2016-2017学年北京XX中学九年级（上）期中数学试卷含解析

第 1页（共 35页） 2016年北京 学 九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（本题共 30 分，每小题 3分）在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的 1二次函数 y=（ x 5） 2+7 的最小值是（ ） A 7 B 7 C 5 D 5 2下图形中，是中心对称图形的是（ ） A B C D 3下列语句中错误的是（ ） A三点确定一个圆 B垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧 C三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点 D三 角形的内心是三角形内角平分线的交点 4如图，阴影部分组成的图案既是关于 x 轴成轴对称的图形又是关于坐标原点 O 成中心对称的图形若点 A 的坐标是（ 1， 3），则点 M 和点 N 的坐标分别是（ ） A M（ 1， 3）， N（ 1， 3） B M（ 1， 3）， N（ 1， 3） C M（ 1， 3）， N（ 1， 3） D M（ 1， 3）， N（ 1， 3） 5若一个扇形的半径是 18它的弧长是 12 则此扇形的圆心角等于（ ） A 30 B 60 C 90 D 120 6将抛物线 y=y=，下列叙述正确的是（ ） A向上平移 5 个单位 B向下平移 5 个单位 C向左平移 5 个单位 D向右平移 5 个单位 7某汽车销售公司 2013 年盈利 1500 万元， 2015 年盈利 2160 万元，且从 2013 年到 2015 年，每年盈利的年增长率相同设每年盈利的年增长率为 x，根据题意，所列方程正确的是（ ） A 1500（ 1+x） +1500（ 1+x） 2=2160 B 1500x+1500160 第 2页（共 35页） C 1500160 D 1500（ 1+x） 2=2160 8如图， C 与 两边分别相切，其中 与 C 相切于点 P若 0 ， ，则 ） A 12 B C D 9如图， A， B， C 三点在已知的圆上，在 ， 0 ， 0 ， D 是 的中点，连接 度数为（ ） A 30 B 45 C 50 D 70 10二次函数 y=28x+m 满足以下条件：当 2 x 1 时，它的图象位于 x 轴的下方；当 6 x 7 时，它的图象位于 x 轴的上方，则 m 的值为（ ） A 8 B 10 C 42 D 24 二、填空题（本题共 18 分，每小题 3分） 11写出一个二次函数 y=2条即可） 12如图，将 着点 C 顺时针旋转 50 后得到 ABC ，则 的度数是 13点 A（ 3， B（ 2， 抛物线 y=5x 上，则 填 “ ” ， “ ” 或 “=” ） 14圆内接正六边形的边长是 8该正六边形的半径为 第 3页（共 35页） 15二次函数 y=4x+m 图象的顶点在 x 轴上，则 m= 16阅读下面材料： 在学习圆这一章时，老师给同学们布置了一道尺规作图题： 小敏的作法如下： 老师认为小敏的作法正确 请回答： 连接 ，可证 0 ，其依据是 ；由此可证明直线 是 依据是 三、解答题（本题共 50 分，每小题 5分） 17如图， 点的坐标分别为 A（ 1， 1）， B（ 4， 1）， C（ 3， 4）将 点 A 逆时针旋转 90 后，得到 所给的直角坐标系中画出旋转后的 直接写出点 ， ）； ， ） 第 4页（共 35页） 18九章算术是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架九章算术中记 载： “ 今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，间径几何？ ” （如图 ） 阅读完这段文字后，小智画出了一个圆柱截面示意图（如图 ），其中 点 A，求间径就是要求 O 的直径 再次阅读后，发现 寸， 寸（一尺等于十寸），通过运用有关知识即可解决这个问题请你补全题目条件，并帮助小智求出 O 的直径 19已知二次函数 y=6x+5 （ 1）将 y=6x+5 化成 y=a（ x h） 2+k 的形式； （ 2）求该二次 函数的图象的对称轴和顶点坐标； （ 3）当 y 0 时，求 x 的范围 20已知抛物线 y=2x 3 与 x 轴交于 A， B 两点，点 的左侧 （ 1）求 A， B 两点的坐标和此抛物线的对称轴； （ 2）设此抛物线的顶点为 C，点 D 与点 C 关于 x 轴对称，求四边形 面积 第 5页（共 35页） 21某商场将进价为 30 元的书包以 40 元售出，平均每月能售出 600 个，调查表明：这种书包的售价每上涨 1 元，其销售量就减少 10 个 （ 1）请写出每月售出书包的利润 y 元与每个书包涨价 x 元间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围； （ 2）如何定价才能获得 最大利润，最大利润是多少？ 22 三个顶点在 O 上， D 为垂足， E 是 的中点，求证： 1= 2（提示：可以延长 O 于 F，连接 23如图， O 的一条弦，且 点 C， E 分别在 O 上，且 点 D， E=30 ，连接 （ 1）求 长； （ 2）若 O 的另一条弦，且点 O 到 距离为 ，直接写出 24已知：如图，以等边三角形 边 直径的 O 与边 别交于点 D、 E，过点 足为 F （ 1）求证： O 的切线； （ 2）若等边三角形 边长为 4，求 长； （ 3）写出求图中阴影部分的面积的思路（不求计算结果） 第 6页（共 35页） 25已知：抛物线 y= 2m 1） x+1 经过坐标原点，且当 x 0 时， y 随 x 的增大而减小 （ 1）求抛 物线的解析式； （ 2）结合图象写出， 0 x 4 时，直接写出 y 的取值范围 ； （ 3）设点 A 是该抛物线上位于 x 轴下方的一个动点，过点 A 作 x 轴的平行线交抛物线于另一点 D，再作 x 轴于点 B， x 轴于点 C当 时，求出矩形 周长 26阅读下面材料： 如图 1，在平面直角坐标系 ，直线 y1=ax+b 与双曲线 交于 A（ 1， 3）和 B（ 3， 1）两点 观察图象可知： 当 x= 3 或 1 时， y1= 当 3 x 0 或 x 1 时， 通过观察函数的图象，可以得到不等式 ax+b 的解集 有这样一个问题：求不等式 x 4 0 的解集 某同学根据学习以上知识的经验，对求不等式 x 4 0 的解集进行了探究 下面是他的探究过程，请将（ 2）、（ 3）、（ 4）补充完整： 第 7页（共 35页） （ 1）将不等式按条件进行转化： 当 x=0 时，原不等式不成立； 当 x 0 时，原不等式可以转化为 x 1 ； 当 x 0 时，原不等式可以转化为 x 1 ； （ 2）构造函数，画出图象 设 y3=x 1， ，在同一坐标系中分别画出这两个函数的图象 双曲线 如图 2 所示，请在此坐标系中画出抛物线 y3=x 1；（不用列表） （ 3）确定两个函数图象公共点的横坐标 观察所画两个函数的图象，猜想并通过代入 函数解析式验证可知：满足 y3=x 的值为 ； （ 4）借助图象，写出解集 结合（ 1）的讨论结果，观察两个函数的图象可知：不等式 x 4 0 的解集为 三解答题（共 22 分， 27题 7分， 28题 7分， 29题 8分） 27在 ， 锐角点 D 为射线 一动点，连接 线段 点 A 逆时针旋转90 得到 结 果 C， 0 当点 D 在线段 时（与点 B 不重合），如图 1，请你判断线段 间的位置和数量关系（直接写出结论）； 当点 D 在线段 延长线上时，请你在图 2 画出图形，判断 中的结论是否仍然成立，并证明你的判断 28（ 7 分）如图，在平面直角坐标系 ，二次函数 y= +bx+c 的图象经过点 A（ 1， 0），且当 x=0 和 x=5 时所对应的函数值相等一次函数 y= x+3 与二次函数 y= +bx+c 的图象分别交于 B， C 两点，点 B 在第一象限 第 8页（共 35页） （ 1）求二次函数 y= +bx+c 的表达式； （ 2）连接 长； （ 3）连接 M 是线段 中点，将点 B 绕点 80 得到点 N，连接 断四边形形状，并证明你的结论 29在平面直角坐标系 ， O 的半径为 1， P 