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第一章第一章1. 建立线性规划问题要具备三要素：决策变量、约束条件、目标函数。决策变量（Decision Variable）是决策问题待定的量值，取值一般为非负；约束条件（Constraint Conditions）是指决策变量取值时受到的各种资源条件的限制，保障决策方案的可行性；目标函数（Objective Function）是决策者希望实现的目标，为决策变量的线性函数表达式，有的目标要实现极大值，有的则要求极小值。2.（1）设立决策变量；（2）确定极值化的单一线性目标函数；（3）线性的约束条件：考虑到能力制约，保证能力需求量不能突破有效供给量；（4）非负约束。3.（1）唯一最优解：只有一个最优点（2）多重最优解：无穷多个最优解（3）无界解：可行域无界，目标值无限增大（4）没有可行解：线性规划问题的可行域是空集无界解和没有可行解时，可能是建模时有错。4. 线性规划的标准形式为：目标函数极大化，约束条件为等式，右端常数项bi0 , 决策变量满足非负性。如果加入的这个非负变量取值为非零的话，则说明该约束限定没有约束力，对企业来说不是紧缺资源，所以称为松弛变量；剩余变量取值为非零的话，则说明“”型约束的左边取值大于右边规划值，出现剩余量。5. 可行解：满足约束条件AX =b,X0的解，称为可行解。基可行解：满足非负性约束的基解，称为基可行解。可行基：对应于基可行解的基，称为可行基。最优解：使目标函数最优的可行解，称为最优解。最优基：最优解对应的基矩阵，称为最优基。6. 计算步骤：第一步，确定初始基可行解。第二步，最优性检验与解的判别。第三步，进行基变换。第四步，进行函数迭代。判断方式：唯一最优解：所有非基变量的检验数为负数，即j 0 ，但其对应的系数列向量 Pk 中，每一个元素 aik (i=1,2,3,m)均非正数，即有进基变量但找不到离基变量。无可行解：当引入人工变量，最末单纯型发表中的基变量含有非零的人工变量，即人工变量不能全出基，则无可行解。7. 单纯形法需要有一个单位矩阵作为初始基。当约束条件都是“”时，加入松弛变量就形成了初始基，但实际问题中往往出现“”或“”型的约束，这就没有现成的单位矩阵。需要采用人造基的办法，无单位列向量的等式中加入人工变量，从而得到一个初始基。人工变量只有取 0 时，原来的约束条件才是它本来的意义。为保证人工变量取值为 0，令其价值系数为-M（M 为无限大的正数，这是一个惩罚项）。如果人工变量不为零，则目标函数就不能实现最优，因此必须将其逐步从基变量中替换出。对最小化问题，在目标函数中人工变量的系数取 M。8.9. 10.（1）C10，C20，且 d0（2）C1=0，C20 或 C2=0，C10 （3）C1 0，d0，a20，d/43/a2（4）C20，a1 0（5）x1为人工变量，且 C1为包含 M 的大于 0 数，d/43/a2；或者 x2为人工变量，且 C2为包含 M 的大于 0 数，a10，d0。 11. 12. 设 xij为电站向某城市分配的电量，建立模型如下：13. 设 x1为产品A的产量， x2为产品B的产量，x3为副产品C的销售量， x4为副产品C的销毁量，问题模型如下：第二章1.（2）甲生产 20 件，乙生产 60 件，材料和设备 C 充分利用，设备 D 剩余 600 单位（3）甲上升到 13800 需要调整，乙下降 60 不用调整。（4）非紧缺资源设备 D 最多可以减少到 300，而紧缺资源材料最多可以增加到 300，紧缺资源设备 C 最多可以增加到 360。2.设第一次投资项目i为xi，第二次投资项目i设为xi ，第三次投资项目 i设为xi 。3.设每种家具的产量为 4.设每种产品生产xi5（1）设xi为三种产品生产量通过 Lindo 计算得 x1= 33, x2= 67, x3= 0, Z = 733（2）产品丙每件的利润增加到大于6.67时才值得安排生产；如产品丙每件的利润增加到 50/6，通过Lindo计算最优生产计划为：x1=29 ， x2= 46 ， x3= 25 ， Z = 774.9 。（3）产品甲的利润在6,15范围内变化时，原最优计划保持不变。（4）确定保持原最优基不变的q的变化范围为-4,5。（5）通过 Lindo 计算，得到 x1= 32, x2= 58, x3= 10, Z = 707第三章1.原问题和对偶问题从不同的角度来分析同一个问题，前者从产品产量的角度来考察利润，后者则从形成产品本身所需要的各种资源的角度来考察利润，即利润是产品生产带来的，同时又是资源消耗带来的。对偶变量的值 yi 表示第i种资源的边际价值，称为影子价值。可以把对偶问题的解Y定义为每增加一个单位的资源引起的目标函数值的增量。2.若以产值为目标，则 yi是增加单位资源 i 对产值的贡献，称为资源的影子价格（Shadow Price）。即有“影子价格=资源成本+影子利润”。因为它并不是资源的实际价格，而是企业内部资源的配比价格，是由企业内部资源的配置状况来决定的，并不是由市场来决定，所以叫影子价格。