2019高中数学第二章夹角的计算2.5.3直线与平面的夹角课后训练案巩固提升（含解析）北师大版.docx

5.3直线与平面的夹角课后训练案巩固提升1.下列有关角的说法正确的是()A.异面直线所成的角的范围是B.两平面的夹角可以是钝角C.斜线和平面所成角的范围是D.直线与平面的夹角的取值范围是解析:异面直线所成的角的范围是,A错;两平面的夹角的范围是,B错;斜线与平面所成角就是斜线与平面的夹角,规定斜线和平面所成角的范围是,C错;而直线与平面的夹角的取值范围是,D对.答案:D2.已知在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于()A.B.C.D.解析:以D为坐标原点,建立空间直角坐标系,如图.设AA1=2AB=2,则D(0,0,0),C(0,1,0),B(1,1,0),C1(0,1,2),则=(0,1,0),=(1,1,0),=(0,1,2).设平面BDC1的法向量为n=(x,y,z),则n,n,所以有令y=-2,得平面BDC1的一个法向量为n=(2,-2,1).设CD与平面BDC1所成的角为,则sin =|cos|=.答案:A3.在三棱柱ABC-A1B1C1中,各棱长相等,侧棱垂直于底面,点D是侧面BB1C1C的中心,则AD与平面BB1C1C夹角的大小是()A.B.C.D.解析:如图,取BC的中点E,连接DE,AE,AD,依题意知三棱柱为正三棱柱,易得AE平面BB1C1C,故ADE为AD与平面BB1C1C的夹角.设各棱长为1,则AE=,DE=,所以tanADE=,所以ADE=,故选C.答案:C4.如图,在四棱锥P-ABCD中,PD底面ABCD,四边形ABCD为正方形,且PD=AB=1,G为ABC的重心,则PG与底面ABCD所成的角满足()A.=B.cos =C.tan =D.sin =解析:建立如图所示的空间直角坐标系,则P(0,0,1),A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),所以G.又平面ABCD的一个法向量为n=(0,0,1),则cos=-,所以PG与平面ABCD所成角的余弦值为.答案:B5.若平面的一个法向量为n=(4,1,1),直线l的方向向量为a=(-2,-3,3),则l与夹角的余弦值为.解析:cos=,l与夹角的余弦值为.答案:6.如图,ABCD是边长为3的正方形,DE平面ABCD,AFDE,DE=3AF,BE与平面ABCD的夹角为,则平面FBE与平面DBE夹角的余弦值是.解析:因为DA,DC,DE两两垂直,所以建立空间直角坐标系D-xyz,如图所示.因为BE与平面ABCD的夹角为,即DBE=,所以.由AD=3可知DE=3,AF=,则A(3,0,0),F(3,0,),E(0,0,3),B(3,3,0),C(0,3,0).所以=(0,-3,),=(3,0,-2).设平面BEF的法向量为n=(x,y,z),则令z=,则n=(4,2,).由题意知AC平面BDE,所以为平面BDE的法向量,=(3,-3,0).所以cos=.故由题意知平面FBE与平面DBE夹角的余弦值为.答案:7.如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,侧面SBC底面ABCD.已知ABC=45,AB=2,BC=2,SA=SB=.(1)求证:SABC;(2)求直线SD与平面SAB夹角的正弦值.(提示:用向量法求解)(1)证明如图,作SOBC,垂足为O,连接AO.由侧面SBC底面ABCD,得SO平面ABCD.因为SA=SB,所以AO=BO.又ABC=45,故AOB为等腰直角三角形,且AOOB.如图,以O为坐标原点,OA为x轴正向,OB为y轴正向,OS为z轴正向,建立空间直角坐标系O-xyz,则A(,0,0),B(0,0),C(0,-,0),S(0,0,1),所以=(,0,-1),=(0,2,0).所以=0.所以SABC.(2)解如上图,取AB的中点E.连接SE,取SE的中点G,连接OG,则.所以=0,=0,即OG与平面SAB内两条相交直线SE,AB垂直,所以OG平面SAB.将的夹角记为,SD与平面SAB的夹角记为,则与互余.因为D(,-2,0),所以=(-,2,1),所以cos =,所以sin =.所以直线SD与平面SAB夹角的正弦值为.8.导学号90074044如图,在四棱锥P-ABCD中,PA平面ABCD,底面ABCD是菱形,AB=2,BAD=60.(1)求证:BD平面PAC;(2)若PA=AB,求PB与平面PAC所成角的余弦值;(3)若PA=4,求平面PBC与平面PDC所成角的余弦值.解(1)因为底面ABCD是菱形,所以BDAC.又PA平面ABCD,所以BDPA.又PAAC=A,所以BD平面PAC.(2)设BDAC=O,连接PO,由(1)可知BPO即为PB与平面PAC所成的角.因为PA=AB=2,所以PB=2.又BAD=60,所以OB=BD=1,所以cosBPO=,所以PB与平面PAC所成角的余弦值为.(3)以BD与AC的交点O为坐标原点,OB为x轴,OC为y轴,过点O且垂直于平面ABCD的直线为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.由已知可得,AO=OC=,OD=OB=1,所以P(0,-,4),B(1,0,0),C(0,0),D(-1,0,0),=(0,2,-4),=(-1,0),