电动力学第1章习题.doc

第1章 习题第2讲 课下作业：教材第33-34页，1、2、4。1、根据算符的微分性与矢量性，推导下列公式：2、设u是空间坐标x,y,z 的函数，证明： 4、应用高斯定理证明 应用斯托克斯（Stokes）定理，证明 第3讲 课下作业：教材第34-35页，5、6。5、已知一个电荷系统的偶极距定义为：利用电荷守恒定律,证明的变化率：6、若为常矢量，证明除点以外，矢量的旋度等于标量的梯度的负值。 即：, 其中R为坐标原点到场点的距离，方向由原点指向场点。补充题1：直接给出库仑定律的数学表达式，写明其中各个符号的物理意义。并推导出真空中静电场的下列公式：第4讲 课下作业：教材第35页，10。10、证明两个闭合的恒定电流圈之间的作用力大小相等，方向相反（但两个电流元之间的作用力一般并不服从牛顿第三定律）。补充题2：直接给出毕奥-萨伐尔定律的数学表达式，写明其中各个符号的物理意义，并推导出真空中静磁场的下列公式。第5讲 课下作业:：补充题3：直接给出法拉第电磁感应定律的积分形式和微分形式，写明其中各个符号的物理意义。补充题4：直接给出真空中麦可斯韦方程组的积分形式和微分形式，写明其中各个符号的物理意义。 补充题5：设想存在孤立磁荷（磁单极子），试改写Maxwell方程组，以包括磁荷密度m和磁流密度Jm的贡献。第6讲 课下作业：补充题6：场和电荷系统的能量守恒定律的积分形式和微分形式，电磁场能量密度和能流密度表达式。补充题7：场和电荷系统的动量守恒定律的积分形式和微分形式，动量密度和动量流密度表达式。习题解答：第2讲 课下作业：教材第33-34页，1、2、4。1、根据算符的微分性与矢量性，推导下列公式：解： (i) （1） 代入（1）式得：(ii) 上式中令： 则： 毕2、设u是空间坐标x,y,z 的函数，证明： 证：(i) (ii) (iii) 毕4、应用高斯定理证明 应用斯托克斯（Stokes）定理，证明 证：（1）证明 设C为任意非0的常矢量，则事实上，右边三个等式恒成立：（2） 证明 根据斯托克斯（Stokes）定理： 令：，其中 为任意非0的常矢量 左边： 右边： 即： 由的任意性得 证毕第3讲 课下作业：教材第34-35页，5、6。5、已知一个电荷系统的偶极距定义为：利用电荷守恒定律,证明的变化率：证明：方案1：（参考教材第163-164页）将整个电荷系统视为很多带电粒子的组合，第i个带电离子具有电荷qi和位置xi, 速度vi。则，方案2：选取系统内任一确定点x，此点所在的dV内，只与t相关, x、dV与时间无关。或者说，设带电系统为n个命名体积元，体积元的位置、体积都不随时间变化，但该体积元的电荷密度随时间变化，既体积元固定，电荷流动。故有：注意到在积分边界上jn=0，则有方案3：随体方式，一般方式，普遍方式，带电粒子的位置和体积都随时间发生变化。 由于电荷既不会产生，也不会消失，所以， 当然也可以利用公式：计算如下： 方案4：随体方式，一般方式，普遍方式，带电粒子的位置和体积都随时间发生变化。利用公式： 证毕6、若为常矢量，证明除点以外，矢量的旋度等于标量的梯度的负值。 即：, 其中R为坐标原点到场点的距离，方向由原点指向场点。证： 左边： 利用 左边 （R0） 右边 利用： ； 右边 故： 证毕补充题1：直接给出库仑定律的数学表达式，写明其中各个符号的物理意义。并推导出真空中静电场的下列公式：第4讲 课下作业：教材第35页，10。10、证明两个闭合的恒定电流圈之间的作用力大小相等，方向相反（但两个电流元之间的作用力一般并不服从牛顿第三定律）。证：两电流元之间的互作用 （i）若电流元互相垂直：即 则： ，故一般并不满足牛顿第三定律。 （ii）两稳定电流圈情况 同理： 且有：， 证毕补充题2：直接给出毕奥-萨伐尔定律的数学表达式，写明其中各个符号的物理意义，并推导出真空中静磁场的下列公式。第5讲 课下作业:：补充题3：直接给出法拉第电磁感应定律的积分形式和微分形式，写明其中各个符号的物理意义。补充题4：直接给出真空中麦可斯韦方程组的积分形式和微分形式，写明其中各个符号的物理意义。 补充题5：设想存在孤立磁荷（磁单极子），试改写Maxwell方程组，以包括磁荷密度m和磁流密度Jm的贡献。解：在没有磁单极子时，Maxwell方程组为：解1： 在有磁单极子时，设磁荷量密度为m，则磁场的高斯定理便不再是，而是：这时， 便不再正确。因为对两边取散度，左边为0，而右边为：为了解决这个矛盾，利用磁流的连续性方程：把, 改写为： 于是便得出，包括磁单极子时的Maxwell方程组： 解2：在有磁单极子时，设磁荷量密度为m，则磁场的高斯定理便不再是，而是：这时， 便不再正确。因为对两边取散度，左边为0，而右边为：为了解决这个矛盾，利用磁流的连续性方程：把, 改写为： 于是便得出，包括磁单极子时的Maxwell方