高考数学大一轮复习第六章数列6_3等比数列及其前n项和课件理北师大版

6.3 等比数列及其前n项和,基础知识 自主学习,课时作业,题型分类 深度剖析,内容索引,基础知识 自主学习,一般地，如果一个数列 ， ,那么这个数列叫作等比数列，这个常数叫作等比数列的 ，通常用字母 表示(q0).,1.等比数列的定义,知识梳理,2.等比数列的通项公式,设等比数列an的首项为a1，公比为q，则它的通项an_ _.,从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同,一个常数,公比,q,a1qn1(a10，,q0),如果在a与b中插入一个数G，使得a，G，b成等比数列，那么根据等比数列的定义， ， ，G . 我们称G为a，b的等比中项.,3.等比中项,4.等比数列的常用性质,(1)通项公式的推广：anam (n，mN). (2)若an为等比数列，且klmn(k，l，m，nN)，则 .,G2ab,qnm,akalaman,5.等比数列的前n项和公式,6.等比数列前n项和的性质 公比不为1的等比数列an的前n项和为Sn，则Sn，S2nSn，S3nS2n仍成等比数列，其公比为 .,qn,等比数列an的单调性,判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)满足an1qan(nN，q为常数)的数列an为等比数列.( ) (2)G为a，b的等比中项G2ab.( ) (3)如果数列an为等比数列，bna2n1a2n，则数列bn也是等比数列. ( ) (4)如果数列an为等比数列，则数列ln an是等差数列.( ),1.(教材改编)已知an是等比数列，a22，a5 ，则公比q等于,考点自测,答案,解析,2.(2016南昌一模)若等比数列an的各项均为正数，前4项的和为9，积为 ，则前4项倒数的和为,答案,解析,设等比数列an的首项为a1，公比为q，,3.设等比数列an的前n项和为Sn，若S23，S415，则S6等于 A.31 B.32 C.63 D.64,答案,解析,根据题意知，等比数列an的公比不是1. 由等比数列的性质，得(S4S2)2S2(S6S4)，即1223(S615)，解得S663.故选C.,4.(教材改编)在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为_.,答案,解析,27,81,设该数列的公比为q，由题意知， 2439q3，q327，q3. 插入的两个数分别为9327,27381.,答案,解析,11,设等比数列an的公比为q， 8a2a50，8a1qa1q40. q380，q2，,题型分类 深度剖析,题型一 等比数列基本量的运算,例1 (1)(2015课标全国)已知等比数列an满足a1 ，a3a5 4(a41)，则a2等于,答案,解析,由an为等比数列，得a3a5 ，,又a3a54(a41)，所以 4(a41)，,解得a42.设等比数列an的公比为q，,则由a4a1q3，得2 q3，解得q2，,所以a2a1q .故选C.,答案,解析,2n1,思维升华,等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解.,跟踪训练1 (1)设an是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和.已知a2a41，S37，则S5等于,答案,解析,(2)(2015湖南)设Sn为等比数列an的前n项和，若a11，且3S1,2S2，S3成等差数列，则an_.,答案,解析,3n1,由3S1，2S2，S3成等差数列知，4S23S1S3， 可得a33a2，所以公比q3， 故等比数列通项ana1qn13n1.,题型二 等比数列的判定与证明,例2 设数列an的前n项和为Sn，已知a11，Sn14an2. (1)设bnan12an，证明：数列bn是等比数列；,证明,由a11及Sn14an2， 得a1a2S24a12. a25，b1a22a13.,由，得an14an4an1(n2)， an12an2(an2an1)(n2). bnan12an，bn2bn1(n2)， 故bn是首项b13，公比为2的等比数列.,(2)求数列an的通项公式.,解答,由(1)知bnan12an32n1，,故an(3n1)2n2.,引申探究,若将本例中“Sn14an2”改为“Sn12Sn(n1)”，其他不变，求数列an的通项公式.,解答,由已知得n2时，Sn2Sn1n. Sn1Sn2Sn2Sn11， an12an1， an112(an1)，n2， (*) 又a11，S2a1a22a12，即a212(a11)， 当n1时(*)式也成立， 故an1是以2为首项，以2为公比的等比数列， an122n12n，an2n1.,思维升华,(1)证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可. (2)利用递推关系时要注意对n1时的情况进行验证.,证明,跟踪训练2 已知数列an满足a11，an13an1. (1)证明：an 是等比数列，并求an的通项公式；,证明,题型三 等比数列性质的应用,例3 (1)若等比数列an的各项均为正数，且a10a11a9a122e5，则ln a1ln a2ln a20_.,答案,解析,50,因为a10a11a9a122a10a112e5， 所以a10a11e5. 所以ln a1ln a2ln a20 ln(a1a2a20) ln(a1a20)(a2a19)(a10a11) ln(a10a11)1010ln(a10a11) 10ln e550ln e50.,答案,解析,方法一 S6S312，an的公比q1.,S3，S6S3，S9S6也成等比数列，即(S6S3)2S3(S9S6)，,思维升华,等比数列常见性质的应用 等比数列性质的应用可以分为三类： (1)通项公式的变形； (2)等比中项的变形； (3)前n项和公式的变形.