数电(北航出版社)第2章.ppt

第二章 逻辑函数及其化简,2-1 逻辑代数基础 2-2 逻辑代数的基本公式和规则 2-3 逻辑函数与逻辑表达式 2-4 逻辑图 2-5 逻辑函数的卡诺图化简 2-6 小结,讨论二值函数的表示和处理方法。,一、逻辑函数的基本概念 二、逻辑代数的基本运算 三、逻辑代数的复合运算,2-1 逻辑代数基础,逻辑量： 取值为“0”或“1”，0和1没有大小之分，只表示两种不同的状态。 逻辑函数： 描述输出逻辑量和输入逻辑量之间的关系。 逻辑函数的描述： 逻辑表达式、真值表、逻辑图、卡洛图、波形图等。,一、逻辑函数的基本概念,二、布尔代数的基本运算,1、与运算,开关：0分、1合 灯： 0灭、1亮,2、或运算,3、非运算,三、逻辑代数复合运算,与非门 或非门 与或非门,1、与非、或非、与或非,2、异或、同或,异或门 同或门,F=AB,一、基本公式 二、常用规则 三、逻辑函数化简,2-2 逻辑代数的基本公式和规则,注意运算次序：先与后或。,一、基本公式,1、公式的证明,2、异或、同或计算公式,注意运算次序：先与后异或。,3、展开公式,二、常用规则,逻辑等式中任一变量x以函数z代替，所得新等式仍然成立。 例：用代入规则推广摩根定律。,1、代入规则,2、反演规则,设x为原变量，称 为反变量，设z为原函数，称 为反函数。设 F 是一逻辑表达式，若把 F中所有的 变成，变成 ；1变成0，0变成1；原变量变成反变量，反变量变成原变量，则构成的新表达式为原函数 F 的反函数 。,用反演规则求反函数,用反演规则求反函数时，不能改变运算次序； 运算次序：先括号、然后与、最后或； 不属于单变量上的非号保留不变。,3、对偶规则,对偶式：设F是一逻辑表达式，若把F中所有的 变成，变成 ；1变成0，0变成1，则构成的新表达式为F的对偶式FD。 对偶规则：若逻辑等式成立，则其对偶式也成立。,用对偶规则求对偶式,求对偶式时，不能改变运算次序，式中非号保持不变。,三、逻辑函数的代数法化简,与或式（积之和式）： 逻辑表达式为几个与项的和。 或与式（和之积式）： 逻辑表达式为几个或项的积。 最简与或式： 与或式中与项最少，与项中变量最少。 最简或与式： 或与式中或项最少，或项中变量最少。 化简： 把逻辑表达式变换成最简与或式或最简或与式。,代数法化简方法,计算公式和三个规则化简逻辑函数。,代数法化简举例（1）,代数法化简举例（2）,代数法化简举例（3）,代数法化简举例（4）,公式法化简的缺点： 不直观，要求经验、技巧较高，难以判断是否最简。,一、逻辑函数的表示方法 二、与或式与最小项表达式 三、或与式与最大项表达式 四、最小项和最大项的性质 五、最小项表达式和最大项表达式的关系,2-3 逻辑函数和逻辑表达式,逻辑函数的表示方法有真值表、表达式、逻辑图、卡洛图、波形图等，本小节讨论真值表和表达式。,一、逻辑函数的表示方法,例1：奇偶判别电路。输入A、B、C，当输入有奇数个1时输出F=1。,例2：三人表决电路,例3：报警电路,当开关有两个以上闭合时，警灯亮。,例4：一位全加器,例5：多路开关,与或式： 逻辑表达式为几个与项的和称为与或式，又称为积之和表达式。 最小项： 在一个n个自变量的逻辑函数中，包含n个变量的积项称为最小项，共有k=2 n个最小项，为m0mk-1。 最小项表达式： 当与或式中所有与项为最小项时称为最小项表达式。