可以将资源的市场价格与影子价格进行比较，当市场价格小于影子价格时，企业可以购进相应资源，储备或者投入生产；当市场价格大于影子价格时，企业可以考虑暂不购进资源，减少不必要的损失。 3.（1）最优性定理：设，分别为原问题和对偶问题的可行解，且 C = bT，则 ，a分别为各自的最优解。（2）对偶性定理：若原问题有最优解，那么对偶问题也有最优解，而且两者的目标函数值相等。（3）互补松弛性：原问题和对偶问题的可行解 X*、 Y*为最优解的充分必要条件是,。（4）对偶问题的最优解对应于原问题最优单纯形法表中，初始基变量的检验数的负值。若 YS对应原问题决策变量 x 的检验数； Y 则对应原问题松弛变量xS 的检验数。 4.表示三种资源的影子利润分别为 0.89、4.89 和 0，应优先增加设备 C 台时以及增加材料可获利更多；14.8912，所以设备 C 可以进行外协加工，200.89E(S2) ,所以应该选择建大厂。（2）将收益 720 万元的效用值定为1，记U(720) =1，最低收益值-480万元的效用值定为0，记U(480) =0.U(-120)=0.5U(720)+0.5U(-480)=0.51+0.50=0.5U(180)=0.5U(720)+0.5U(-120)=0.51+0.50.5=0.75U(-340)=0.5U( 480)+0.5U(-120)=0.50+0.50.5=0.25根据已知的几个收益值点的效用值，画出效用曲线：从该效用曲线可以看出，该经理是风险厌恶者。如果采用建大厂的方案，一旦出现市场需求量低的状况，会亏损 20 万元，风险太大；而采用建小厂的方案，不会出现亏损。因此，经理决定建小厂。第十章11）建立层次模型2）构造判断矩阵3）一致性检验4）层次单排序5）层次总排序2.一个因素被分解为若干个与之相关的下层因素，通过各下层因素对该因素的重要程度两两相比较，构成一个判断矩阵。通常我们很难马上说出所有 A1，A2，An之间相对重要程度，但可以对 Ak与 Aj间两两比较确定，取一些相对数值为标度来量化判断语言，如表所示。3.一致性是指判断矩阵中各要素的重要性判断是否一致，不能出现逻辑矛盾。当判断矩阵中的元素都符合一致性特性时，则说明该判断矩阵具有完全一致性。引入判断矩阵的一致性指标 C.I.，来检验人们思维判断的一致程度。C.I.值越大，表明判断矩阵偏离完全一致性的程度越大；C.I.值越小（越接近于 0），表明判断矩阵的一致性越好。对于不同阶的判断矩阵，其 C.I.值的要求也不同。为度量不同阶判断矩阵是否具有满意的一致性，再引入平均随机一致性系数指标 R.I。C.I.与 R.I.之比称为随机一致性比值记作 C.R。当 C.R.0.1 时，即认为判断矩阵具有满意的一致性；否则，C.R.0.1 时，认为判断矩阵不一致4.层次单排序就是把本层所有要素针对上一层某要素来说，排出评比的优劣次序所谓层次总排序就是针对最高层目标而言，本层次各要素重要程度的次序排列。5.将各指标值无量纲化和无极性化，可以使各指标的评价尺度统，然后才能对各方案的价值进行分析和评价。6.计算 O-U 判断矩阵的相对权重向量：即准则层的相对权重向量WU = (0.1634,0.2970,0.5396)T。近似计算最大特征根 max进行一致性检验可见，随机一致性指标 C.R. 0.1，判断矩阵 O-U 具有满意的一致性。同理，可以计算其它各判断矩阵的层次单排序如下： (U1,U2,U3)的相对权重也就是其绝对权重(0.1634, 0.2970, 0.5396)。 A1、 A2、 A3相对于各个指标的权重就是各型号相对于各个指标的得分，将两者对应相乘，可以得到各个方案的分数，如下表所示：可以看出，A1型号的得分最高，A3型号其次，A2型号最低。因此，应优先选择 A1 型号。7. 指标值无极性化处理：利润，成本和投资指标中，投资、成本是极小值极性，用各行的最小值与该行的每个元素之比，去掉指标极性；利润是极大值极性，用各行的每个元素与该行的最大值之比，去掉指标极性。再用指标的权重向量进行综合权衡，即用指标的权重与对应列的对应元素相乘求和：从上表可以得出按个方案的得分，各个方案的次序为 A3、A1、A2。8（1）先计算 O-U 判断矩阵的权重向量，得到 WU = (0.4832,0.2717,0.1569,0.0882)T进行一致性检验可见，随机一致性指标 C.R. S = 76.7 ，应舍去，所以取 s = 69.147 。因此，这个问题的足有策略应是：商店的电子产品需订购 S x = 76.7 0 77 台。第十二章1.（1）在t=30时系统内有 20 个顾客的概率等于在t=3015=15时间内到达 n=2010=10个顾客的概率。在t=15至t=30这段时间内到达的平均数为t=2015=300个。在t=30时系统中有20个顾客的概率：（2）系统中顾客的平均数为t，因此，当t=10时，t=2010=200个，当t=20时， t=2020=400个。2.3.