随机变量的数字特征习题课.doc

第12讲 随机变量的数字特征习题课教学目的：掌握随机变量的数字特征，了解切比雪夫不等式和大数定律。教学重点：理解数学期望和方差的概念，掌握它们的性质与计算，熟悉常用分布的数学期望和方差。教学难点：随机变量函数的数学期望。教学时数：2学时教学过程：一、知识要点回顾1. 随机变量的数学期望对离散随机变量 若，则假定这个级数绝对收敛，否则就没有数学期望。对连续随机变量 假定这个广义积分绝对收敛，否则就没有数学期望。2. 随机变量的函数的数学期望，其中为实函数。对离散随机变量 对连续随机变量 假定所涉及的无穷级数绝对收敛，所涉及的广义积分绝对收敛。3. 二维随机变量的函数的数学期望，其中为二元实函数。对离散随机变量 对连续随机变量 假定所涉及的无穷级数绝对收敛，所涉及的广义积分绝对收敛。4. 数学期望的性质（假定所涉及的数学期望都存在）若相互独立，则。若相互独立，则。5. 随机变量的方差，这里假定都存在。6. 方差的性质若相互独立，则。若相互独立，为常数，则。7. 随机变量的阶原点矩 随机变量的阶中心矩 易知，。8. 随机变量与的协方差若，则称与不相关。若随机变量与相互独立，则与一定不相关，反之不成立。9. 随机变量与的相关系数10. 切比雪夫不等式：若随机变量的数学期望与方差存在，则对任意正数有 由切比雪夫不等式可证明切比雪夫定理，进而推出伯努利定理。后面两个定理是常用的大数定律。二 、典型例题解析1.已知随机变量的概率分布为-2010.30.40.3求。分析 由要点2，令，代入公式即可。解 注 计算随机变量函数的数学期望原则上有两种方法：一种是先求出随机变量的概率分布或概率密度，再按数学期望的定义计算；一种是直接带入要点2种所列的公式。通常用后一种方法较简便。2.设二维随机变量的概率密度，求。分析 题中前五项计算均可按要点3所列公式计算，后两项按要点8与9计算。解又 所以按对称性有注 二维随机变量的许多计算都可归结为计算二维随机变量函数的数学期望，所以要点3所列公式应会灵活应用。3.填空(1) 已知，则_。(2) 随机变量相互独立，又，则_，_。(3) 设独立且同分布，则_。(4) 随机变量的方差为2，则根据切比雪夫不等式，估计_。分析 在要点8中取代入公式解答(1)；由已知公式得，在利用方差性质解答(2)；对于(3)，可求出随机变量的概率分布再求，或由都服从“0-1”分布得，再代相应公式；对于(4)，用带入切比雪夫不等式。解(1) (2) (3) 解一 ， 解二 (4) 注 填空主要用于复习概念，熟悉各种计算公式，通常计算量较小。4.一台设备有三大部件构成，在设备运转中各部件需要调整的概率相应为0.1，0.2，0.3，假设各部件相互独立，以表示同时需要调整的部件数，求数学期望和方差。 分析 先引入新随机变量，则,相互独立，利用，完成计算。 解 由服从“0-1”分布，得,故，。 注 利用性质来计算数学期望和方差往往较有效，应该学会这种方法。另外，应记住常用分布相应的数学期望和方差。5.甲乙两队比赛，若有一队先胜四场，则比赛结束。假定甲队在每场比赛中获胜的概率为0.6，乙队为0.4，求比赛场数的数学期望。 分析 可能取值为4,5,6,7，按古典概型计算取各值的概率得到的概率分布，由此算出。解 注 对应用题而言，大量计算是计算概率，这就要求掌握好以前所学过的各种计算概率的方法。6.设随机变量服从分布，其概率密度，其中是常数，求。分析 按定义求，又，计算中涉及函数，。 解 又 故注 分布也是一种常用分布，例如指数分布是的分布，统计中很有用的分布是的分布。7. 设在区域上服从均匀分布，求，。 分析 设区域的面积为，则在上服从均匀分布时，联合概率密度，本题中，所以，接着按要点3计算。 解 注 二维随机变量服从均匀分布也是常见的情形。可以自然的推广到维随机变量服从均匀分布，其联合概率密度写法是类似的。8.计算下列各题(1) 设与相互独立，求.(2) 设与相互独立，其数学期望与方差均为已知值，求分析 根据要点4,5,6中相关公式计算。解 (1) (2) 注 由已知值导出未知值，通常要熟练掌握相关公式。使用公式应注意其成立条件，其中独立性这一条件是很重要的。关于独立性，有以下重要结论：设与相互独立，是连续函数，则与相互独立。本题用到，与相互独立时，与也相互独立，这里，。9. 设二维随机变量的概率密度，试问：(1) 与是否相互独立？(2) 是否相关？ 分析 根据是否成立回答(1)；根据是否成立回答(2)。 解 (1) 的边际概率密度分别为 ， ，由于，所以与不相互独立。 (2) ， （利用奇函数性质）， ， 所以，与不相关。三、 总结随机变量的分布函数完整的描述随机变量的统计特征，但在实际中要找出随机变量的分布函数，或概率分布、概率密度，有时是十分困难的。而许多实际问题只需要知道随机变量的某些特征数字就可以了。这说明掌握特征数字、即数学期望、