高中数学必修5新教学案第二章行〗嵊敫聪癬.doc

1 第二章 数列小结与复习(学案) 【知识归类】 一、等差数列 1 定义及公式 (1) 等差数列的定义：若数列满足 =，则称数列为等差数列 n ad n a (2) 通项公式： n a (3) 前项和公式： n n S 等差数列的通项公式与前项和公式涉及到五个量，任知其三个，可求另外两个n 等差数列的判定：依据下列任一种方法都可以判定等差数列： （） 定义：= （2）等差中项： nn aa 1 d)2(2 11 naaa nnn （3）通项公式： （4）前项和公式： n adna) 1( 1 n n S ),( 2 为常数BABnAn 等差数列的性质：设数列为等差数列，首项，公差为 n a 1 ad （）（） dmnaadmnaa mnmn )()(或 * ,nm （）若 则, srnm 若),(22 * srnmaaarnm rnm ，则 （）在等差数列中，隔相同的项数抽取一项，构成的一个新数列 （）设等差数列前项和为，则 n n S nnnnn SSSSS 232 , （）在等差数列中，若项数为，则 ； n an2 奇偶 SS 若项数为，则 12 n 偶 奇 S S 等差数列的设元技巧：三个数成等差数列可设成：daada, 四个数成等差数列可设成：dadadada3,3 等差数列的函数性质：等差数列的通项公式是关于的一次函数，前项和公式nn 是关于的二次函数，可以据此解决等差数列的单调性以及前项和的最值问题nn 2 二、等比数列 请仿照、类比对等差数列的归纳，自己对等比数列从定义及公式、等比数列的判定、 等比数列的性质、等比数列的设元技巧四个方面进行归纳 三、数列的递推公式与数列求和 由数列的递推公式求数列的通项公式常用的方法有：累加法，累乘法，构造法， 迭代法等 数列求和的常用方法有：公式法，拆项（分组）求和，倒序相加法，错位相减法， 裂项相消法等 【题型归类】 题型一：等差、等比数列的判定 例 1 已知数列 n a的前项和为，n n S)(1( 3 1 naS nn （）求； （）求证：数列 n a是等比数列 21,a a 变式练习： 已知是等比数列 n a的前项和，成等差数列，求证： n Sn 693 ,SSS 成等差数列 582 ,aaa 题型二：等差、等比数列的通项公式与前项和公式的应用n 例 2 （2009 全国卷文）已知等差数列 n a中，, 0,16 6473 aaaa求 n a 前项和n n S 变式练习：（2009 辽宁卷文）等比数列 n a的前项和为，已知 1 S, 3 S, 2 S成等n n S 差数列 （1）求 n a的公比； （2）求 1 a 3 a3，求q n S 3 题型三：等差、等比数列的性质的应用 例 （2009 广东卷 理）已知等比数列 n a满足0,1,2, n an，且 2 525 2 (3) n n aan ，则当1n 时， 2123221 logloglog n aaa （ ） A. (21)nn B. 2 (1)n C. 2 n D. 2 (1)n 变式练习：在等差数列 n a中，若，则 8 171593 aaaa 21 S 题型四：数列的递推公式与数列求和 例 已知数列（ ） 200311 ,2, 0anaaaa nnn 则满足 20012002)( A20022003)( B 2 2003)(C20042003)( D 例 求数列的前项和)23( 1 10 1 7 1 4 1 11 132 n aaaa n ，n 【思想方法】 1.数学思想：本章用到的数学思想有：分类讨论的思想、函数与方程的思想、转化与 化归的思想. 2.数学方法：本章涉及到的数学方法有：求通项时用到定义法、累加法、累积法、构 造法、迭代法等；解决数列求和问题时用到公式法、错位相减法、倒序相加法、分组转化 法等 练习： (2009 年广东卷)已知等比数列 n a的公比为正数，且 3 a 9 a=2 2 5 a， 2 a=1，则 1 a= （ ） （A） 2 1 （B） 2 2 （C） 2 （D）2 2 （2009 湖南卷）设 n S是等差数列 n a的前 n 项和，已知 2 3a ， 6 11a ，则 7 S等于( ) （A）13 （B）35 （C）49 （D） 63 4 （2009 安徽卷）已知 n a为等差数列，99,105 642531 aaaaaa 则（ ） 20 a 7)( 3)( 1 )( 1)(DCBA （09 福建）等差数列 n a中， 3 S =6， 1 a=4， 则公差 d 等于（ ） （A）1 （B） 5 3 （C）2 （D） 3 （2009 四川卷）等差数列 n a的公差不为零，首项 1 a1， 2 a是 1 a和 5 a的等 比中项，则数列的前 10 项之和是（ ） （A） 90 （B） 100 （C） 145 （D） 190 已知等比数列中， n a 12114321 ,60,30aaaaaa则 .