三次样条插值实验报告.docx

三次样条插值实验报告专业 班级 学号 姓名 一、 实验内容和要求1、阅读上面的文字和程序，试运行，检验程序和上面叙述的正确性。2、阅读上面的 MATLAB 程序；查资料，了解各 MATLAB 语句及命令。3、画程序流程图，理解并描述算法。4、修改上面的程序，能根据给定数据点，求（1）自然样条插值，边界 Sa=0, Sb=0= =（2）第二类边界条件，Sa和Sb是确定的。5、使用上面的程序，根据数据点（0，1），（1，0），（2，0），（3，1），（4，2），（5，2），和（6，1），求三种不同的三次样条插值，其中S0=-0.6，S6=-1.8，S0=1，S6=-1；S0，S6=0.在同一坐标系中，画出这 3 个三次样条插值和这些数据点。6、写实验报告（实验内容+算法描述+程序+写成分段函数的结果描述+截图）。二、 算法说明定义：设有N+1个点 ，其中 。如果存在N个三次多项式 ，系数为 ，满足如下性质： （1） （2） （3） 则称函数 为三次样条函数。 因为 是分段三次多项式，所以 在区间 上是分段线性的。 （1） 用 代入上式，可得 （2）将（2）式积分两次，会引入两个积分常数，并得到 （3） 将 代入上（3），并使用 ，可分别得到包含 的方程： （4）求解这两个方程，求出 ，而且将这些值代入方程（3）中，可得到三次多项式方程： （5） 表达式5可以简化成只包含未知系数 的形式。为求这些值，必须使用（5）式的导数，即 （6）在 处计算（6），并简化结果可得到 ，其中 （7） 同理，在式（6）中用 并计算在 处的解，可得 （8）利用节点处一阶导函数连续及方程（6）、（7），可得到包含 的重要关系式 （9） 其中方程组（9）中的未知数是要求的值 ，其他的项可通过数据点集 进行简单的计算得到的常量。因此方程（9）是包含N+1个未知数，具有N-1个线性方程的不定方程组。所以需要另外两个方程组才能求解，即边界条件。如果已知 ，则（10） （11）根据（9）（10）求出 后，可利用下面的公式计算 的样条系数 。 ，三、 源程序csfit1:第一类边界条件function S=csfit1(X,Y,dx0,dxn)N=length(X)-1;H=diff(X);D=diff(Y)./H;A=H(2:N-1);B=2*(H(1:N-1)+H(2:N);C=H(2:N);C=H(2:N);U=6*diff(D);B(1)=B(1)-H(1)/2;U(1)=U(1)-3*(D(1)-dx0);B(N-1)=B(N-1)-H(N)/2;U(N-1)=U(N-1)-3*(dxn-D(N);for k=2:N-1temp=A(k-1)/B(k-1);B(k)=B(k)-temp*C(k-1);U(k)=U(k)-temp*U(k-1);EndM(N)=U(N-1)/B(N-1);for k=N-2:-1:1M(k+1)=(U(k)-C(k)*M(k+2)/B(k);EndM(1)=3*(D(1)-dx0)/H(1)-M(2)/2;M(N+1)=3*(dxn-D(N)/H(N)-M(N)/2;for k=0:N-1S(k+1,1)=(M(k+2)-M(k+1)/(6*H(k+1);S(k+1,2)=M(k+1)/2;S(k+1,3)=D(k+1)-H(k+1)*(2*M(k+1)+M(k+2)/6;S(k+1,4)=Y(k+1);endcsfit2:第二类边界条件function S=csfit2(X,Y,dx0,dxn)N=length(X)-1;H=diff(X);D=diff(Y)./H;A=H(2:N-1);B=2*(H(1:N-1)+H(2:N);C=H(2:N);C=H(2:N);U=6*diff(D);U(1)=U(1)-dx0;U(N-1)=U(N-1)-dxn;for k=2:N-1temp=A(k-1)/B(k-1);B(k)=B(k)-temp*C(k-1);U(k)=U(k)-temp*U(k-1);EndM(N)=U(N-1)/B(N-1);for k=N-2:-1:1M(k+1)=(U(k)-C(k)*M(k+2)/B(k);EndM(1)=dx0;M(N+1)=dxn;for k=0:N-1S(k+1,1)=(M(k+2)-M(k+1)/(6*H(k+1);S(k+1,2)=M(k+1)/2;S(k+1,3)=D(k+1)-H(k+1)*(2*M(k+1)+M(k+2)/6;S(k+1,4)=Y(k+1);end画图：x1=0:.01:1;y1=polyval(S1(1,:),x1-X(1);x2=1:.01:2;y2=polyval(S1(2,:),x2-X(2);x3=2:.01:3;y3=polyval(S1(3,:),x3-X(3);x4=3:.01:4;y4=polyval(S1(4,:),x4-X(4);x5=4:.01:5;y5=polyval(S1(5,:),x5-X(5);x6=5:.01:6;y6=polyval(S1(6,:),x6-X(6); plot(x1,y1,x2,y2,x3,y3,x4,y4,x5,y5,x6,y6,X,Y,.) hold on x1=0:.01:1;y1=polyval(S2(1,:),x1-X(1);x2=1:.01:2;y2=polyval(S2(2,:),x2-X(2);x3=2:.01:3;y3=polyval(S2(3,:),x3-X(3);x4=3:.01:4;y4=polyval(S2(4,:),x4-X(4);x5=4:.01:5;y5=polyval(S2(5,:),x5-X(5);x6=5:.01:6;y6=polyval(S2(6,:),x6-X(6); plot(x1,y1,x2,y2,x3,y3,x4,y4,x5,y5,x6,y6,X,Y,.) hold on x1=0:.01:1;y1=polyval(S3(1,:),x1-X(1);x2=1:.01:2;y2=polyval(S3(2,:),x2-X(2);x3=2:.01:3;y3=polyval(S3(3,:),x3-X(3);x4=3:.01:4;y4=polyval(S3(4,:),x4-X(4);x5=4:.01:5;y5=polyval(S3(5,:),x5-X(5);x6=5:.01:6;y6=polyval(S3(6,