高考数学大一轮复习第八章立体几何8_7立体几何中的向量方法课件

8.7 立体几何中的向量方法,基础知识 自主学习,课时训练,题型分类 深度剖析,内容索引,基础知识 自主学习,1.直线的方向向量与平面的法向量的确定 (1)直线的方向向量：在直线上任取一 向量作为它的方向向量. (2)平面的法向量可利用方程组求出：设a，b是平面内两不共线向量，n 为平面的法向量，则求法向量的方程组为,知识梳理,非零,2.用向量证明空间中的平行关系 (1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1l2(或l1与l2重合)_. (2)设直线l的方向向量为v，与平面共面的两个不共线向量v1和v2，则l或l . (3)设直线l的方向向量为v，平面的法向量为u，则l或l . (4)设平面和的法向量分别为u1，u2，则 .,v1v2,存在两个实数x，y，使vxv1yv2,vu,u1 u2,3.用向量证明空间中的垂直关系 (1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1l2 0. (2)设直线l的方向向量为v，平面的法向量为u，则l . (3)设平面和的法向量分别为u1和u2，则 .,v1v2,v1v2,vu,u1u2,u1u20,4.两条异面直线所成角的求法 设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则,5.直线与平面所成角的求法 设直线l的方向向量为a，平面的法向量为n，直线l与平面所成的角为 ，a与n的夹角为，则sin |cos | . 6.求二面角的大小 (1)如图，AB，CD分别是二面角l的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小_.,(2)如图，n1，n2分别是二面角l的两个半平面，的法向量，则二面角的大小满足|cos | ，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角).,|cosn1，n2|,判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)平面的单位法向量是唯一确定的.( ) (2)若两平面的法向量平行，则两平面平行.( ) (3)若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行.( ) (4)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角.( ),(5)两异面直线夹角的范围是(0， ，直线与平面所成角的范围是0， ，二面角的范围是0，.( ) (6)若二面角a的两个半平面，的法向量n1，n2所成角为，则二面角a的大小是.( ),考点自测,答案,解析,2.(2016杭州模拟)如图，在空间直角坐标系中 有直三棱柱ABCA1B1C1，CACC12CB， 则直线BC1与直线AB1所成角的余弦值为,答案,解析,3.(教材改编)设u，v分别是平面，的法向量，u(2,2,5)，当v(3，2,2)时，与的位置关系为_；当v(4，4，10)时，与的位置关系为_.,当v(3，2,2)时，uv(2,2,5)(3，2,2)0. 当v(4，4，10)时，v2u.,答案,解析,4.(教材改编)如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中， O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1 的中点，则直线ON，AM的位置关系是_.,垂直,答案,解析,题型分类 深度剖析,题型一 利用空间向量证明平行问题,例1 (2016重庆模拟)如图所示，平面PAD平面ABCD， ABCD为正方形，PAD是直角三角形，且PAAD2， E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点. 求证：PB平面EFG.,证明,平面PAD平面ABCD，ABCD为正方形， PAD是直角三角形，且PAAD， AB，AP，AD两两垂直，以A为坐标原点， 建立如图所示的空间直角坐标系Axyz， 则A(0,0,0)，B(2，0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0，0,2)，E(0,0,1)，F(0,1,1)，G(1，2,0).,引申探究 本例中条件不变，证明平面EFG平面PBC.,证明,又EF平面PBC，BC平面PBC， EF平面PBC， 同理可证GFPC，从而得出GF平面PBC. 又EFGFF，EF平面EFG，GF平面EFG， 平面EFG平面PBC.,(1)恰当建立空间直角坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和垂直的关键. (2)证明直线与平面平行，只需证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行，然后说明直线在平面外即可.这样就把几何的证明问题转化为向量运算.,思维升华,跟踪训练1 (2016北京海淀区模拟)正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是C1C，B1C1的中点.