2002年-2011年浙江省高考数学试题(理)分类解析汇编-函数与导数.doc

2002年-2011年浙江省高考数学试题（理）分类解析汇编专题2：函数与导数锦元数学工作室 编辑一、选择题1. （全国2002年理5分）点到曲线（其中参数）上的点的最短距离为【 】（A）0（B）1（C）（D）2【答案】B。【考点】参数方程，两点间距离公式的应用。【分析】直接求距离的表达式，然后求最值：点P（1，0）到曲线（其中参数）上的点的距离为：。，点到曲线上的点的最短距离为1。故选B。2.（全国2002年理5分）函数（）是单调函数的充要条件是【 】（A）（B）（C）（D）【答案】A。【考点】二次函数的性质。【分析】先用配方法将函数变形，求出其对称轴，因为函数是单调函数，所以对称轴要在区间的左侧求解：函数在上为单调函数，即。故选A。3.（全国2002年理5分）据2002年3月5日九届人大五次会议政府工作报告：“2001年国内生产总值达到95933亿元，比上年增长7.3%”，如果“十五”期间（2001年2005年）每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“十五”末我国国内年生产总值约为【 】（A）115000亿元 （B）120000亿元 （C）127000亿元（D）135000亿元【答案】C。【考点】指数函数的应用。【分析】由题意可知“十五”末我国国内年生产总值为：95933（1+7.3%）4127164.8127000。故选C。4.（全国2003年理5分）设函数 ，若，则的取值范围是【 】 （A）（，1） （B）（，） （C）（，）（0，） （D）（，）（1，）【答案】D。【考点】分段函数的解析式求法，指数函数和幂函数的性质。【分析】将变量按分段函数的范围分成两种情形，在此条件下分别进行求解，最后将满足的条件进行合并：当时， ；当时， 1。故的取值范围是（，）（1，）。故选D。5.（浙江2004年理5分）设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能的是【 】【答案】C。【考点】函数的单调性与导数的关系【分析】根据导函数的图象确定导函数大于0 的范围和小于0的的范围，从而根据当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减，确定原函数的单调增减区间，求出答案：由的图象易得当0或2时，0；当02时，0，函数在区间（-，0）和（2，+）上单调递增；在区间（0，2）上单调递减。故选C。6.（浙江2004年理5分）若和都是定义在实数集R上的函数，且方程有实数解，则不可能是【 】 （A） （B） （C） （D）【答案】B。【考点】函数与方程的综合运用。【分析】得，得。与是等价的，即有实数解，也有实数解。对于A：方程有实数解；对于B：方程无实数解；对于C：方程有实数解；对于D：方程有实数解。故选B。7.（浙江2005年理5分）点(1，1)到直线xy10的距离是【 】(A) (B) (C) (D)【答案】D。【考点】点到直线的距离公式。【分析】应用到直线的距离公式直接求解即可：点（1，1）到直线x-y+1=0的距离是：。故选D。8.（浙江2005年理5分）设f(x)，则【 】(A) (B) (C) (D) 【答案】B。【考点】分段函数的的求值。【分析】判断自变量的绝对值与1的大小，确定应代入的解析式，先求，再求，由内而外：，。又，。故选B。9.（浙江2006年理5分）已知01，则【 】(A)1nm (B) 1mn (C)mn1 (D) nm1【答案】A。【考点】对数函数的单调性与特殊点【分析】由01知函数在（0，）上单调减小，A B C，mn1，故选A。10.（浙江2006年理5分）函数f：1，2，31，2，3满足f（f（x）=f（x），【 】(A)1个 (B)4个 (C)8个 (D)10个【答案】D。【考点】分类讨论。【分析】将f（1）、f（2）、f（3）取不同的值进行讨论，得出结论：（1）f（1）=f（2）=f（3）=1或2或3，共3个。（2）f（1）=1；f（2）=f（3）=2或3，共2个；f（2）=2；f（1）=f（3）=1或3，共2个；f（3）=3；f（1）=f（2）=1或2，共2个。（3）f（1）=1；f（2）=2；f（3）=3；1个。所以这样的函数共有10个。故选D。11.（浙江2007年理5分）设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是【 】【答案】D。【考点】利用导数研究函数的单调性，导数的几何意义。【分析】检验易知A、B、C均适合，而选项D的图象不存在所对应的函数，在整个定义域内，不具有单调性，但和在整个定义域内具有完全相同的走势，不具有这样的函数，故选D。12.（浙江2007年理5分）设是二次函数，若的值域是，则的值域是【 】ABCD【答案】C。【考点】函数的图象和值域。【分析】如图为的图象，由图象知的值域为（1，+），令，则若的值域是，定义域。又是二次函数，在定义域上连续。不可能同时取和，结合选项只能选C。13.