2018年秋高中数学1.7定积分的简单应用1.7.1定积分在几何中的应用1.7.2定积分在物理中的应用学案新人教A版.docx

1.7定积分的简单应用1.7.1定积分在几何中的应用1.7.2定积分在物理中的应用学习目标：1.会用定积分求平面图形的面积(重点、易混点)2.会求变速直线运动的路程和变力做功(重点、难点)自 主 预 习探 新 知1定积分与平面图形面积的关系(1)已知函数f(x)在a，b上是连续函数，由直线y0，xa，xb与曲线yf(x)围成的曲边梯形的面积为S，填表：f(x)的符号平面图形的面积与定积分的关系f(x)0Sf(x)dxf(x)0Sf(x)dx(2)一般地，如图171，如果在公共的积分区间a，b上有f(x)g(x)，那么直线xa，xb与曲线yf(x)，yg(x)围成的平面图形的面积为Sf(x)g(x)dx.即曲边梯形的面积等于曲边梯形上、下两个边界所表示函数的差的定积分图1712变速直线运动的路程做变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数vv(t)(v(t)0)在时间区间a，b上的定积分，即sv(t)dt.思考：变速直线运动的路程和位移相同吗？提示不同路程是标量，位移是矢量，两者是不同的概念3变力做功如果物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着与F(x)相同的方向从xa移动到xb(a0)的图象所围成的阴影部分(如图173所示)的面积为，则k_.图173(2)求由曲线y，y2x，yx所围成的图形的面积解(1)由解得 或故阴影部分的面积为(kxx2)dx k3k3k3，解得k2.(2)画出图形，如图所示解方程组及得交点坐标分别为(1,1)，(0,0)，(3，1)，所以Sdx(2x)dxdxdx692.母题探究：1.(变条件)把本例(1)的条件变为“如图174，已知点A，点P(x0，y0)(x00)在曲线yx2上，若阴影部分的面积与OAP的面积相等”，则x0_.图174解由题意知即x0x，解得x0或x0或x00.x00，x0.2(变条件)把本例(1)的条件变为“曲线yx2在点P(2,4)处的切线与曲线及x轴所围成的图形面积为S”，求S.解y|x24，故曲线在P点处的切线方程为y44(x2)，即y4x4，故所求面积Sx2dx(x24x4)dxx3.3(变条件)把本例(2)的条件改为“求由曲线y2x，y2x所围成的图形的面积”解由得或阴影部分的面积S (2yy2)dy.规律方法求曲边梯形面积的一般步骤如下：求变速直线运动的路程有一动点P沿x轴运动，在时间t时的速度为v(t)8t2t2(速度的正方向与x轴正方向一致)求：(1)P从原点出发，当t6时，求点P移动的路程和离开原点的位移；(2)P从原点出发，经过时间t后又返回原点时的t值. 【导学号：31062101】解(1)由v(t)8t2t20得0t4，即当0t4时，P点向x轴正方向运动，当t4时，P点向x轴负方向运动故t6时，点P移动的路程s1(8t2t2)dt(8t2t2)dt.当t6时，点P的位移为(8t2t2)dt0.(2)依题意(8t2t2)dt0，即4t2t30，解得t0或t6，t0对应于P点刚开始从原点出发的情况，t6是从原点出发，又返回原点所用的时间规律方法做变速直线运动的物体，从时刻ta到时刻tb(ab)所经过的路程s和位移s情况如下：(1)若v(t)0，则sv(t)dt；sv(t)dt.即ss.(2)若v(t)0，则sv(t)dt；sv(t)dt.即ss.(3)若在区间a，c上，v(t)0，在区间c，b上v(t)0，则sv(t)dtv(t)dt，sv(t)dt.所以求路程时要事先求得速度的正负区间.跟踪训练1有一辆汽车以每小时36 km的速度沿平直的公路行驶，在B处需要减速停车设汽车以2 m/s2的加速度刹车，问：从开始刹车到停车，汽车行驶了多远？解设从开始刹车到停车，汽车经过了t s.v036 km/h10 m/s，v(t)v0at102t.令v(t)0，解得t5.所以从开始刹车到停车，汽车行驶的路程为s(102t)dt(10tt2) 25(m)故从开始刹车到停车，汽车行驶了25 m.求变力做功设有一个长为25 cm的弹簧，若加以100 N的力，则弹簧伸长到30 cm，求使弹簧由25 cm伸长到40 cm所做的功解设x表示弹簧伸长的长度，f(x)表示加在弹簧上的力，则f(x)kx(其中常数k为比例系数)因为当f(x)100时，x5，所以k20.所以f(x)20x.弹簧由25 cm伸长到40 cm时，弹簧伸长的长度x从0 cm变化到15 cm，故所做的功W20xdx10x22 250(Ncm)22.5(J)规律方法 求变力做功的方法步骤(1)要明确变力的函数式F(x)，确定物体在力的方向上的位移(2)利用变力做功的公式WF(x)dx计算(3)注意必须将力与位移的单位换算为牛顿与米，功的单位才为焦耳跟踪训练2一物体在力F(x)(单位：N)的作用下沿与力F相同的方向，从x0处运动到x4(单位：m)处，则力F(x)做的功为()A10 JB12 JC14 JD16 JBW2dx(2x2)dx2x(x22x) 4(16844)12(J)当 堂 达 标固 双 基1在下面所给图形的面积S及相应表达式中，正确的有()Sf(x)g(x)dxS(22x8)dx图175ABCDD错误，Sf(x)g(x)dx；错误，S2dx(22x8)dx；正确2曲线ycos x与坐标轴所围图形的面积是() 【导学号：31062102】A2B3CD4BSsin sin 0sin sin 10113.3一列车沿直线轨道前进，刹车后列车速度v(t)270.9t，则列车刹车后前进多少米才能停车()A405B540C810D945A停车时v(t)0，由270.9t0，得t30，sv(t)dt (270.9t)dt(27t0.45t2) 405.4设a0，若曲线y与直线xa，y0所围成封闭图形的面积为a2，则a_.解析由已知得Sa2，所以a，所以a.答案5一物体在变力F(x)(N)的作用下沿坐标平面内