.如果命题p(n)对nk(kN)成立，则它对nk2也成立.若p(n)对n2也成立，则下列结论正确的是 A.p(n)对所有正整数n都成立 B.p(n)对所有正偶数n都成立 C.p(n)对所有正奇数n都成立 D.p(n)对所有自然数n都成立,答案,解析,n2时，nk，nk2成立， n为2,4,6，故n为所有正偶数.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,2.用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，xnyn能被xy整除”，在第二步时，正确的证法是 A.假设nk(kN)，证明nk1时命题成立 B.假设nk(k是正奇数)，证明nk1时命题成立 C.假设n2k1(kN)，证明nk1时命题成立 D.假设nk(k是正奇数)，证明nk2时命题成立,答案,解析,相邻两个正奇数相差2，故D选项正确.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,A.若f(1)2成立，则f(10)11成立 B.若f(3)4成立，则当k1时，均有f(k)k1成立 C.若f(2)3成立，则f(1)2成立 D.若f(4)5成立，则当k4时，均有f(k)k1成立,3.(2017淄博质检)设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：当f(k)k1成立时，总能推出f(k1)k2成立，那么下列命题总成立的是,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,当f(k)k1成立时，总能推出f(k1)k2成立，说明如果当kn时，f(n)n1成立，那么当kn1时，f(n1)n2也成立，所以如果当k4时，f(4)5成立，那么当k4时，f(k)k1也成立.,4.在数列an中，a1 ，且Snn(2n1)an，通过求a2，a3，a4，猜想an的表达式为,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,5.利用数学归纳法证明“(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)，nN”时，从“nk”变到“nk1”时，左边应增乘的因式是,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,当nk(kN)时， 左式为(k1)(k2)(kk)； 当nk1时，左式为(k11)(k12)(k1k1)(k1k)(k1k1)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,6.设数列an的前n项和为Sn，且对任意的自然数n都有(Sn1)2anSn，通过计算S1，S2，S3，猜想Sn _.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,7.设S112，S2122212，Sn122232(n1)2n2(n1)22212，用数学归纳法证明Sn 时，第二步从“k”到“k1”应添加的项为_.,答案,解析,(k1)2k2,由S1，S2，Sn可以发现由nk到nk1时， 中间增加了两项(k1)2k2(n，kN).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,f(3)2，f(4)f(3)3235， f(n)f(3)34(n1),8.设平面内有n条直线(n3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点.若用f(n)表示这n条直线交点的个数，则f(4)_；当n4时，f(n)_(用n表示).,5,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,解答,下面利用数学归纳法证明.,假设当nk(k1，kN)时，结论成立，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,10.数列xn满足x10，xn1xxnc(nN). (1)证明：xn是递减数列的充要条件是c0；,证明,所以数列xn是递减数列.,必要性：若xn是递减数列，则x2x1，且x10.,故xn是递减数列的充要条件是c0.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,证明,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,这就是说当nk1时，结论也成立.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,解答,由已知，得,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,证明,由已知，得xf0(x)sin x，等式两边分别对x求导， 得f0(x)xf0(x)cos x，,类似可得,2f1(x)xf2(x)sin xsin(x)，,4f3(x)xf4(x)sin xsin(x2).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,当n1时，由上可知等式成立.,因为kfk1(x)xfk(x)kfk1(x)fk(x)xfk