（浙江2010年理5分）设函数的集合，平面上点的集合，则在同一直角坐标系中，中函数的图象恰好经过中两个点的函数的个数是【 】（A）4 （B）6 （C）8 （D）10 【答案】B。【考点】函数的概念、定义域、值域、图象，对数函数的图像与性质。【分析】把中和的值代入中，看有几个函数符合恰好经过中两个点： 当，时，的图像不经过中的点； 当，时，的图像经过中的（1，1）一点；当，时，的图像经过中的（1，0）一点； 当，时，的图像经过中的（0，1）一点； 当，时，的图像经过中的（，1），（1，0）两点；当，时，的图像经过中的（，0），（1，1）两点； 当，时，的图像经过中的（，1）一点； 当，时，的图像经过中的（0，1），（，0）两点；当，时，的图像经过中的（0，0），（，1）两点； 当，时，的图像经过中的（0，1），（1，0）两点； 当，时，的图像经过中的（，1），（0，0），（1，1）三点；当，时，的图像经过中的（，0），（0，1）两点。因此，共有6个函数符合恰好经过中两个点。故选B。14.（浙江2011年理5分）设函数,则实数=【 】（A）4或2 （B）4或2 （C）2或4 （D）2或2【答案】B。【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法。【分析】当时，当，（负数舍去）。故选B。二、填空题1. （全国2002年理4分）函数在上的最大值与最小值之和为3，则【答案】2。【考点】指数函数的单调性。【分析】根据指数函数的单调性，可得函数在0，1上是单调函数，从而可得其最大最小值之和为：，解得。2.（全国2002年理4分）已知，那么【答案】。【考点】求函数的值。【分析】根据所求关系式的形式可先求，从而求出为定值，最后即可求出所求：。3.（全国2003年理4分）使成立的的取值范围是【答案】（1，0）。【考点】对数的运算性质，其他不等式的解法。【分析】在坐标系中画出函数和的图象，结合图象，知，两函数的图象相交于（1，0）是单调递减，是单调递增所以只有10时，成立。故答案为：（1，0）。4.（浙江2005年理4分）函数(R，且2)的反函数是【答案】(R，且1)。【考点】反函数。【分析】由解出，求出函数的范围，然后，互换可得函数的反函数：由函数，解得。把，互换，得函数(R，且2)的反函数是(R，且1)。5.（浙江2006年理4分）对,R，记max|，|=，函数f（x）max|x1|，|x2|(xR)的最小值是.【答案】。【考点】函数最值的应用，分段函数的应用。【分析】，。其图象如右，红线即为函数f（x）的图象。则函数f（x）max|x1|，|x2|(xR)的最小值是f()=|1|=。6.（浙江2008年理4分）已知t为常数，函数在区间0，3上的最大值为2，则t=。【答案】1。【考点】分段函数最偾求法。【分析】记，则。图象是把函数图象在轴下方的部分翻折到轴上方得到，其对称轴为=1，则最大值必定在=3或=1处取得。（1）当在=3处取得最大值时，解得=1或5。检验=5时，=52不符，=1时符合（2）当最大值在=1处取得时，解得=1或3。检验=3时，）=32不符，=1符合综上所述，函数在区间0，3上的最大值为2时，=1。7.（浙江2009年理4分）某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价该地区的电网销售电价表如下：高峰时间段用电价格表低谷时间段用电价格表高峰月用电量（单位：千瓦时）高峰电价（单位：元/千瓦时）低谷月用电量（单位：千瓦时）低谷电价（单位：元/千瓦时）50及以下的部分0.56850及以下的部分0.288超过50至200的部分0.598超过50至200的部分0.318超过200的部分0.668超过200的部分0.388 若某家庭5月份的高峰时间段用电量为千瓦时，低谷时间段用电量为千瓦时，则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为元（用数字作答）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【答案】148.4。【考点】分段函数的理解和运用。【分析】计算出高峰时间段用电的电费，和低谷时间段用电的电费，然后把这两个电费相加：高峰时间段用电的电费为 500.568+1500.598=28.4+89.7=118.1 （元），低谷时间段用电的电费为 500.288+500.318=14.4+15.9=30.3 （元），本月的总电费为 118.1+30.3=148.4（元）。8.（浙江2011年理4分）若函数为偶函数，则实数 。【答案】0。【考点】偶函数的性质。【分析】为偶函数，即，。三、解答题1. （全国2002年理12分）设为实数，函数，（1）讨论的奇偶性；（2）求的最小值【答案】解：（1）当时，函数，此时，为偶函数。当时，此时既不是奇函数，也不是偶函数。（2）（i）当时，若，函数在上单调递减，从而函数在上的最小值为。若，函数在上的最小值为，且。（ii）当时，函数。若，则函数在上的最小值为，且。若，则函数在上单调递增，从而函数在上的最小值为。综上，当时，函数的最小值为；当时，函数的最小值为；当时，函数的最小值为。