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文档简介
高考专题突破一 高考中的导数应用问题,考点自测,课时作业,题型分类 深度剖析,内容索引,考点自测,答案,解析,1.若函数f(x)kxln x在区间(1,)上单调递增,则k的取值范围是 A.(,2 B.(,1 C.2,) D.1,),即k的取值范围为1,).,2.(2016浙江十校联考)已知函数f(x)x3ax24,若f(x)的图象与x轴正半轴有两个不同的交点,则实数a的取值范围为 A.(1,) B.( ,) C.(2,) D.(3,),答案,解析,由题意知f(x)3x22axx(3x2a), 当a0时,不符合题意.,故选D.,3.(2016全国甲卷)若直线ykxb是曲线yln x2的切线,也是曲线yln(x1)的切线,则b_.,1ln 2,答案,解析,答案,解析,1,),因为对任意x1,x2(0,),,当00;当x1时,g(x)0, 所以g(x)在(0,1上单调递增,在1,)上单调递减. 所以当x1时,g(x)取到最大值,即g(x)maxg(1)e.,故f(x)min2e.,又k0,所以k1.,题型分类 深度剖析,例1 (2015课标全国)已知函数f(x)ln xa(1x). (1)讨论f(x)的单调性;,题型一 利用导数研究函数性质,解答,解答,由(1)知,当a0时,f(x)在(0,)无最大值;,(2)当f(x)有最大值,且最大值大于2a2时,求a的取值范围.,令g(a)ln aa1,则g(a)在(0,)上单调递增,g(1)0. 于是,当0a1时,g(a)0;当a1时,g(a)0. 因此,a的取值范围是(0,1).,利用导数主要研究函数的单调性、极值、最值.已知f(x)的单调性,可转化为不等式f(x)0或f(x)0在单调区间上恒成立问题;含参函数的最值问题是高考的热点题型,解此类题的关键是极值点与给定区间位置关系的讨论,此时要注意结合导函数图象的性质进行分析.,思维升华,跟踪训练1 已知aR,函数f(x)(x2ax)ex (xR,e为自然对数的底数). (1)当a2时,求函数f(x)的单调递增区间;,解答,当a2时,f(x)(x22x)ex, 所以f(x)(2x2)ex(x22x)ex (x22)ex. 令f(x)0,即(x22)ex0,因为ex0,,(2)若函数f(x)在(1,1)上单调递增,求a的取值范围.,解答,因为函数f(x)在(1,1)上单调递增, 所以f(x)0对x(1,1)都成立. 因为f(x)(2xa)ex(x2ax)ex x2(a2)xaex, 所以x2(a2)xaex0对x(1,1)都成立. 因为ex0,所以x2(a2)xa0对x(1,1)都成立,,题型二 利用导数研究方程的根或函数的零点问题,解答,f(x)与f(x)在区间(0,)上随x的变化情况如下表:,证明,函数零点问题一般利用导数研究函数的单调性、极值等性质,并借助函数图象,根据零点或图象的交点情况,建立含参数的方程(或不等式)组求解,实现形与数的和谐统一.,思维升华,跟踪训练2 已知函数f(x)x33x2ax2,曲线yf(x)在点(0,2)处的切线 与x轴交点的横坐标为2. (1)求a;,解答,f(x)3x26xa,f(0)a. 曲线yf(x)在点(0,2)处的切线方程为yax2.,(2)证明:当k1时,曲线yf(x)与直线ykx2只有一个交点.,证明,由(1)知,f(x)x33x2x2. 设g(x)f(x)kx2x33x2(1k)x4. 由题设知1k0. 当x0时,g(x)3x26x1k0,g(x)单调递增, g(1)k10时,令h(x)x33x24, 则g(x)h(x)(1k)xh(x). h(x)3x26x3x(x2),h(x)在(0,2)上单调递减,在(2,)上单调递增,,所以g(x)h(x)h(2)0. 所以g(x)0在(0,)上没有实根. 综上,g(x)0在R上有唯一实根, 即曲线yf(x)与直线ykx2只有一个交点.,题型三 利用导数研究不等式问题,解答,例3 已知f(x)xln x,g(x)x2ax3. (1)对一切x(0,),2f(x)g(x)恒成立,求实数a的取值范围;,当x(0,1)时,h(x)0,h(x)单调递增, 所以h(x)minh(1)4. 