2020版高考数学复习计数原理、概率、随机变量及其分布第6讲几何概型讲义理（含解析）.docx

第6讲几何概型考纲解读1.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率2.了解几何概型的意义，并能求与长度或面积有关的几何概型的概率(重点) 考向预测从近三年高考情况来看，本讲是高考的热点之一. 预测2020年将会考查：与长度有关的几何概型，常与函数、不等式、向量结合；与面积有关的几何概型，常涉及线性规划、定积分等内容. 题型为客观题，试题难度不大，属中、低档试题.1几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，那么称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型2几何概型的两个基本特点3几何概型的概率公式P(A).1概念辨析(1)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率()(2)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关()(3)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等()(4)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形()答案(1)(2)(3)(4) 2小题热身(1)有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一个玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是()答案A解析如题干选项中图，各种情况的概率都是其面积比，中奖的概率依次为P(A)，P(B)，P(C)，P(D)，所以P(A)P(C)P(D)P(B)故选A.(2)(2016全国卷)某公司的班车在7：30,8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是()A. B. C. D.答案B解析解法一：7：30的班车小明显然是坐不到的当小明在7：50之后8：00之前到达，或者8：20之后8：30之前到达时，他等车的时间将不超过10分钟，故所求概率为.故选B.解法二：当小明到达车站的时刻超过8：00，但又不到8：20时，等车时间将超过10分钟，7：508：30的其他时刻到达车站时，等车时间将不超过10分钟，故等车时间不超过10分钟的概率为1.故选B.(3)如图所示，在直角坐标系内，射线OT落在30角的终边上，任作一条射线OA，则射线OA落在yOT内的概率为_答案解析根据题图，因为射线OA在坐标系内是等可能分布的，所以OA落在yOT内的概率为.(4)如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱锥AA1BD内的概率为_答案解析设事件M为“动点在三棱锥AA1BD内”，则P(M).题型 与长度(角度)有关的几何概型1在区间0,2上随机地取一个数x，则事件“1log1”发生的概率为()A. B. C. D.答案A解析不等式1log1可化为log2loglog，即x2，解得0x，故由几何概型的概率公式得P.2如图，在等腰直角三角形ABC中，过直角顶点C作射线CM交AB于点M，则使得AM小于AC的概率为_答案解析当AMAC时，ACM为以A为顶点的等腰三角形，ACM67.5.当ACM67.5时，AMAC，所以AM小于AC的概率P.条件探究1把举例说明1的条件“1log1”改为“使函数y有意义”，试求其概率解由log(4x3)0得04x31，即x，由几何概型的概率公式，得P.条件探究2把举例说明1的条件“1log1”改为“224”，试求其概率解由224得1x2，即x，由几何概型的概率公式，得P.1与长度有关的几何概型(1)如果试验结果构成的区域的几何度量可用长度表示，则其概率的计算公式为P(A).(2)与时间、不等式及其解有关的概率问题与时间、不等式及其解有关的概率问题可依据转化与化归思想将其转化为与长度有关的几何概型，利用几何概型求解2与角度有关的几何概型当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，应以角的大小作为区域度量来计算概率，且不可用线段的长度代替，这是两种不同的度量手段 1已知函数f(x)x33x2，在区间(2,5)上任取一个实数x0，则f(x0)0的概率为_答案解析因为f(x)3x26x3x(x2)，所以由f(x0)0，解得0x02.由几何概型的概率计算公式得f(x0)0的概率P.2如图，四边形ABCD为矩形，AB，BC1，以A为圆心，1为半径作四分之一个圆弧，在DAB内任作射线AP，则射线AP与线段BC有公共点的概率为.答案解析因为在DAB内任作射线AP，则等可能基本事件为“DAB内作射线AP”，所以它的所有等可能事件所在的区域是DAB，当射线AP与线段BC有公共点时，射线AP落在CAB内，区域为CAB，所以射线AP与线段BC有公共点的概率为.