【考点】函数奇偶性的判断，函数的最值及其几何意义。【分析】（1）用特殊值法判断函数及不是奇函数又不是偶函数。（2）先判断函数的单调性再求最值。2.（浙江2004年理12分）设曲线在点M（，）处的切线与轴轴所围成的三角形面积为S（）.（）求切线的方程；（）求S（）的最大值.【答案】解：（）切线的斜率为故切线的方程为，即。（）令得；令得。 S()=。当（0，1）时，0，当（1,+）时,0，S()的最大值为S(1)=。【考点】利用导数求闭区间上函数的最值，导数的几何意义。【分析】（）根据导数的几何意义即为点的斜率，对函数在点M（，）进行求导，然后根据点斜式求出切线方程。（）根据三角形面积公式用表示出S（），然后由题意先对函数S进行求导，解出极值点，然后再根据函数的定义域，把极值点代入已知函数求解。3.（浙江2006年理14分）已知函数，数列(0)的第一项1，以后各项按如下方式取定：曲线在处的切线与经过（0，0）和两点的直线平行（如图）求证：当n时，() （）【答案】证明：（I）曲线在处的切线斜率。过和两点的直线斜率是，曲线在处的切线与经过（0，0）和两点的直线平行，。（II）函数当时单调递增，而，即。又，令，则。，。【考点】数列的应用，导数的运算，利用导数研究曲线上某点切线方程，不等式的证明。【分析】（I）曲线在处的切线与经过（0，0）和两点的直线平行，利用该条件可建立斜率相等的关系，故得到。（II）利用函数的单调性建立不等关系即可证明。4.（浙江2007年理15分）设，对任意实数，记（I）求函数的单调区间；（II）求证：（）当时，对任意正实数成立；（ii）有且仅有一个正实数，使得对任意正实数成立【答案】解：（I），由，得当时，当时，当时，所求函数的单调递增区间是，单调递减区间是。（II）证明：（i）令，则，当时，由，得，当时，在内的最小值是。当时，对任意正实数成立。（ii）。由（i）得，对任意正实数成立，即存在正实数，使得对任意正实数成立。下面证明的唯一性：当，时，由（i）得，。再取，得，即时，不满足对任意都成立。故有且仅有一个正实数，使得对任意正实数成立。【考点】利用导数研究函数的单调性，函数恒成立问题，利用导数求闭区间上函数的最值。【分析】（I）首先求出函数的导数，然后令，解出函数的极值点，最后根据导数判断函数的单调性，从而求函数的单调区间；（II）（）由题意当时，求出的最小值，从而求证。（）由（i）得，对任意正实数成立即存在正实数，使得对任意正实数，然后再证明的唯一性。5.（浙江2008年理15分）已知是实数，函数。（）求函数的单调区间；（）设为在区间上的最小值。（i）写出的表达式；（ii）求的取值范围，使得。【答案】解：（）函数的定义域为，。若0，则，有单调递增区间，若0，令，得，当时，当时，有单调递减区间，单调递增区间。（）（i）若0，在0，2上单调递增，。若06，在上单调递减，在上单调递增，。若6，在0，2上单调递减，。综上所述，。（ii）令。若0，无解。若06，解得36。若6，解得。故的取值范围为。【考点】利用导数研究函数的单调性和最值，不等式的证明。【分析】（）求出函数的定义域0，+），求出，因为为实数，讨论0，（0）得到得到函数的单调递增区间；若0，令，得到函数驻点讨论取值得到函数的单调区间即可。（）（i）讨论若0，在0，2上单调递增，所以；若06，在上单调递减，在上单调递增，所以；若6，在0，2上单调递减，所以得到为分段函数，写出即可。（ii）令，代到第一段上无解；若06，解得36；若6，解得则求出的取值范围即可。6.（浙江2009年理14分）已知函数，其中w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （I）设函数若在区间上不单调，求的取值范围； （II）设函数 是否存在，对任意给定的非零实数，存在惟一的非零实数（），使得成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由【答案】解：（I），。在区间上不单调，在上有实数解，且无重根。由得 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 。令有，记则在上单调递减，在上单调递增，得。而当时有在上有两个相等的实根，故舍去，所以。u.c.o.m （II）当时有；当时有。当时不合题意，。当时，记A，B=，（）当时，在上单调递增，所以要使成立，只能且，因此有。（）当时，在上单调递减，所以要使成立，只能且，因此。综合（）（）。当时A=B，则，即使得成立。因为在上单调递增，所以的值是唯一的。同理，即存在唯一的非零实数，要使成立，所以满足题意。【考点】利用导数研究函数的单调性。【分析】（I）因，先求导数：，因在区间（0，3）上不单调，得到在（0，3）上有实数解，且无重根，再利用分离参数的方法得出 ，最后再利用导数求出此函数的值域即可。（II）根据题意得出时不合题意，对分和讨论，最后综合即可得出值。7.（浙江2010年理14分）已知是给定的实常数，设函数，是的一个极大值点 ()求的取值范围；()设是的3个极值点，问是否存在实数，可找到，