是坐标系内任意一点，点 P 到 点 P 与圆心 O 重合，则 O 的半径长；若点 不重合，作射线 ，则 P 的长度 图 1 为点 P 在 O 外的情形示意图 （ 1）若点 B（ 1， 0）， C（ 1， 1）， ，则 ； ； ； （ 2）若直线 y=x+b 上存在点 M，使得 ，求 b 的取值范围； （ 3）已知点 P， Q在 x 轴上， R 为线段 任意一点若线段 存在一点 T，满足 T 在 O 内且接写出满足条件的线段 度的最大值 第 9页（共 35页） 2016年北京 学 九年级（上）期中数学试卷 参考答 案与试题解析 一、选择题（本题共 30 分，每小题 3分）在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的 1二次函数 y=（ x 5） 2+7 的最小值是（ ） A 7 B 7 C 5 D 5 【考点】二次函数的最值 【分析】根据二次函数的性质求解 【解答】解： y=（ x 5） 2+7 当 x=5 时， y 有最小值 7 故选 B 【点评】本题考查了二次函数的最值：当 a 0 时，抛物线在对称轴左侧， y 随 x 的增大而减少；在对称轴右侧， y 随 x 的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当 x= ，函数最小值 y= ；当 a 0 时，抛物线在对称轴左侧， y 随 x 的增大而增大；在对称轴右侧， y 随 为图象有最高点，所以函数有最大值，当 x= ，函数最大值 y= 2下图形中，是中心对称图形的是（ ） A B C D 【考点】 中心对称图形 【分析】根据 把一个图形绕某一点旋转 180 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心进行分析即可 【解答】解： A、不是中心对称图形，故此选项错误； B、是中心对称图形，故此选项正确； C、不是中心对称图形，故此选项错误； 第 10页（共 35页） D、不是中心对称图形，故此选项错误； 故选： B 【点评】此题主要考查了中心对称图形的定义，关键是正确确定对称中心的位置 3下列语句中错误的是（ ） A三点确定一个圆 B垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的两条 弧 C三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点 D三角形的内心是三角形内角平分线的交点 【考点】三角形的内切圆与内心；垂径定理；确定圆的条件；三角形的外接圆与外心 【分析】分别根据确定圆的条件、垂径定理、三角形的外心与内心的定义对各选项进行逐一分析即可 【解答】解： A、不在同一直线上的三点确定一个圆，故本选项错误； B、符合垂径定理，故本选项正确； C、符合外心的定义，故本选项正确； D、符合内心的定义，故本选项正确 故选 A 【点评】本题考查的是三角形的内切圆与内心，熟知三角形三个内角角平分线的 交点叫三角形的内心是解答此题的关键 4如图，阴影部分组成的图案既是关于 x 轴成轴对称的图形又是关于坐标原点 O 成中心对称的图形若点 A 的坐标是（ 1， 3），则点 M 和点 N 的坐标分别是（ ） A M（ 1， 3）， N（ 1， 3） B M（ 1， 3）， N（ 1， 3） C M（ 1， 3）， N（ 1， 3） D M（ 1， 3）， N（ 1， 3） 【考点】坐标与图形变化 标与图形变化 第 11页（共 35页） 【分析】根据轴对称和中心对称图形的概念解答 【解答】解： A， M 关于原点对称， A 的坐标是（ 1， 3）， M（ 1， 3）； A， N 关于 x 轴对称， A 的坐标是（ 1， 3）， N（ 1， 3） 故选 C 【点评】两个点关于原点对称，横纵坐标均互为相反数，两个点关于 x 轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数 5若一个扇形的半径是 18它的弧长是 12 则此扇形的圆心角等于（ ） A 30 B 60 C 90 D 120 【考点】弧长的计算 【分析】把弧长公式进行变形，代入已知数据计算即可 