题型 与面积有关的几何概型角度1与随机模拟相关的几何概型1(2016全国卷)从区间0,1随机抽取2n个数x1，x2，xn，y1，y2，yn，构成n个数对(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为()A. B. C. D.答案C解析如图，数对(xi，yi)(i1,2，n)表示的点落在边长为1的正方形OABC内(包括边界)，两数的平方和小于1的数对表示的点落在半径为1的四分之一圆(阴影部分)内，则由几何概型的概率公式可得.故选C.角度2与平面图形面积有关的问题2(2018全国卷)右图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC.ABC的三边所围成的区域记为，黑色部分记为，其余部分记为.在整个图形中随机取一点，此点取自，的概率分别记为p1，p2，p3，则()Ap1p2 Bp1p3Cp2p3 Dp1p2p3答案A解析不妨取ABAC2，则BC2，所以区域的面积为SABC2；区域的面积为2；区域的面积为(2)2，所以根据几何概型的概率公式，易得p1p2，故选A.角度3与线性规划有关的几何概型3在区间0,1上任取两个数，则这两个数之和小于的概率是()A. B. C. D.答案C解析设这两个数分别是x，y，则总的基本事件构成的区域是确定的平面区域，所求事件包含的基本事件构成的区域是确定的平面区域，如图所示(阴影部分)，阴影部分的面积是12，所以这两个数之和小于的概率是.角度4与定积分有关的几何概型4(2015福建高考)如图，点A的坐标为(1,0)，点C的坐标为(2,4)，函数f(x)x2.若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于_答案解析由题图可知S阴影S矩形ABCDx2dx144，则所求事件的概率P.1与平面几何、解析几何等知识交汇问题的解题思路利用平面几何、解析几何等相关知识，先确定基本事件对应区域的形状，再选择恰当的方法和公式，计算出其面积，进而代入公式求概率见举例说明1、2.2与线性规划交汇问题的解题思路先根据约束条件作出可行域，再确定形状，求面积大小，进而代入公式求概率见举例说明3.3与定积分交汇问题的解题思路先确定基本事件对应区域的形状构成，再将其面积转化为某定积分的计算，并求其大小，进而代入公式求概率见举例说明4.1(2017全国卷)如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是()A. B. C. D.答案B解析不妨设正方形ABCD的边长为2，则正方形内切圆的半径为1，S正方形4.由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，得S黑S白S圆，所以由几何概型知所求概率P.故选B.2(2018枣庄二模)七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形(两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形)、一块正方形和一块平行四边形组成的如图是一个用七巧板拼成的正方形，在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率是()A. B. C. D.答案C解析把图中阴影正方形分割后，移成如图所示，观察图形可知此点取自阴影部分的概率是.3如图，矩形ABCD的四个顶点的坐标分别为A(0，1)，B(，1)，C(，1)，D(0,1)，正弦曲线f(x)sinx和余弦曲线g(x)cosx在矩形ABCD内交于点F，向矩形ABCD区域内随机投掷一点，则该点落在阴影区域内的概率是()A. B. C. D.答案B解析由题图可知矩形ABCD的面积为2，由sinxcosx得xF，故阴影部分的面积为所以点落在阴影区域内的概率P.4已知向量a(2,1)，b(x，y)若x1,2，y1,1，求向量a，b的夹角是钝角的概率解设“a，b的夹角是钝角”为事件B，由a，b的夹角是钝角，可得ab0，即2xy0，且x2y.基本事件为所表示的区域，B，如图，区域B为图中阴影部分去掉直线x2y0上的点，所以，P(B)，即向量a，b的夹角是钝角的概率是.题型 与体积有关的几何概型某个四面体的三视图如图所示，若在该四面体的外接球内任取一点，则点落在四面体内的概率为()A. B. C. D.答案C解析由三视图可知该立体图形为三棱锥，其底面是一个直角边长为3的等腰直角三角形，高为4，所以该三棱锥的体积为12，又外接球的直径2r为以三棱锥的三个两两垂直的棱为长方体的对角线，即2r2，所以球的体积为，所以点落在四面体内的概率为.与体积有关的几何概型问题如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用空间几何体的体积表示，则其概率的计算公式为：P(A).求解的关键是计算