2020版高考数学复习三角函数、解三角形第7讲解三角形应用举例讲义理（含解析）.docx

第7讲解三角形应用举例考纲解读1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题(重点)2.利用正、余弦定理解决实际问题，主要考查根据实际问题建立三角函数模型，将实际问题转化为数学问题(难点)考向预测从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个考查内容预计2020年会强化对应用问题的考查以与三角形有关的应用问题为主要命题方向，结合正、余弦定理求解平面几何中的基本量，实际背景中求距离、高度、角度等均可作为命题角度试题可以为客观题也可以是解答题，难度以中档为主.1仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图)2方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为(如图)3方向角相对于某一正方向的水平角(1)北偏东，即由指北方向顺时针旋转到达目标方向(如图)(2)北偏西，即由指北方向逆时针旋转到达目标方向(3)南偏西等其他方向角类似4坡角与坡度(1)坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图，角为坡角)(2)坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图，i为坡度)坡度又称为坡比1概念辨析(1)东北方向就是北偏东45的方向()(2)从A处望B处的仰角为，从B处望A处的俯角为，则，的关系为180.()(3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系()(4)方位角大小的范围是0,2)，方向角大小的范围一般是.()答案(1)(2)(3)(4) 2小题热身(1)已知A，B两地间的距离为10 km，B，C两地间的距离为20 km，现测得ABC120，则A，C两地间的距离为()A10 km B10 km C10 km D10 km答案D解析由余弦定理可得，AC2AB2CB22ABCBcos12010220221020700.AC10(km)(2)如图，为测一树的高度，在地面上选取A，B两点，在A，B两点分别测得树顶的仰角为30，45，且A，B两点之间的距离为10 m，则树的高度h为()A(55) m B(3015) mC(1530) m D(153) m答案A解析在PAB中，由正弦定理得，所以PB，所以hPBsin45(55) m.(3)如图，从无人机A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67，30，此时无人机的高度是46 m，则河流的宽度BC约等于_ m(用四舍五入法将结果精确到个位参考数据：sin670.92，cos670.39，sin370.60，cos370.80，1.73)答案60解析由图可知，AB，在ABC中，由正弦定理可知，所以BC60(m)(4)在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为，沿BE方向前进30 m，至点C处测得顶端A的仰角为2，再继续前进10 m至D点，测得顶端A的仰角为4，则的大小为_答案15解析在ACD中，ACBC30，ADCD10，ADC1804，由正弦定理得，所以，cos2，所以230，15.题型 测量距离问题1一艘船以每小时15 km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔M在北偏东60方向，行驶4 h后，船到达B处，看到这个灯塔在北偏东15方向，这时船与灯塔的距离为()A15 km B30 kmC45 km D60 km答案B解析作出示意图如图所示，依题意有AB15460，DAC60，CBM15，MAB30，AMB45.在AMB中，由正弦定理，得，解得BM30.2如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，要测出A，B的距离，测量者可以在河岸边选定两点C，D，测得CDa，同时在C，D两点分别测得BCA，ACD，CDB，BDA.在ADC和BDC中，由正弦定理分别计算出AC和BC，再在ABC中，应用余弦定理计算出AB.若测得CD km，ADBCDB30，ACD60，ACB45，则A，B两点间的距离为_km.答案解析ADCADBCDB60，ACD60，DAC60，ACDC(km)在BCD中，DBC45，由正弦定理，得BCsinBDCsin30.在ABC中，由余弦定理，得AB2AC2BC22ACBCcos452.AB(km)A，B两点间的距离为 km.(1)测量距离问题，无论题型如何变化，即两点的情况如何变化，实质都是要求这两点间的距离，无非就是两点所在三角形及其构成元素的所知情况不同而已，恰当地画出(找出)适合解决问题的三角形是解题的基础，将已知线段长度和角度转化为要解的三角形的边长和角是解题的关键(2)求距离问题的两个策略选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理 (2018广州模拟)如图，在海岸线上相距2千米的A，C两地分别测得小岛B在A的北偏西方向，在C的北偏西方向，且cos，则B，C之间的距离是()A30千米 B30千米C12千米 D12千米答案D解析由题意得AC2，sinAsincos，sinBsincos22cos21，在ABC中，由正弦定理得BC12，则C与B的距离是12千米题型 测量高度问题1(2018山西五校联考)飞机的航线和山顶在同一个铅垂平面内，已知飞机的高度为海拔15000 m，速度为1000 km/h，飞行员先看到山顶的俯角为15，经过108 s后又看到山顶的俯角为75，则山顶的海拔高度为_m(取1.732)答案6340解析108 s0.03 h，AB10000.0330 km.C751560，BC.C到AB边的距离为hBCsin7520sin15sin7510sin30551.7328.66 km.山顶的海拔高度为(158.66) km6340 m.2(2018福州质检)如图，小明同学在山顶A处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30，45，且BAC135.若山高AD100 m，汽车从B点到C点历时14 s，则这辆汽车的速度约为_m/s(精确到0.1)参考数据：1.414，2.236.答案22.6解析因为小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30，45，所以BAD60，CAD45.设这辆汽车的速度为v m/s，则BC14v.在RtADB中，AB200.在RtADC中，AC100.在ABC中，由余弦定理，得BC2AC2AB22ACABcosBAC，所以(14v)2(100)220022100200cos135，所以v22.6，所以这辆汽车的速度约为22.6 m/s.条件探究将举例说明2中的条件改为“如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到B处时测得公路北侧一山顶A在西偏北30的方向上，行驶600 m后到达C处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30”，求此山的高度AD.解由题意，在BCD中，CBD30，BCD18075105，故BDC45.又BC600 m，故由正弦定理得，解得CD300 m.在RtACD中，ADCDtan30300100(m)求解高度问题的注意事项(1)理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)等的定义(2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题 1如图，在离地面高400 m的热气球上，观测到山顶C处的仰角为15，山脚A处的俯角为45，已知BAC60，则山的高度BC为()A700 m B640 m C600 m D560 m答案C解析在RtAMD中，AM400，在MAC中，AMC451560，MAC180456075，MCA180AMCMAC45，由正弦定理得AC400.在RtABC中，BCACsinBAC400600(m)2如图所示，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点从A点测得M点的仰角MAN60，C点的仰角CAB45以及MAC75；从C点测得MCA60.已知山高BC100 m，则山高MN_ m.答案150解析在ABC中，AC100，在MAC中，解得MA100，在MNA中，sin60，故MN150，即山高MN为150 m.题型 测量角度问题在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45方向，相距12 n mile的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10 n mile的速度沿南偏东75方向前进，若红方侦察艇以每小时14 n mile的速度沿北偏东45方向拦截蓝方的小艇若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角的正弦值解如图，设红方侦察艇经过x小时后在C处拦截住蓝方的小艇，则AC14x，BC10x，ABC120.根据余弦定理得(14x)2122(10x)2240xcos120，解得x2.故AC28，BC20.根据正弦定理得，解得sin.所以红方侦察艇所需的时间为2小时，角的正弦值为.解决测量角度问题的注意事项(1)测量角度时，首先应明确方位角及方向角的含义(2)求角的大小时，先在三角形中求出其正弦或余弦值(3)在解应用题时，要根据题意正确画出示意图，通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点 如图所示，位于A处的信息中心获悉：在A处的正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救信息中心立即把消息告知在A处的