根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口.,答案,解析,跟踪训练3 (1)已知在等比数列an中，a1a410，则数列lg an的前4项和等于 A.4 B.3 C.2 D.1,前4项和S4lg a1lg a2lg a3lg a4lg(a1a2a3a4)， 又等比数列an中，a2a3a1a410， S4lg 1002.,(2)设等比数列an中，前n项和为Sn，已知S38，S67，则a7a8a9等于,答案,解析,因为a7a8a9S9S6，且公比不等于1， 在等比数列中，S3，S6S3，S9S6也成等比数列，即8，1，S9S6成等比数列， 所以有8(S9S6)(1)2，S9S6 ，即a7a8a9 .,分类讨论思想在等比数列中的应用,思想与方法系列13,(1)利用等差数列的性质求出等比数列的公比，写出通项公式； (2)求出前n项和，根据函数的单调性证明.,规范解答,思想方法指导,(1)解 设等比数列an的公比为q， 因为2S2，S3,4S4成等差数列， 所以S32S24S4S3，即S4S3S2S4，,课时作业,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,2.(2016珠海模拟)在等比数列an中，若a10，a218，a48，则公比q等于,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,3.在正项等比数列an中，已知a1a2a34，a4a5a612，an1anan1324，则n等于 A.12 B.13 C.14 D.15,答案,解析,因此q3n68134q36， 所以n14，故选C.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,*4.(2015福建)若a，b是函数f(x)x2pxq(p0，q0)的两个不同的零点，且a，b，2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则pq的值等于 A.6 B.7 C.8 D.9,答案,解析,由题意知：abp，abq，p0，q0，a0，b0.在a，b，2这三个数的6种排序中，成等差数列的情况有a，b，2；b，a，2；2，a，b；2，b，a；成等比数列的情况有a，2，b；b，2，a.,p5，q4，pq9，故选D.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,5.中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了 A.192里 B.96里 C.48里 D.24里,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,即第二天走了96里，故选B.,6.(2016铜仁质检)在由正数组成的等比数列an中，若a3a4a53，则sin(log3a1log3a2log3a7)的值为,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,7.设Sn为等比数列an的前n项和，已知3S3a42，3S2a32，则公比q_.,答案,解析,4,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,8.设各项都是正数的等比数列an，Sn为前n项和且S1010，S3070，那么S40_.,答案,解析,150,依题意，知数列an的公比q1，数列S10，S20S10，S30S20，S40S30成等比数列，因此有(S20S10)2S10(S30S20)，即(S2010)210(70S20)，故S2020或S2030；又S200，因此S2030，S20S1020，S30S2040，故S40S3080，S40150.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,9.已知数列an的前n项和为Sn，且满足anSn1(nN)，则通项an _.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,1 024,a4b1b2b3，anb1b2b3bn1， a21b1b2b3b20(b10b11)102101 024.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,11.已知an是首项为1，公差为2的等差数列，Sn表示an的前n项和. (1)求an及Sn；,解答,因为an是首项a11，公差d2的等差数列，所以ana1(n1)d2n1. 故Sn13(2n1),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,(2)设bn是首项为2的等比数列，公比q满足q2(a41)qS40，求bn的通项公式及其前n项和Tn.,解答,由(1)得a47，S416. 因为q2(a41)qS40，即q28q160， 所以(q4)20，从而q4. 又因为b12，bn是公比q4的等比数列， 所以bnb1qn124n122n1.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,12.(2016全国丙卷)已知各项都为正数的数列an满足a11， (2an11)an2an10. (1)求a2，a3；,解答,1,2,3,4,5,6,