【解答】解：根据弧长的公式 l= ，得 n= = =120 ， 故选： D 【点评】本题考查的是弧长的计算，掌握弧长的公式 l= 是解题的关键 6将抛物线 y=y=，下列叙述正确的是（ ） A向上平移 5 个单位 B向下平移 5 个单位 C向左平移 5 个单位 D向右平移 5 个单位 【考点】二次函数图象与几何变换 【专题】计 算题 【分析】按照 “ 左加右减，上加下减 ” 的规律可得答案 【解答】解：将抛物线 y= 个单位得到抛物线 y=， 故选： A 【点评】此题主要考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减 7某汽车销售公司 2013 年盈利 1500 万元， 2015 年盈利 2160 万元，且从 2013 年到 2015 年，每年盈利的年增长率相同设每年盈利的年增长率为 x，根据题意，所列方程正确的是（ ） A 1500（ 1+x） +1500（ 1+x） 2=2160 B 1500x+1500160 第 12页（共 35页） C 1500160 D 1500（ 1+x） 2=2160 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程 【分析】等量关系为： 2013 年盈利 （ 1+增长率） 2=2015 年的盈利，把相关数值代入即可 【解答】解： 2014 年的盈利为 1500 （ 1+x）， 2015 年的盈利为 1500 （ 1+x） （ 1+x） =1500（ 1+x） 2， 列的方程为 1500 （ 1+x） 2=2160， 故选 D 【点评】考查求平均变化率的方法若设变化前的量为 a，变化后的量为 b，平均变化率为 x，则经过两次变化后的数量关系为 a（ 1 x） 2=b 8如图， C 与 两边分别相切，其中 与 C 相切于点 P若 0 ， ，则 ） A 12 B C D 【考点】切线的性质 【分析】连接 切线的性质可得 由切线长定理可得 5 ，进而可得 等 腰直角三角形，利用勾股定理即可求出 长 【解答】解： 连接 与 C 相切于点 P， C 与 两边分别相切， 0 ， 5 ， P=6， =6 ， 故选 C 第 13页（共 35页） 【点评】本题考查了切线的性质定理、切线长定理以及勾股定理的运用，能够正确的判定 等腰直角三角形是解 题关键 9如图， A， B， C 三点在已知的圆上，在 ， 0 ， 0 ， D 是 的中点，连接 度数为（ ） A 30 B 45 C 50 D 70 【考点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系 【分析】根据三角形的内角和定理得到 A=80 ，根据圆周角定理得到 D= A=80 ，根据等腰三角形的内角和即可得到结论 【解答】解： 0 ， 0 ， A=80 ， D= A=80 ， D 是 的中点， ， D， =50 ， 故选 C 【点评】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，等腰三角形的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键 第 14页（共 35页） 10二次函数 y=28x+m 满足以下条件：当 2 x 1 时，它的图象位于 x 轴 的下方；当 6 x 7 时，它的图象位于 x 轴的上方，则 m 的值为（ ） A 8 B 10 C 42 D 24 【考点】二次函数的性质 【分析】根据抛物线顶点式得到对称轴为直线 x=2，在 7 x 8 这一段位于 x 轴的上方，利用抛物线对称性得到抛物线在 0 x 1 这一段位于 x 轴的上方，而图象在 1 x 2 这一段位于 x 轴的下方，于是可得抛物线过点（ 2， 0），（ 6， 0），然后把（ 2， 0）代入 y=28x+m 可求出 m 的值 【解答】解： 抛物线 y=28x+m=2（ x 2） 2 8+m 的对称轴为直线 x=2， 而 抛物线在 2 x 1 时，它的图象位于 x 轴的下方；当 6 x 7 时，它的图象位于 x 轴的上方 抛物线过点（ 2， 0），（ 6， 0）， 把（ 2， 0）代入 