将全体正整数排成一个三角形数阵： 1 23 456 78910 按照以上排列的规律，第行从左向右的第 3 个数为 n(3)n 已知数列的前项和，求 n an n n S23 n a 已知数列的通项公式，如果，求数列的 n a112 nan)(Nnab nn n b 前项和 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 /wxc/ /wxc/ 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 n 10. 已知等比数列中，.若，数列前项的和为 n a 25 2,128aa 2 log nn ba n bn . （1）若，求的值； n S35 n S n （2）求不等式的解集. nn bS 5 第二章 数列小结与复习(教案) 【知识归类】 一、等差数列 2 定义及公式 (4) 等差数列的定义：若数列满足=，则称数列为等差数列 n a nn aa 1 d n a (5) 通项公式： n adna) 1( 1 (6) 前项和公式： n n S 2 )( 1n aan d nn na 2 ) 1( 1 等差数列的通项公式与前项和公式涉及到五个量，任知其三个，可求另外两个n 等差数列的判定 依据下列任一种方法都可以判定等差数列： （） 定义：= （2）等差中项： nn aa 1 d)2(2 11 naaa nnn （3）通项公式： n adna) 1( 1 （4）前项和公式：n n S),( 2 为常数BABnAn 等差数列的性质 设数列为等差数列，首项，公差为 n a 1 ad （）（） dmnaadmnaa mnmn )()(或 * ,nm （）若则, srnm srnm aaaa 若),(22 * srnmaaarnm rnm ，则 （）在等差数列中，隔相同的项数抽取一项，构成的一个新数列仍然是等差数列 （）设等差数列前项和为，则也成等差数列n n S nnnnn SSSSS 232 , （）在等差数列中，若项数为，则； n an2 奇偶 SSnd 6 若项数为，则12 n 偶 奇 S S n n1 等差数列的设元技巧 三个数成等差数列可设成：daada, 四个数成等差数列可设成：dadadada3,3 等差数列的函数性质 等差数列的通项公式是关于的一次函数，前项和公式是关于的二次函数，可以nnn 据此解决等差数列的单调性以及前项和的最值问题n 二、等比数列 1定义及公式 （1）等比数列的定义：若数列满足=（） ，则称数列为等比数 n a n n a a 1 q0q n a 列 （）通项公式： n a 1 1 n qa （）前项和公式： ；n n S q qa n 1 )1 ( 1 q qaa n 1 1 ) 1(q 当 1 1naSq n 时， 等比数列的通项公式与前项和公式涉及到五个量，任知其三个，可求另外两个n 等比数列的判定 依据下列任一种方法都可以判定等比数列： （）定义： = （）等比中项： n n a a 1 q)2( 11 2 naaa nnn （）通项公式： n a)0(qAq n （）前项和公式：n n S) 10, 0(qqAAAq n 且 等比数列的性质 设数列为等比数列，首项，公比为 n a 1 aq （）),( * nmqaaq a a mn mn mn m n 或 （）若；则, srnm srnm aaaa 若),(2 * 2 srnmaaarnm rnm ，则 7 （）在等比数列中，隔相同的项数抽取一项，构成的一个新数列仍然是等比数列 （）设等比数列前项和为，则也成等比数列n n S, 232nnnnn SSSSS 等比数列的设元技巧 三个数成等比数列可设成：aqa q a , 四个正数数成比差数列可设成： 3 3 ,aqaq q a q a 三、数列的递推公式与数列求和 