2018_2019学年高中数学第一讲坐标系三简单曲线的极坐标方程2直线的极坐标方程讲义（含解析）.docx

2直线的极坐标方程1直线的极坐标方程(1)若直线经过点M(0，0)，且极轴到此直线的角为，则直线l的极坐标方程为sin()0sin(0)(2)当直线l过极点，即00时，l的方程为 .(3)当直线l过点M(a,0)且垂直于极轴时，l的方程为cos_a.(4)当直线l过点M且平行于极轴时，l的方程为.2图形的对称性(1)若()()，则相应图形关于极轴对称 (2)若()()，则图形关于射线所在直线对称(3)若()()，则图形关于极点对称求直线的极坐标方程例1求过点A(1,0)且倾斜角为的直线的极坐标方程思路点拨思路一：通过运用正弦定理解三角形建立动点M所满足的等式，从而集中条件建立以，为未知数的极坐标方程；思路二：先求出直线的直角坐标方程，然后运用直角坐标向极坐标的转化公式间接得解解法一：设M(，)为直线上除点A以外的任意一点，易知xAM，则OAM，OMA.在OAM中，由正弦定理得，即，sin，化简得(cos sin )1，经检验，点A(1,0)的极坐标适合此方程，满足条件的直线的极坐标方程为(cos sin )1.法二：以极点O为直角坐标原点，极轴为x轴非负半轴，建立平面直角坐标系xOy，直线的斜率ktan 1，直线方程为yx1，将ysin ，xcos 代入上式，得sin cos 1，满足条件的直线的极坐标方程为(cos sin )1.求直线的极坐标方程，首先应明确过点M(0，0)，且极轴到此直线的角为的直线极坐标方程的求法另外，还要注意过极点、与极轴垂直和平行的三种特殊情况的直线的极坐标方程1求过A且垂直于极轴的直线l的方程解：如图所示，在直线l上任意取点M(，)，A，|OH|2sin.在RtOMH中，|OH|OM|cos ，cos ，即cos ，过A且垂直于极轴的直线l的方程为cos .2设点A的极坐标为，直线l过点A且与极轴所成的角为，求直线l的极坐标方程解：设P(，)为直线l上任意一点(如图)则，在OPA中，有，即sin1.直线的极坐标方程的应用例2在极坐标系中，直线l的方程是sin1，求点P到直线l的距离思路点拨将极坐标问题转化为直角坐标问题解点P的直角坐标为(，1)直线l：sin1可化为sin coscos sin1，即直线l的直角坐标方程为xy20.点P(，1)到直线xy20的距离为d1.故点P到直线l的距离为1.对于研究极坐标方程下的距离及位置关系等问题，通常是将它们化为直角坐标方程，在直角坐标系下研究3在极坐标系中，曲线C1和C2的方程分别为sin2cos 和sin 1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1和C2的交点的直角坐标为_解析：由sin2cos 2sin2cos y2x，又由sin 1y1，联立故曲线C1和C2交点的直角坐标为(1,1)答案：(1,1)4已知直线的极坐标方程为sin，则点A到这条直线的距离是_解析：点A的直角坐标为(，)直线sin，即sin coscos sin，其直角坐标方程为xy，即xy1.点A(，)到直线xy10的距离为d，故点A到直线sin的距离为.答案：一、选择题1极坐标方程cos (0)表示的曲线是()A余弦曲线B两条相交直线C一条射线 D两条射线解析：选Dcos ，2k(kZ)又0，cos 表示两条射线2已知点P的坐标为(2，)，则过点P且垂直于极轴的直线方程是()A1 Bcos C D解析：选C由点P的坐标可知，过点P且垂直于极轴的直线的直角坐标方程为x2，即cos 2.故选C.3如果直线与直线l关于极轴对称，那么直线l的极坐标方程是()A BC D解析：选A由知cos 2sin 1，故cos 2sin 1，即为所求4在极坐标系中，点到曲线cos sin 10上的点的最小距离等于()A. B.C. D2解析：选A将极坐标化为直角坐标即为点(1,1)到直线xy10的距离最小，即，故选A.二、填空题5极坐标方程cos1的直角坐标方程是_解析：将极坐标方程变为cos sin 1，化为直角坐标方程为xy1，即xy20.答案：xy206若直线sin与直线3xky1垂直，则常数k_.解析：直线的极坐标方程可化为sin cos ，即xy10，由题意知1，解得k3.答案：37在极坐标系中，点到直线sin 2的距离为_解析：点对应的直角坐标为(，1)，直线sin 2对应的直角坐标方程为y2，所以点到直线的距离为1.答案：1三、解答题8设M，N分别是曲线2sin 0和sin上的动点，求M，N的最小距离解：因为M，N分别是曲线2sin 0和sin上的动点，即M，N分别是圆x2y22y0和直线xy10上的动点，要求M，N两点间的最小距离，即在直线xy10上找一点到圆x2y22y0的距离最小，即圆心(0，1)到直线xy10的距离减去半径，故最小值为11.故M，N的最小距离为1.9求过点(2,3)且斜率为2的直线的极坐标方程解：由题意知，直线的直角坐标方程为y32(x2)，即2xy70.设M(，)为直线上任意一点，将xcos ，ysin 代入直角坐标方程2xy70，得2cos sin 70，这就是所求的极坐标方程10已知双曲线的