y=28x+m 得 8+16+m=0，解得 m= 24 故选 D 【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的交点以及抛物线的轴对称性：求二次函数 y=bx+c（ a， b， a 0）与 x 轴的交点坐标，令 y=0，即 bx+c=0，解关于 x 的一元二次方程即可求得交点横坐标 =4定抛物线与 x 轴的交点个数： =40 时，抛物线与 x 轴有 2 个交 点； =4 时，抛物线与 x 轴有 1 个交点； =40 时，抛物线与 二、填空题（本题共 18 分，每小题 3分） 11写出一个二次函数 y=2条即可） 图象有最低点（ 0， 0），答案不唯一 【考点】二次函数的性质 【分析】根据二次函数的性质说出其增减性、开口方向、最值等任意一个性质即可 【解答】解：二次函数 y=2象有最低点（ 0， 0）等， 故答案为图象有最低点（ 0， 0），答案不唯一 【点评】此题考查二次函数的性质，掌握二次函数 y= 12如图，将 着点 C 顺时针旋转 50 后得到 ABC ，则 的度数是 50 第 15页（共 35页） 【考点】旋转的性质 【分析】直接根据旋转的性质得出结论 【解答】解： 着点 C 顺时针旋转 50 后得到 ABC ， 50 ， 故答案为： 50 【点评】此题是旋转的性质，主要考查了旋转的性质，掌握旋转的性质和灵活运用是解本题的关键 13点 A（ 3， B（ 2， 抛物线 y=5x 上，则 填 “ ” ， “ ” 或 “=” ） 【考点】二次函数图象上点的坐标特征 【分析】分别计算自变量为 3、 2 时的函数值，然后比较函数值的大小即可 【解答】解：当 x= 3 时， y1=5x=24； 当 x=2 时， y2=5x= 6； 24 6， 故答案为： 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式也考查了二次函数的性质 14圆内接正六边形的边长是 8该正六边形的半径为 8 【考点】正多边形和圆 【分析】求出正六边形的中心角，连接两个顶点，可得等 边三角形，于是可得到正六边形的边长 【解答】解：连接 正六边形， =60 ， 又 B， 第 16页（共 35页） 等边三角形， A=8 故答案为： 8 【点评】本题考查了正多边形和圆的知识；求得正六边形的中心角为 60 ，得到等边三角形是正确解答本题的关键；求得中心角的度数是此类题目常用的，比较重要，应注意掌握 15二次函数 y=4x+m 图象的顶点在 x 轴 上，则 m= 4 【考点】二次函数的性质 【分析】把函数化成 y=（ x 2） 2 4+m，根据题意可得出 m 的值 【解答】解： 二次函数 y=4x+m 图象的顶点在 x 轴上， y=（ x 2） 2 4+m， m 4=0，即 m=4， 故答案为： 4 【点评】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的顶点坐标式，此题难度不大 16阅读下面材料： 在学习圆这一章时，老师给同学们布置了一道尺规作图题： 小敏的作法如下： 第 17页（共 35页） 老师认为 小敏的作法正确 请回答：连接 ，可证 0 ，其依据是 直径所对的圆周角是直角 ；由此可证明直线 是 O 的切线，其依据是 经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 【考点】作图 复杂作图；切线的判定与性质 【分析】直接根据圆周角定理即可得出 0 ，由切线的性质即可得出结论 【解答】解： O 的直径， 0 直线 是 O 的切线 故答案为：直径所对的圆周角是直角；经过半径外端并且垂直于这条半径 的直线是圆的切线 【点评】本题考查的是作图复杂作图，熟知圆的切线的作法及圆周角定理是解答此题的关键 三、解答题（本题共 50 分，每小题 5分） 17如图， 点的坐标分别为 A（ 1， 1）， B（ 4， 1）， C（ 3， 4）将 点 A 逆时针旋转 90 后，得到 所给的直角坐标系中画出旋转后的 直接写出点 1 ， 2 ）； 4 ， 1 ） 第 18页（共 35页） 【考点】作图 【专题】作图题 【分析】 利用网格特点和旋转的性质画出点 B、 