由数列的递推公式求数列的通项公式常用的方法有：累加法，累乘法，构造法， 迭代法等 数列求和的常用方法有：公式法，拆项（分组）求和，倒序相加法，错位相减法， 裂项相消法等 【题型归类】 题型一：等差、等比数列的判定 例 1 已知数列 n a的前项和为，n n S)(1( 3 1 naS nn （）求； （）求证：数列 n a是等比数列 21,a a 【审题要津】 （）题将先后代入已知条件就可以分别求出 21211 ,aaSaS ；（）题运用即可消掉，从而得到之间的关系 21,a a 1 nnn SSa n S 1nn aa 与 解：（）， ) 1( 3 1 11 aS 2 1 1 a 又 ， 即 ) 1( 3 1 22 aS) 1( 3 1 221 aaa 4 1 2 a （）当时，有1n ，)( 3 1 ) 1( 3 1 ) 1( 3 1 111 nnnnnnn aaaaSSa 即 所以 ， 1 3 1 3 2 nn aa 2 1 1 n n a a 所以 数列 n a是等比数列 【方法总结】本题给出数列的方式也是递推公式的一种此类题运用 既可消掉，得到之间的关系，也可消掉，得到之 1 nnn SSa n S 1nn aa 与 n a 1nn SS 与 间的关系本例在证明等比数列中根据的是定义，还可以根据等比中项等方法，这要由题 目的条件而定 变式练习：已知是等比数列 n a的前项和，成等差数列，求证： n Sn 693 ,SSS 8 582 ,aaa 成等差数列 解：设公比为，当时，q1q 53916319 2,9SS ,182SSSaaS 而 不成等差数列所以， 693 ,SSS1q 由题设知 ， 639 2SSS 即 ， q qa q qa q qa 1 )1 ( 1 )1 ( 1 )1 ( 2 6 1 3 1 9 1 即 363 2)1 (2qqq 因为 所以 0q 2 1 3 q 因为 ， 而， 2 6 28 2 1 22aqaa 2 3 252 2 1 )1 (aqaaa 所以， 528 2aaa 所以，成等差数列 582 ,aaa 题型二：等差、等比数列的通项公式与前项和公式的应用n 例 2 （2009 全国卷）已知等差数列 n a中，, 0,16 6473 aaaa求 n a前 项和n n S 【审题要津】求 n a的前项和就要先求首项与公差，这只要由已知条件利n n S 1 ad 用 通项公式列出方程组即可解得 解：设 n a的公差为d，则w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 11 11 2616 350 adad adad 即 22 11 1 81216 4 adad ad 解得 11 8,8 2,2 aa dd 或 因此819819 nn Snn nn nSnn nn n ，或 9 【方法总结】本题训练了等差数列的通项公式与前项和公式，同时要注意方程的思n 想方法在解决数列问题中的应用 变式练习：（2009 辽宁卷）等比数列 n a的前项和为，已知 1 S, 3 S, 2 S成等差n n S 数列 （1）求 n a的公比；q （2）求 1 a 3 a3，求 n S 解：（）依题意有 )(2)( 2 111111 qaqaaqaaa 由于 0 1 a，故 02 2 qq 又0q，从而 2 1 q （）由已知可得3 2 1 2 11 ）（aa， 故4 1 a 从而）（ ）（ ）（ n n n 2 1 1 3 8 2 1 1 2 1 14 S 题型三：等差、等比数列的性质的应用 例（2009 广东卷） 已知等比数列 n a满足0,1,2, n an，且 n n aa 2 525 2 ，则当1n 时， 2123221 logloglog n aaa （ C ） )3( n A. (21)nn B. 2 (1)n C. 2 n D. 2 (1)n 解：由 2 525 2 (3) n n aan 得 n n a 22 2，0 n a，则 n n a2， 3212 loglogaa 2 122 ) 12(31lognna n ，选 C 【方法总结】利用性质将等比数列的一些项的积转化为一项或两项的积的幂，然后由 已知条件求出，等差数列中可以类比此方法 变式练习：在等差数列 n a中，若，则 42 8 171593 aaaa 21 S 解：)16()14()8()2( 1111171593 dadadadaaaaa ，8404 1 