高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 9_4 直线与圆、圆与圆的位置关系课件 理 新人教版

9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系,基础知识 自主学习,课时作业,题型分类 深度剖析,内容索引,基础知识 自主学习,1.判断直线与圆的位置关系常用的两种方法 (1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系 相交； 相切； 相离,知识梳理,dr,dr,dr,相交,相切,相离,2.圆与圆的位置关系,dr1r2,无解,一组实数解,两组不同的实数解,dr1r2,|r1r2|dr1r2,一组实数解,无解,0d|r1r2|(r1r2),d|r1r2|(r1r2),1.圆的切线方程常用结论 (1)过圆x2y2r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0xy0yr2. (2)过圆(xa)2(yb)2r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0a)(xa)(y0b)(yb)r2. (3)过圆x2y2r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0xy0yr2.,2.圆与圆的位置关系的常用结论 (1)两圆的位置关系与公切线的条数：内含：0条；内切：1条；相交：2条；外切：3条；外离：4条. (2)当两圆相交时，两圆方程(x2，y2项系数相同)相减便可得公共弦所在直线的方程.,判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切.( ) (2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交.( ) (3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程.( ),(4)过圆O：x2y2r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程是x0xy0yr2.( ) (5)过圆O：x2y2r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点分别为A，B，则O，P，A，B四点共圆且直线AB的方程是x0xy0yr2.( ),1.(教材改编)圆(x1)2(y2)26与直线2xy50的位置关系是 A.相切 B.相交但直线不过圆心 C.相交过圆心 D.相离,考点自测,答案,解析,所以直线与圆相交但不过圆心.,由题意知圆心(1，2)到直线2xy50的距离,2.(2016全国甲卷)圆x2y22x8y130的圆心到直线axy10的距离为1，则a等于,答案,解析,由圆的方程x2y22x8y130，得圆心坐标为(1,4)，,3.(2016西安模拟)若直线xy10与圆(xa)2y22有公共点，则实数a的取值范围是 A.3，1 B.1,3 C.3,1 D.(，31，),答案,解析,解得3a1.,几何画板展示,4.(2016黑龙江大庆实验中学检测)已知圆C1：(x2)2(y3)21，圆C2：(x3)2(y4)29，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|PN|的最小值为,答案,解析,圆C1关于x轴对称的圆C1的圆心为C1(2，3)，半径不变，圆C2的圆心为(3,4)，半径r3，|PM|PN|的最小值为圆C1和圆C2的圆心距减去两圆的半径，,几何画板展示,5.已知圆C1：(xa)2(y2)24与圆C2：(xb)2(y2)21外切，则 ab的最大值为_.,答案,解析,由两圆外切可得圆心(a，2)，(b，2)之间的距离等于两圆半径之和， 即(ab)2(21)2，即9a2b22ab4ab， 所以ab ，当且仅当ab时取等号， 即ab的最大值是 .,题型分类 深度剖析,题型一 直线与圆的位置关系的判断,例1 (1)已知点M(a，b)在圆O：x2y21外，则直线axby1与圆O的位置关系是 A.相切 B.相交 C.相离 D.不确定,答案,解析,(2)(2016江西吉安月考)圆x2y22x4y0与直线2txy22t0 (tR)的位置关系为 A.相离 B.相切 C.相交 D.以上都有可能,答案,解析,直线2txy22t0恒过点(1，2)， 12(2)2214(2)50， 点(1，2)在圆x2y22x4y0内. 直线2txy22t0与圆x2y22x4y0相交， 故选C.,思维升华,判断直线与圆的位置关系的常见方法 (1)几何法：利用d与r的关系. (2)代数法：联立方程之后利用判断. (3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交. 上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题.,由题意可知过A，B两点的直线方程为(ab)xyab0，,化简后得d1，故直线与圆相切.,相切,答案,解析,题型二 圆与圆的位置关系,例2 (1)(2016山东)已知圆M：x2y22ay0(a0)截直线xy0所得线段的长度是2 ，则圆M与圆N：(x1)2(y1)21的位置关系是 A.内切 B.相交 C.外切 D.