C 的对应点 而得到 【解答】解：如图， 1， 2）， 4， 1） 故答案为（ 1， 2），（ 4， 1） 【点评】本题考查了作图旋转图形的作法：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形 第 19页（共 35页） 18九章算术是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架九章算术中记载： “ 今有 圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，间径几何？ ” （如图 ） 阅读完这段文字后，小智画出了一个圆柱截面示意图（如图 ），其中 点 A，求间径就是要求 O 的直径 再次阅读后，发现 1 寸， 10 寸（一尺等于十寸），通过运用有关知识即可解决这个问题请你补全题目条件，并帮助小智求出 O 的直径 【考点】垂径定理的应用；勾股定理 【分析】根据题意容易得出 长；连接 半径 B=x 寸，先根据垂径定 理求出 根据勾股定理求出 x 的值，即可得出直径 【解答】解：根据题意得： 寸， 0 寸； 故答案为： 1， 10； （ 2）连接 图所示： 设 B=x 寸，则 x 1）寸， 在 ， 0 ， （ x 1） 2+52= 解得： x=13， O 的直径为 26 寸 第 20页（共 35页） 【点评】本题考查了勾股定理 在实际生活中的应用；根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，运用勾股定理得出方程是解答此题的关键 19已知二次函数 y=6x+5 （ 1）将 y=6x+5 化成 y=a（ x h） 2+k 的形式； （ 2）求该二次函数的图象的对称轴和顶点坐标； （ 3）当 y 0 时，求 x 的范围 【考点】抛物线与 x 轴的交点；二次函数的三种形式 【分析】（ 1）利用配方法把一般式化为顶点式； （ 2）根据二次函数的性质解答； （ 3）求出 6x+5=0 的解，解答即可 【解答】解：（ 1） y=6x+5 =6x+9 4 =（ x 3） 2 4； （ 2） y=（ x 3） 2 4， 该二次函数图象的对称轴是直线 x=3，顶点坐标是（ 3， 4）； （ 3） 6x+5=0， ， ， 当 x 1 或 x 5 时， y 0 【点评】本题考查的是二次函数的三种形式、二次函数的性质，灵活运用配方法把一般式化为顶点式是解题的关键 20已知抛物线 y=2x 3 与 x 轴交于 A， B 两点，点 的左侧 （ 1）求 A， B 两点的坐标和此抛物线的对称轴； 第 21页（共 35页） （ 2）设此抛物线的顶点为 C，点 D 与点 C 关于 x 轴对称，求四边形 面积 【考点】抛物线与 x 轴的交点 【分析】（ 1）令 y=0 解方程即可求得 的横坐标，然后利用配方法即可求得对称轴和顶点坐标； （ 2）首先求得 D 的坐标，然后利用面积公式即可求解 【解答】解： （ 1）令 y=0，则 2x 3=0， 解得： 1， 点 A 在点 B 的左侧 点 A 的坐标是（ 1， 0）， B 的坐标是（ 3， 0） y= 2x 3=（ x 1） 2 4， 抛物线对称轴是 x=1； （ 2） 顶点 C 的坐标是（ 1， 4）， D 与点 C 关于 x 轴对称， D 的坐标是（ 1， 4） （ 1） =4， （ 4） =8， 四边形 面积是： D= 4 8=16 【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式以及配方法确定二次函数的对称轴和顶点坐标，正确求得 A 和 B 的坐标是关键 21某商场将进价为 30 元的书包以 40 元售出，平均每月能售出 600 个，调查表明：这种书包的售价每上涨 1 元，其销售量就减少 10 个 （ 1）请写出每月售出书包的利润 y 元与每个书包涨价 x 元间的函数关 系式，并写出自变量 x 的取值范围； （ 2）如何定价才能获得最大利润，最大利润是多少？ 