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,垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧,垂径定理,1,CD是直径,AB是弦, CDAB,直径过圆心 垂直于弦,平分弦 平分弦所对的优弧 平分弦所对的劣弧,垂径定理,将题设与结论调换过来,还成立吗?,这五条进行排列组合,会出现多少个命题?,2, 直径过圆心 平分弦, 垂直于弦 平分弦所对优弧 平分弦所对的劣弧,(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧,垂径定理的推论1,3,一个圆的任意两条直径总是互相平分,但它们不一定互相垂直因此这里的弦如果是直径,结论不一定成立,O,A,B,M,N,C,D,注意,为什么强调这里的弦不是直径?,4, 直径过圆心 平分弦所对优弧, 平分弦 垂直于弦 平分弦所对的劣弧,垂径定理的推论1,(2)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧,5, 直径过圆心 平分弦所对的劣弧, 平分弦 平分弦所对优弧 垂直于弦,垂径定理的推论1,(2)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧,6, 垂直于弦 平分弦, 直径过圆心 平分弦所对优弧 平分弦所对的劣弧,(3)弦的垂直平分线 经过圆心,并且平分弦所对的两条弧,垂径定理的推论1,7, 垂直于弦 平分弦所对优弧, 直径过圆心 平分弦 平分弦所对的劣弧,推论1的其他命题, 垂直于弦 平分弦所对的劣弧, 直径过圆心 平分弦 平分弦所对优弧,(4)垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直径过圆心,并且平分弦和所对的另一条弧,8, 平分弦 平分弦所对优弧, 直径过圆心 垂直于弦 平分弦所对的劣弧,(5)平分弦并且平分弦所对的一条弧的直径过圆心,垂直于弦,并且平分弦所对的另一条弧 , 平分弦 平分弦所对的劣弧, 直径过圆心 垂直于弦 平分弦所对优弧,9, 平分弦所对优弧 平分弦所对的劣弧, 直径过圆心 垂直于弦 平分弦,(6)平分弦所对的两条弧的直径过圆心,并且垂直平分弦,10,垂径定理的推论2,圆的两条平行弦所夹的弧相等,M,O,A,B,N,C,D,证明:作直径MN垂直于弦AB, ABCD 直径MN也垂直于弦CD,11,两条弦在圆心的同侧,两条弦在圆心的两侧,垂径定理的推论2有这两种情况:,12,C,D,A,B,E,作法:,1 连结AB,小练习,13,A,B,C,D,E,作法:,1 连结AB,3 连结AC,5 点G同理,14,A,B,C,作AC的垂直平分线,作BC的垂直平分线,这种方法对吗?,等分弧时一定要作弧所夹弦的垂直平分线,15,C,A,B,O,作法:,1 连结AB,3 作AC、BC的垂直平分线,4 三条垂直平分线交于一点O,16,17,你能破镜重圆吗?,A,B,C,m,n,O,作弦AB、AC及它们的垂直平分线m、n,交于O点;以O为圆心,OA为半径作圆,作法:,依据:,弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧,18,垂径定理三角形,d + h = r,r,有哪些等量关系?,在a,d,r,h中,已知其中任意两个量,可以求出其它两个量,19,课堂小结,1 圆是轴对称图形,任何一条直径所在的直线都是它的对称轴,20,垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧,2 垂径定理,21,平分弦(不是直径)的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧,平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧,弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧,垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且平分弦和所对的另一条弧,平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于弦,并且平分弦所对的另一条弧,平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦,3垂径定理的推论,22,经常是过圆心作弦的垂线,或作垂直于弦的直径,连结半径等辅助线,为应用垂径定理创造条件,4 解决有关弦的问题,23,1 判断: (1)垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两弧 ( ) (2)平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一弧 ( ) (3)经过弦的中点的直径一定垂直于弦 ( ) (4)圆的两条弦所夹的弧相等,则这两条弦平行 ( ) (5)弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧 ( ),随堂练习,24,2 在O中,弦AB的长为8cm,圆心O到AB的距离为3cm,求O的半径,O,A,B,E,解:,答:O的半径为5cm,25,4 已知在O中,弦AB的长为16cm,圆心O到AB的距离为6cm,求O的半径,解:连结OA过O作OEAB,垂足为E, 则OE3cm,AEBE AB16cm AE8cm 在RtAOE中,根据勾股定理有OA10cm O的半径为10cm,A,E,B,O,26,4、如图,CD是O的直径,弦ABCD于E,CE=1,AB=10,求直径CD的长。,解:连接OA,, CD是直径,OEAB, AE=1/2 AB=5,设OA=x,则OE=x-1,由勾股定理得,x2=52+(x-1)2,解得:x=13, OA=13, CD=2OA=26,
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