因为对一切x(0,),2f(x)g(x)恒成立, 所以ah(x)min4.,证明,问题等价于证明,当且仅当x1时取到.,求解不等式恒成立或有解时参数的取值范围问题,一般常用分离参数的方法,但是如果分离参数后对应的函数不便于求解其最值,或者求解其函数最值繁琐时,可采用直接构造函数的方法求解.,思维升华,跟踪训练3 已知函数f(x)x32x2xa,g(x)2x ,若对任意的x11,2,存在x22,4,使得f(x1)g(x2),则实数a的取值范围是_.,答案,解析,问题等价于f(x)的值域是g(x)的值域的子集,,对于f(x),f(x)3x24x1,,当x变化时,f(x),f(x)的变化情况列表如下:,f(x)maxa2,f(x)mina4,,课时作业,解答,1,2,3,4,5,解答,(2)求函数f(x)的单调区间.,1,2,3,4,5,令f(x)0,解得x1或x5. 因为x1不在f(x)的定义域(0,)内,故舍去. 当x(0,5)时,f(x)0, 故f(x)在(0,5)内为减函数;,1,2,3,4,5,当x(5,)时,f(x)0, 故f(x)在(5,)内为增函数. 综上,f(x)的单调增区间为(5,),单调减区间为(0,5).,1,2,3,4,5,解答,当a5时,g(x)(x25x3)ex,g(1)e. 又g(x)(x23x2)ex, 故切线的斜率为g(1)4e. 所以切线方程为ye4e(x1), 即4exy3e0.,2.已知函数f(x)xln x,g(x)(x2ax3)ex(a为实数). (1)当a5时,求函数yg(x)在x1处的切线方程;,1,2,3,4,5,解答,(2)求f(x)在区间t,t2(t0)上的最小值.,1,2,3,4,5,函数f(x)的定义域为(0,),f(x)ln x1, 当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:,所以f(x)minf(t)tln t.,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,解答,3.已知函数f(x)x2xsin xcos x. (1)若曲线yf(x)在点(a,f(a)处与直线yb相切,求a与b的值;,由f(x)x2xsin xcos x, 得f(x)x(2cos x). (1)因为曲线yf(x)在点(a,f(a)处与直线yb相切, 所以f(a)a(2cos a)0,bf(a). 解得a0,bf(0)1.,1,2,3,4,5,(2)若曲线yf(x)与直线yb有两个不同交点,求b的取值范围.,解答,1,2,3,4,5,令f(x)0,得x0. 当x变化时,f(x)与f(x)的变化情况如下:,所以函数f(x)在区间(,0)上单调递减, 在区间(0,)上单调递增,f(0)1是f(x)的最小值. 当b1时,曲线yf(x)与直线yb最多只有一个交点;,1,2,3,4,5,当b1时,f(2b)f(2b)4b22b14b2b1b, f(0)11时曲线yf(x)与直线yb有且仅有两个不同交点. 综上可知,如果曲线yf(x)与直线yb有两个不同交点, 那么b的取值范围是(1,).,1,2,3,4,5,4.(2016四川)设函数f(x)ax2aln x,其中aR. (1)讨论f(x)的单调性;,解答,当a0时,f(x)0,f(x)在(0,)内单调递减.,1,2,3,4,5,解答,1,2,3,4,5,则s(x)ex11.而当x1时,s(x)0, 所以s(x)在区间(1,)内单调递增. 又由s(1)0,有s(x)0,从而当x1时,g(x)0. 当a0,x1时,f(x)a(x21)ln xg(x)在区间(1,)内恒成立时,必有a0.,1,2,3,4,5,所以此时f(x)g(x)在区间(1,)内不恒成立.,因此,h(x)在区间(1,)内单调递增.,1,2,3,4,5,又因为h(1)0, 所以当x1时,h(x)f(x)g(x)0,,1,2,3,4,5,解答,(1)
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