相离,答案,解析,圆M：x2(ya)2a2(a0)， 圆心坐标为M(0，a)，半径r1为a，,M(0,2)，r12. 又圆N的圆心坐标N(1,1)，半径r21，,r1r23，r1r21. r1r2|MN|r1r2，两圆相交，故选B.,(2)(2017重庆调研)如果圆C：x2y22ax2ay2a240与圆O：x2y24总相交，那么实数a的取值范围是_.,答案,解析,圆C的标准方程为(xa)2(ya)24，圆心坐标为(a，a)，半径为2.,思维升华,判断圆与圆的位置关系时，一般用几何法，其步骤是 (1)确定两圆的圆心坐标和半径长； (2)利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d，求r1r2，|r1r2|； (3)比较d，r1r2，|r1r2|的大小，写出结论.,跟踪训练2 已知两圆x2y22x6y10和x2y210x12ym0. (1)m取何值时两圆外切； (2)m取何值时两圆内切； (3)求m45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长.,解答,两圆的标准方程分别为(x1)2(y3)211，(x5)2(y6)261m，,(3)两圆的公共弦所在直线方程为 (x2y22x6y1)(x2y210x12y45)0，,(1)当两圆外切时，,即4x3y230，所以公共弦长为,题型三 直线与圆的综合问题,命题点1 求弦长问题,例3 (2016全国丙卷)已知直线l：mxy3m 0与圆x2y212交于A，B两点，过A，B分别做l的垂线与x轴交于C，D两点，若|AB|2 ，则|CD|_.,答案,解析,4,设AB的中点为M，,命题点2 直线与圆相交求参数范围,例4 (2015课标全国)已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C：(x2)2(y3)21交于M，N两点. (1)求k的取值范围；,解答,由题设，可知直线l的方程为ykx1，,解答,设M(x1，y1)，N(x2，y2). 将ykx1代入方程(x2)2(y3)21，整理得 (1k2)x24(1k)x70.,(1k2)x1x2k(x1x2)1,所以l的方程为yx1. 故圆心C在l上，所以|MN|2.,命题点3 直线与圆相切的问题,例5 已知圆C：(x1)2(y2)210，求满足下列条件的圆的切线方程. (1)与直线l1：xy40平行；,解答,设切线方程为xyb0，,(2)与直线l2：x2y40垂直；,解答,设切线方程为2xym0，,(3)过切点A(4，1).,解答,过切点A(4，1)的切线斜率为3， 过切点A(4，1)的切线方程为y13(x4)， 即3xy110.,思维升华,直线与圆综合问题的常见类型及解题策略 (1)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形. (2)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题.,跟踪训练3 (1)(2015课标全国)过三点A(1,3)，B(4,2)，C(1，7)的圆交y轴于M、N两点，则|MN|等于,答案,解析,故过三点A、B、C的圆以AC为直径， 得其方程为(x1)2(y2)225， 令x0，得(y2)224，,答案,解析,依题意得，圆心到直线的距离等于半径，,高考中与圆交汇问题的求解,高频小考点7,与圆有关的最值问题及直线与圆相结合的题目是近年来高考高频小考点.与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面.解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化；直线与圆的综合问题主要包括弦长问题，切线问题及组成图形面积问题，解决方法主要依据圆的几何性质.,考点分析,典例1 (1)(2015湖南)已知点A，B，C在圆x2y21上运动，且ABBC.若点P的坐标为(2,0)，则 的最大值为 A.6 B.7 C.8 D.9,答案,解析,一、与圆有关的最值问题,A，B，C在圆x2y21上，且ABBC，AC为圆的直径，,设B(x，y)，则x2y21且x1,1，,答案,解析,二、直线与圆的综合问题 典例2 (1)(2015重庆)已知直线l：xay10(aR)是圆C：x2y24x2y10的对称轴，过点A(4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|等于,答案,解析,由于直线xay10是圆C：x2y24x2y10的对称轴， 圆心C(2,1)在直线xay10上， 2a10，a1，A(4，1). |AC|236440.又r2，|AB|240436. |AB|6.,(2)在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2xy40相切，则圆C面积的最小值为,答案,解析,AOB90，点O在圆C上. 设直线2xy40与圆C相切于点D， 则点C与点O间的距离等于它到直线2xy40的距离， 点C在以O为焦点，以直线2xy40为准线的抛物线上， 当且仅当O，C，D共线时，圆的直径最小为|OD|.,课时作业,1.(2017广州调研)若点A(1,0)和点B(4,0)到直线l的距离依次为1和2，则这样的直线有 A.1条 B.2条 C.3条 D.4条,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,如图，分别以A，B为圆心，1,2为半径作圆.