【考点】二次函数的应用 【分析】（ 1）求得每个书包的利润，及每月可卖出书包的个数，那么利润等于这 2 个量的乘积； （ 2）用配方法求得（ 1）中求得的二次函数的最值即可 【解答】解：（ 1） 每个书包涨价 x 元， 销量为 600 10x， 第 22页（共 35页） 每个书包的利润为 40 30+x， y=（ 40 30+x）（ 600 10x）， = 1000x+6000， 600 10x 0， x 0， 0 x 60； （ 2） y= 1000x+6000= 10（ x 25） 2+12250， a= 10 0， 每个书包涨价 25 元时，利润最大，此时书包的定价为 25+40=65 元 【点评】本题考查了二次函数的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解本题关键是设出上涨 x，而对应的销售就下降 10x 22 三个顶点在 O 上， D 为垂足， E 是 的中点，求证： 1= 2（提示：可以延长 O 于 F，连接 【考点】圆心角、弧、弦的关系 【分析】连接 用垂径定理可得 利用 得 后即可证明 【解答】证明：连接 E 是 的中点， 弧 A， 第 23页（共 35页） 1= 2 【点评】此题主要考查学生对三角形 内角和定理和圆心角、弧、弦的关系等知识点的理解和掌握，此题难度不大，关键是作好辅助线 23如图， O 的一条弦，且 点 C， E 分别在 O 上，且 点 D， E=30 ，连接 （ 1）求 长； （ 2）若 O 的另一条弦，且点 O 到 距离为 ，直接写出 【考点】垂径定理；勾股定理；圆周角定理 【分析】（ 1）根据垂径定理求出 长，根据圆周角定理求出 度数，运用正弦的定义解答即可； （ 2）作 H，根据勾股定理和等腰直角三角形的性质求出 度数，分情况计算即可 【解答】解：（ 1） ， B=2 ， E=30 ， 0 ， 0 ， =4； （ 2）如图， 作 H， ， ， 第 24页（共 35页） 5 ， 5 ， 则 5 ， 度数是 75 或 15 【点评】本题考查的是垂径定理、圆周角定理和勾股定理的应用，掌握垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧、在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键，注意分情况 讨论思想的应用 24已知：如图，以等边三角形 边 直径的 O 与边 别交于点 D、 E，过点 足为 F （ 1）求证： O 的切线； （ 2）若等边三角形 边长为 4，求 长； （ 3）写出求图中阴影部分的面积的思路（不求计算结果） 【考点】切线的判定；等边三角形的性质；扇形面积的计算 【专题】计算题 【分析】（ 1）连接 图，利用等边三角形的性质得到 A= C=60 ，再证明 后利用 得 根据切线的判定定理可判断 O 的切线； （ 2）利用等边三角形的性质得到 C=4， C=60 ，则 ，然后在 利用正弦的定义可计算出 （ 3）连接 图，根据扇形的面积公式，利用 S 阴影部分 =S 梯形 S 扇形 第 25页（共 35页） 【解答】（ 1）证明：连接 图， 等边三角形， A= C=60 ， D， A=60 ， C， O 的切线； （ 2）解： 等边三角形 边长为 4， C=4， C=60 ， D=2， ， 在 ， ， ； （ 3）解：连接 图， ， E ， S 阴影部分 =S 梯形 S 扇形 （ 1+2） = 【点评】本题考查了切线判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线也考查了等边三角形的性质和利用割补法计算补规则图形的面积 第 26页（共 35页） 25已知：抛物线 y= 2m 1） x+1 经过坐标原点，且当 x 0 时， y 随 x 的增大而减小 （ 1）求抛物线的解析式； （ 2）结合图象写出， 0 x 4 时，直接写出 y 的取值范围 y 4 ； （ 3）设点 A 是该抛物线上位于 x 轴下方的一个动点，过点 A 作 x 轴的平行线交抛物线于另一点 D，再作 x 轴于点 B， x 轴于点 C当 时，求出矩形 周长 【考点】二次函数综合题 【分析】（ 1）把（ 0， 0）代入抛物线解析式求出 m 的值，再根据增减性确定 m 的值即可 （ 2）画出函数图象，求出函数最小值以及 x=0 或 4 是的 y 的值 ，由此即可判断 （ 3）由 ， B、 C 关于对称轴对称，推出 B（， 1， 0）， C（ 2， 0），由 x 轴， x 轴，推出 A（ 1， 2）， D（ 2， 2），求出 可解决问题 【解答】解：（ 1） y= 2m 1） x+1 经过坐标原点， 0=0+0+1，即 1=0 解得 m= 1 又 当 x 0 时， y 随 x 的增大而减小， m= 1， 二次函数解析式为 y=3x （ 2）如图 1 中， x=0 时， y=0， y=（ x ） 2 ， x= 时， y 最小值为 ， x=4 时， y=4， 第 27页（共 35页） 0 x 4 时， y 4 故答案为 y 4 （ 3）如图 2 中， ， B、 C 关于对称轴对称， B（， 1， 0）， C（ 2， 0）， x 轴， x 轴， A（ 1， 2）， D（ 2， 2）， C=2， D=1， 四边形 周长为 6， 当 时，矩形的周长为 6 【点评】本题考查二次函数的有关性质、矩形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握配方法确定函数的顶点坐标，学会根据抛物线的对称性解决问题，属于中考常考题型 26阅读下面材料： 如图 1，在平面直角坐标系 ，直线 y1=ax+b 与双曲线 交于 A（ 1， 3）和 B（ 3， 1）两点 观察图象可知： 当 x= 3 或 1 时， y1= 当 3 x 0 或 x 1 时， 通过观察函数的图象，可以得到不等式 ax+b 的解集 有这样一个问题：求不等式 x 4 0 的解集 第 28页（共 35页） 某同学根据学习以上知识的经验，对求不等式 x 4 0 的解集进行了探究 下面是他的探究过程，请将（ 2）、（ 3）、（ 4）补充完整： （ 1）将不等式按条件进行转化： 当 x=0 时，原不等式不成立； 当 x 0 时，原不等式可以转化为 x 1 ； 当 x 0 时，原不等式可以转化为 x 1 ； （ 2）构造函数，画出图象 设 y3=x 1， ，在同一坐标系中分别画出这两个函数的图象 双曲线 如图 2 所示，请在此坐标系中画出抛物线 y3=x 1；（不用列表） （ 3）确定两个函数图象公共点的横坐标 观察所画两个函数的图象，猜想并通过代入函数解析式验证可知：满足 y3=x 的值为 1和 4 ； （ 4）借助图象，写出解集 结合（ 1）的讨论结果，观察两个函数的图象可知：不等式 x 4 0 的解集为 x 1 或 4 x 1 【考点】二次函数与不等式（组） 【分析】（ 2）首先确定二次函数的对称轴，然后确定两个点即可作出二次函数的图象； （ 3）根据图象即可直接求解； 第 29页（共 35页） （ 4）根据已知 不等式 x 4 0 即当 x 0 时， x 1 ，；当 x 0 时， x 1 ，根据图象即可直接写出答案 【解答】解：（ 2） ； （ 3）两个函数图象公共点的横坐标是 1 和 4 则满足 y3=x 的值为 1 和 4 故答案是： 1 和 4； （ 4）不等式 x 4 0 即当 x 0 时， x 1 ，此时 x 的范围是： x 1； 当 x 0 时， x 1 ，则 4 x 1 故答案是： x 1 或 4 x 1 【点评】本题考查了二次函数与不等式，正确理解不等式 x 4 0 即当 x 0 时， x 1 ，；当 x 0 时， x 1 ，分成两种情况讨论是本题的关键 三解答题（共 22 分， 27题 7分， 28题 7分， 29题 8分） 27在 ， 锐角点 D 为射线 一动点，连接 线段 点 A 逆时针旋转90 得到 结 果 C， 0 当点 D 在线段 时（与点 B 不重合），如图 1，请你判断线段 间的位置和数量关系（直接写出结论）； 当点 D 在线段 延长线上时，请你在图 2 画出图形，判断 中的结论是否仍然成立，并证明你的判断 第 30页（共 35页） 【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角 形 【分析】 线段 点 A 逆时针旋转 90 得到 据旋转的性质得到 E， 到 D， B，得到 0 ，于是有 D， 结论仍然成立证明的方法与（ 1）类似 【解答】解： 结论： D， 由如下： 如图 1 中， C， 0 ， 线段