,二、与或式与最小项表达式,1、三变量的最小项真值表,2、最小项与真值表的关系,逻辑函数的最小项表达式是唯一的。,3、与或式和最小项表达式的关系,三、或与式和最大项表达式,或与式： 逻辑表达式为几个或项的积称为或与式，又称为和之积表达式。 最大项： 在一个n个自变量的逻辑函数中，包含n个变量的或项称为最大项。 最大项表达式： 当或与式中所有或项为最大项时称为最大项表达式。,1、三变量的最大项真值表,2、最大项与真值表的关系,逻辑函数的最大项表达式是唯一的。,3、或与式和最大项表达式的关系,四、最小项与最大项的性质,1、所有最小项之和恒为1； 2、任意两个不同最小项之积恒为0； 3、所有最大项之积恒为0； 4、任意两个不同最大项之和恒为1； 5、标号相同的最大项和最小项互为反函数 。,五、最小项表达式与最大项表达式的关系,说明原函数、反函数的最小项表达式和最大项表达式之间的问题。,2-4 逻辑图,逻辑图是描述逻辑函数的另一方式，数字电路设计就是从电路功能要求导出逻辑图的过程，数字电路分析就是从已知的逻辑图求出电路功能的过程。,分析： 逻辑图表达式真值表总结逻辑功能 设计： 文字描述真值表、表达式化简逻辑图,逻辑图与表达式的关系,与或式对应与-或和与非-与非逻辑图； 或与式对应或-与和或非-或非逻辑图。,例1、半加器的设计,例2、报警电路的设计,例3、分析以下电路,逻辑功能：异或门,例4：分析电路,例4：分析电路（续）,逻辑功能：全加器,2-5 逻辑函数的卡诺图化简,一、卡洛图的构成 二、用卡诺图表示逻辑函数 三、用卡诺图化简逻辑函数 四、未完全规定的逻辑函数及其化简,一、卡诺图的构成,五变量卡诺图,二、用卡诺图表示逻辑函数,1、由真值表到卡洛图 真值表中一行对应卡洛图中一个小方格。 2、由最小项表达式、最大项表达式到卡洛图 最小项在对应小方格中填1； 最大项在对应小方格中填0。,3、由与或式到卡诺图,在n个变量的函数中，若某与项含k个变量，则对应卡洛图中2n-k个相邻的小方格。,由与或式到卡诺图（2）,4、由或与式到卡诺图,由或与式到卡诺图（2）,三、用卡诺图化简逻辑函数,1、卡诺图化简原理,2、卡诺图化简步骤,、填写卡诺图 、画卡诺圈 卡诺圈内正好有2n个相临的小方格，而且每个小方格内都为1(0)； 卡诺圈应尽可能大，使积(和)项中变量最少； 卡洛图中所有的1(0)至少圈一次，卡诺圈尽可能少。 、写表达式 一个卡诺圈对应一个积(和)项，把所有的积(和)项相或(与)得到最简与或(或与)式。,3、求最简与或式,4、求最简或与式,逻辑函数的最简式不是唯一的。,化简举例1,化简举例1（续）,化简举例2,四、未完全规定的逻辑函数及其化简,1、未完全规定的逻辑函数,未完全规定逻辑函数产生的原因：函数自变量的某些输入组合不会出现，或某些输入组合的输出任意取0或1都不会影响系统的正常工作，一般称其为任意项。,完全规定逻辑函数：对于自变量的所有取值组合，函数值都有确定的值（0或1）。,未完全规定逻辑函数：对于自变量的某些取值组合，函数值不作规定，可以是0也可以是1。不作规定的这些取值组合称为无关项、任意项或约束项，其函数值记为x或。,2、未完全规定逻辑函数的描述,例：判断1位8421BCD码中1的个数是否为偶数。,3、未完全规定的逻辑函数化简,例1：,例2：P55 作业 2.20- ,1、逻辑函数的描述 真值表：唯一的。 卡诺图：唯一的，用于逻辑函数化简。 表达式：与或式(不唯一)、或与式(不唯一) 、最小项表达式(唯一) 、最大项表达