da 所以 即210 1 da2 11 a 10 故 21 S4221 2 )(21 11 211 a aa 题型四：数列的递推公式与数列求和 例 已知数列（ B ） 200311 ,2, 0anaaaa nnn 则满足 20012002)( A20022003)( B 2 2003)(C20042003)( D 【审题要津】本题由各选择支可以想到结果应该有一定的规律可循，因此，可由题设 中的递推公式求出前几项后，寻找规律，猜想可得 解： ， ，100 1 a2122 12 aa ，32622 23 aa ，故猜想，因此，选431232 34 aa20032002 2003 a 【方法总结】用递推数列给出数列时,可以先求出数列前几项,寻找规律,猜想出通项公 式, 当然也可以用累加法，累乘法，构造法，迭代法等本题就还可以再利用累加法解 决 例 求数列的前项和)23( 1 10 1 7 1 4 1 11 132 n aaaa n ，n 【审题要津】由于，成等比数列成等差数列， 132 1 , 1 , 1 , 1 , 123 ,10, 7 , 4 , 1 n aaaa n 所以，可以用分组求和的方法（也叫拆项求和） 解： n S) 1111 1 ()23(10741 132 n aaaa n 当； 2 3 1 2 nn Sa n 时， 当 2 3 ) 1( 1 2 ) 13( 1 1 11 1 1 2 1 1 nn aa ann a aa Sa n n n n 时， 所以 ）（ ) 1( 2 3 ) 1( 1 ,1 2 3 2 1 2 a nn aa a a nn S n n n 【方法总结】数列求和要根据数列通项公式的特征选择方法 【思想方法】 1.数学思想：本章用到的数学思想有：分类讨论的思想、函数与方程的思想、转化与 化归的思想. 2.数学方法：本章涉及到的数学方法有：求通项时用到定义法、累加法、累积法、构 造法、迭代法等；解决数列求和问题时用到公式法、错位相减法、倒序相加法、分组转化 11 法等 (2009 年广东卷)已知等比数列 n a的公比为正数，且 3 a 9 a=2 2 5 a， 2 a=1，则 1 a= （ ） （A） 2 1 （B） 2 2 （C） 2 （D）2 【解析】设公比为q,由已知得 2 284 111 2a qa qa q,即 2 2q ,又因为等比数列 n a的公比为正数，所以2q ,故 2 1 12 22 a a q ,选 B 2 （2009 湖南卷）设 n S是等差数列 n a的前 n 项和，已知 2 3a ， 6 11a ，则 7 S等于( C ) （A）13 （B）35 （C）49 （D） 63 解: 1726 7 7()7()7(3 11) 49. 222 aaaa S 或由 211 61 31 5112 aada aadd , 7 1 6 213.a 所以 17 7 7()7(1 13) 49. 22 aa S 故选 C. （2009 安徽卷）已知 n a为等差数列，99,105 642531 aaaaaa 则（ ） 20 a 7)( 3)( 1 )( 1)(DCBA 解： 135 105aaa 即 3 3105a ， 3 35a 同理可得 4 33a 公差 43 2daa 204 (204)1aad 选 B （09 福建）等差数列 n a中， 3 S =6， 1 a=4， 则公差 d 等于（） （A）1 （B） 5 3 （C）2 （D） 3 解： 313 3 6() 2 Saa且.故选 C w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 2d . 4 a , 2 113 daa 12 （2009 四川卷）等差数列 n a的公差不为零，首项 1 a1， 2 a是 1 a和 5 a的等 比中项，则数列的前 10 项之和是（ ） （A） 90 （B） 100 （C） 145 （D） 190 解：设公差为d，则)41 (1)1 ( 2 dd.d0，解得d2， 10 S100 已知等比数列中， 960 n a 12114321 ,60,30aaaaaa则 .将全体正整数排成一个三角形数阵： 1 23 456 78910 按照以上排列的规律，第行从左向右的第 3 个数为 n(3)n 解：本题训练归纳推理和等差数列求和公式前行共用了1n123(1)n 个数，因此第行从左向右的第 3 个数