求证：MN平面A1BD.,证明,如图所示，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为1，,设平面A1BD的法向量为n(x，y，z)，,取x1，得y1，z1. 所以n(1，1，1).,又MN平面A1BD，所以MN平面A1BD.,题型二 利用空间向量证明垂直问题,例2 (2016绍兴模拟)如图，在多面体ABCA1B1C1中， 四边形A1ABB1是正方形，ABAC，BC AB， B1C1綊 BC，二面角A1ABC是直二面角. 求证：(1)A1B1平面AA1C；,证明,二面角A1ABC是直二面角，四边形A1ABB1为正方形， AA1平面BAC. 又ABAC，BC AB， CAB90，即CAAB， AB，AC，AA1两两互相垂直. 建立如图所示的空间直角坐标系，点A为坐标原点， 设AB2，则A(0,0,0)，B1(0,2,2)，A1(0,0,2)，C(2,0,0)，C1(1,1,2)，,(2)AB1平面A1C1C.,证明,思维升华,证明垂直问题的方法 (1)利用已知的线面垂直关系构建空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算.其中灵活建系是解题的关键. (2)其一证明直线与直线垂直，只需要证明两条直线的方向向量垂直；其二证明线面垂直，只需证明直线的方向向量与平面内不共线的两个向量垂直即可，当然 ，也可证直线的方向向量与平面的法向量平行； 其三证明面面垂直：证明两平面的法向量互相垂直；利用面面垂直的判定定理，只要能证明一个平面内的一条直线的方向向量为另一个平面的法向量即可.,跟踪训练2 (2016宁波模拟)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧面PAD底面ABCD，且PAPD AD，设E，F分别为PC，BD的中点. (1)求证：EF平面PAD；,证明,如图，取AD的中点O，连接OP，OF. 因为PAPD，所以POAD. 因为侧面PAD底面ABCD， 平面PAD平面ABCDAD， 所以PO平面ABCD. 又O，F分别为AD，BD的中点，所以OFAB. 又ABCD是正方形，所以OFAD.,所以OFEF，又因为EF平面PAD， 所以EF平面PAD.,以O为原点，OA，OF，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间,(2)求证：平面PAB平面PDC.,证明,所以PACD. 又PAPD，PDCDD，PD平面PDC，CD平面PDC， 所以PA平面PDC. 又PA平面PAB，所以平面PAB平面PDC.,题型三 利用空间向量求空间角,命题点1 求直线和平面所成的角 例3 (2016杭州二中月考)如图1， 在RtACB中，C90，BC3， AC6，D，E分别是AC，AB上的点， 且DEBC，DE2，将ADE沿 DE折起到A1DE的位置，使A1CCD，如图2. (1)求证：A1C平面BCDE；,证明,因为C90，DEBC， 所以BCCD，BCA1D， 因为CDA1DD，CD平面A1CD，A1D平面A1CD， 所以BC平面A1CD， 因为A1C平面A1CD，所以BCA1C，DEA1C， 又A1CCD，CDBCC， CDDED，DEBC， 所以A1C平面BCDE.,(2)若M是A1D上的点，试确定点M的位置，使得直线CM与平面A1BE所 成角的正弦值为 .,解答,以C为原点，以CB，CD，CA1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直,所以M为线段A1D(靠近点A1)四分之一处的点或三分之二处的点.,命题点2 求二面角 例4 已知点E，F分别在正方体ABCDA1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E2EB，CF2FC1，则平面AEF与平面ABCD所成的二面角的正切 值为_.,答案,解析,利用向量法求空间角的方法 (1)先求出直线的方向向量和平面的法向量，将求空间角转化为求两个向量的夹角. (2)利用数量积求向量的夹角，然后根据和所求角的关系得到空间角，但要注意所求角的大小.,思维升华,跟踪训练3 (2016全国丙卷)如图， 四棱锥P-ABCD中，PA底面ABCD， ADBC，ABADAC3，PABC4， M为线段AD上一点，AM2MD，N为PC的中点. (1)证明MN平面PAB；,证明,取BP的中点T，连接AT，TN，由N为PC中点知TNBC， TN BC2.又ADBC，故TN綊AM， 四边形AMNT为平行四边形，于是MNAT. 因为AT平面PAB，MN平面PAB，所以MN平面PAB.,(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.,解答,典例 (14分)(2016吉林实验中学月考)如图1所示， 正ABC的边长为4，CD是AB边上的高，E，F分别 是AC和BC边的中点，现将ABC沿CD翻折成直二面 角ADCB，如图2所示. (1)试判断直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由； (2)求二面角EDFC的余弦值； (3)在线段BC上是否存在一点P，使APDE？