依题意得，直线l是圆A的切线，A到l的距离为1，直线l也是圆B的切线，B到l的距离为2，所以直线l是两圆的公切线，共3条(2条外公切线，1条内公切线).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,2.若圆C1：x2y21与圆C2：x2y26x8ym0外切，则m等于 A.21 B.19 C.9 D.11,答案,解析,圆C2的标准方程为(x3)2(y4)225m. 又圆C1：x2y21，|C1C2|5.,解得m9.,3.(2016南昌二模)若圆C1：x2y22axa290(aR)与圆C2：x2y22byb210(bR)内切，则ab的最大值为,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,圆C1：x2y22axa290(aR). 化为(xa)2y29，圆心坐标为(a,0)，半径为3. 圆C2：x2y22byb210(bR)，化为x2(yb)21，圆心坐标为(0，b)，半径为1， 圆C1：x2y22axa290(aR)与圆C2：x2y22byb210 (bR)内切，,ab的最大值为2.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,4.(2016泰安模拟)过点P(3,1)作圆C：(x1)2y21的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为 A.2xy30 B.2xy30 C.4xy30 D.4xy30,答案,解析,如图所示：由题意知：ABPC，kPC ， kAB2， 直线AB的方程为y12(x1)，即2xy30.,5.若直线l：ykx1(k0)与圆C：x24xy22y30相切，则直线l与圆D：(x2)2y23的位置关系是 A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,6.已知A(2,0)，B(0,2)，实数k是常数，M，N是圆x2y2kx0上两个不同点，P是圆x2y2kx0上的动点，如果M，N关于直线xy10对称，那么PAB面积的最大值是,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,依题意得圆x2y2kx0的圆心( ，0)位于直线xy10上，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,于是有 10，即k2，因此圆心坐标是(1,0)，半径是1.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,7.(2016全国乙卷)设直线yx2a与圆C：x2y22ay20相交于A，B两点，若|AB|2 ，则圆C的面积为_.,答案,解析,4,圆C：x2y22ay20，即C：x2(ya)2a22，圆心为C(0，a)，,解得a22，所以圆的面积为(a22)4.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,8.(2016天津四校联考)过点(1， )的直线l将圆(x2)2y24分成两段 弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k_.,答案,解析,当劣弧所对的圆心角最小时，圆心(2,0)与点(1， )的连线垂直于直线l.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,由题意，圆心为O(0,0)，半径为1.如图所示，,POA为直角三角形，其中|OA|1，|AP| ，,则|OP|2， OPA30，APB60.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,10.在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2y28x150，若直线ykx2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有 公共点，则k的最大值是_.,答案,解析,圆C的标准方程为(x4)2y21，圆心为(4,0). 由题意知(4,0)到kxy20的距离应不大于2，,11.已知圆C：x2y22x4y10，O为坐标原点，动点P在圆C外，过P作圆C的切线，设切点为M. (1)若点P运动到(1,3)处，求此时切线l的方程； (2)求满足条件|PM|PO|的点P的轨迹方程.,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,把圆C的方程化为标准方程为(x1)2(y2)24， 圆心为C(1,2)，半径r2. (1)当l的斜率不存在时，此时l的方程为x1， C到l的距离d2r，满足条件. 当l的斜率存在时，设斜率为k，得l的方程为y3k(x1)， 即kxy3k0，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,l的方程为y3 (x1)， 即3x4y150. 综上，满足条件的切线l的方程为x1或3x4y150. (2)设P(x，y)，则|PM|2|PC|2|MC|2(x1)2(y2)24， |PO|2x2y2，|