证明你的结论.,利用向量法解决立体几何问题,思想与方法系列21,规范解答,思想方法指导,对于较复杂的立体几何问题可采用向量法 (1)用向量法解决立体几何问题，是空间向量的一个具体应用，体现了向量的工具性，这种方法可把复杂的推理证明、辅助线的作法转化为空间向量的运算，降低了空间想象演绎推理的难度，体现了由“形”转“数”的转化思想. (2)两种思路：选好基底，用向量表示出几何量，利用空间向量有关定理与向量的线性运算进行判断.建立空间直角坐标系，进行向量的坐标运算，根据运算结果的几何意义解释相关问题.,返回,(1) AB平面DEF，理由如下： 在ABC中，由E，F分别是AC，BC中点，得EFAB. 又AB平面DEF，EF平面DEF， AB平面DEF. 2分 (2)以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(0,0,2)，B(2,0,0)，C(0,2 ，0)，E(0， ，1)， F(1， ，0)， 3分 易知平面CDF的法向量为 (0,0,2)， 设平面EDF的法向量为n(x，y，z)，,返回,课时训练,1.(2017西安质检)若平面，的法向量分别是n1(2，3,5)，n2(3, 1，4)，则 A. B. C.，相交但不垂直 D.以上答案均不正确,n1n22(3)(3)15(4)0， n1与n2不垂直，且不共线. 与相交但不垂直.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,2.已知平面内有一点M(1，1,2)，平面的一个法向量为n(6，3,6)，则下列点P中，在平面内的是 A.P(2,3,3) B.P(2,0,1) C.P(4,4,0) D.P(3，3,4),答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,4.设u(2,2，t)，v(6，4,4)分别是平面，的法向量.若，则t等于 A.3 B.4 C.5 D.6,， 则uv262(4)4t0， t5.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,5.(2016泰安模拟)如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，棱长为a，M，N分 别为A1B和AC上的点，A1MAN ， 则MN与平面BB1C1C的位置关系是 A.斜交 B.平行 C.垂直 D.MN在平面BB1C1C内,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,6.在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,7.(2016广州质检)已知平面内的三点A(0,0,1)，B(0,1,0)，C(1,0,0)，平面的一个法向量n(1，1，1)，则不重合的两个平面与的位置关系是_.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,9.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E， F分别是棱BC，DD1上的点，如果B1E平面ABF， 则CE与DF的和的值为_.,答案,解析,以D1为原点，D1A1，D1C1，D1D所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设CEx，DFy， 则易知E(x,1,1)，B1(1,1,0)，F(0,0,1y)，B(1,1,1)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,*10.如图，圆锥的轴截面SAB是边长为2的等边三角形， O为底面中心，M为SO中点，动点P在圆锥底面内(包括圆周). 若AMMP，则点P形成的轨迹长度为_.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,11.(2016泉州模拟)如图所示，已知直三棱柱 ABCA1B1C1中，ABC为等腰直角三角形， BAC90，且ABAA1，D，E，F分别为 B1A，C1C，BC的中点.求证： (1)DE平面ABC；,证明,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,以A为坐标原点，AB，AC，AA1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示空间直角坐标系Axyz， 令ABAA14， 则A(0,0,0)，E(0,4,2)，F(2,2,0)，B(4,0,0)，B1(4,0,4). 取AB中点为N，连接CN， 则N(2,0,0)，C(0,4,0)，D(2,0,2)， (2,4,0)， (2,4,0)， ，DENC， 又NC平面ABC，DE平面ABC. 故DE平面ABC.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,(2)B1F平面AEF.,证明,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,12.(2016杭州模拟)在平面四边形ABCD中， ABBDCD1，ABBD，CDBD. 将ABD沿BD折起，使得平面ABD平面BCD， 如图所示. (1)求证：ABCD；,证明,平面AB