苏XI友无密码课件第5章代数系统的一般性质.ppt

Chap.5 代数系统的一般性质,代数系统又称近世代数、抽象代数. 19世纪的数学家认识到, 对许多不相“联系”的代数抽出它们的共同的内容进行综合研究, 可以发现它们具有统一的形式, 即: (1)它们都是由一些元素或对象组成的集合; (2)服从一种或几种运算; (3)这些运算的特性仅仅由某些抽象的性质决定; (4)运算的结果是该集的元素. 因此, 所谓代数系统就是由集合和定义其上的一个或多个运算所组成的系统, 简称为代数.,北京林业大学信息学院 苏喜友,1,Chap.5 代数系统的一般性质,代数系统是一种数学结构, 它由集合、关系、运算、公理、定义、定理和算法所组成. 它是应用抽象的方法, 研究我们将要处理的数学对象集合上的关系或运算(运算也是一种关系). 事物间的关系就是事物的结构, 所以代数系统又称为代数结构.,北京林业大学信息学院 苏喜友,2,Chap.5 代数系统的一般性质,近世代数的应用十分广泛, 它不仅是数学专业的一些分支, 如数论、范畴论等的基础, 也是其它专业, 如原子物理、系统工程等所必需. 在计算机和信息科学中, 近世代数是重要的数学工具. 如: 描述机器可计算的函数、研究算术计算的复杂性、刻画抽象的数据结构、作为程序设计语言的语义学基础、逻辑电路设计和编码理论等, 都需要代数知识. 因此, 代数的概念和基本方法, 已成为这一领域中科技人员必须掌握的基本工具.,北京林业大学信息学院 苏喜友,3,Chap.5 代数系统的一般性质,1二元运算及其性质 2代数系统及其子代数 3代数系统的同态与同构,北京林业大学信息学院 苏喜友,4,1 二元运算及其性质,一、二元运算的定义 在给出一般的代数运算定义之前, 先看下面两例： Exp.1 设Z是整数集合, 考虑Z中的普通加法运算+, 则对于Z中的任意两个数a和b, 根据数的加法运算法则, 可得Z中唯一一个整数c作为a+b的结果. 通常记作c=a+b. Exp.2 设Mn(R)是全体n阶实数矩阵的集合, 考虑Mn(R)中的普通的矩阵乘法, 则A,BMn(R),根据乘法运算法则, 可得Mn(R)中唯一一个n阶实矩阵C作为A乘B的结果. 记作C=AB.,北京林业大学信息学院 苏喜友,5,1 二元运算及其性质,Def.1 设S是一个非空集合, S2=SS到S的一个映射(或函数)f:S2S称为S上的一个二元代数运算, 简称二元运算. S到S的映射f:SS称为集合S上的一元代数运算, 简称一元运算. 我们可以将一元运算、二远运算的概念推广到一般的n元运算.,北京林业大学信息学院 苏喜友,6,1 二元运算及其性质,Def.2 设S是一个非空集合, Sn到S的一个映射(或函数)f:SnS称为S上的一个n元代数运算, 简称n元运算. n称为运算的阶或秩, f称为运算符. f为S上的n元运算应满足以下两个条件: (1)x1,x2,xnS, f(x1,x2,xn)都要有定义,即f是全函数; (2)x1,x2,xnS, 运算结果f(x1,x2,xn)是唯一的, 且都是集合S中的元素, 即S对于运算f是封闭的.,北京林业大学信息学院 苏喜友,7,1 二元运算及其性质,Def.3 设S是一个非空集合, Sn到S的一个映射(或函数)f:SnS, 若f(Sn)S, 则称映射f关于集合S是封闭的(closed)或称S对f是封闭的. n元运算的一个重要特性就是运算的封闭性, 即只要f是集合S上的n元运算, 则f关于S是封闭的; 反之, 只要f是关于S封闭的函数, 则f是S上的n元运算. 从本质上讲, 集合S上的n元运算就是从Sn到S的一个特定函数. 因此, 看一个函数是否为n元运算只需看它是否是封闭的即可.,北京林业大学信息学院 苏喜友,8,1 二元运算及其性质,Exp.3 (1),是N上的二元运算, 但,不是. (2),都是Z和R上的二元运算, 但不是. (3),都是非零实数集R*上的二元运算, 而,不是. 因为两个非零实数相加或相减可能为0. (4)设A为任意集合, 则,为P(A)上的二元运算. 是P(A)上的一元运算. (5), 为命题公式集合上的二元运算, 而是该集合上的一元运算. (6)矩阵加法和乘法为Mn(R)上的二元运算, 但不是全体实矩阵集合上的二元运算. (7)函数的复合运算为AA上的二元运算. 设B是A上的所有双射函数的集合, 则函数的逆运算是B上的一元运算.,北京林业大学信息学院 苏喜友,9,1 二元运算及其性质,为了与一般的函数相区别, 通常用、等表示运算的符号, 称为算符. 设f:SSS是S上的二元运算, 对任意的 x,yS, 如果x与y的运算结果是z, 即 f(x,y)=z, 利用算符可简记为 xy=z. 有时为了方便起见, 在不致引起混淆的情况下, 可将算符省略, 直接记为 xy=z, 读作“x乘y”.,北京林业大学信息学院 苏喜友,10,1 二元运算及其性质,Exp.4 设R为实数集合, 定义R上的二元运算: x,yR, 有xy=x. 计算34, (-5)0.2, 01/2. 解. 34=3, (-5)0.2=-5, 01/2=0. 对于有限集合上的一元和二元运算除了可使用函数f的表达式给出以外, 还可以使用运算表给出.,北京林业大学信息学院 苏喜友,11,1 二元运算及其性质,Exp.5 设A=1,2, 给出P(A)上的运算和的运算表. 其中全集为A. 解.P(A)=,1,2,1,2. 和的运算表为:,北京林业大学信息学院 苏喜友,12,1 二元运算及其性质,Exp.6 设S=1,2,3,4, 定义S上的二元运算如下: xy=(xy)mod5,x,yS. 求的运算表. 解. 运算表如下:,北京林业大学信息学院 苏喜友,13,1 二元运算及其性质,二、二元运算的性质及特殊元素 对于给定的集合S, S上可以存在许多二元运算.但是, 其中只有一小部分具有良好性质的才有实际意义. 下面定义二元运算的一些重要的性质. Def.4 设是集合S上的二元运算, 如果对于任意的x,yS都有 xy=yx, 则称运算在S上是可交换的(Commutative), 也称满足交换律(Commutative Law). 例如, R:,满足交换律, 但R:是不可交换的. Mn(R):满足交换律, 但Mn(R):不满足交换律.,北京林业大学信息学院 苏喜友,14,1 二元运算及其性质,Def.5 设是集合S上的二元运算, 如果对于任意的x,y,zS都有 (xy)z=x(yz), 则称运算在S上是可结合的(Associative), 也称满足结合律(Associative Law). 例如, R:,满足结合律, 但R:和R:不满足结合律; Mn(R):,满足结合律. P(S):,满足结合律, 但P(S):不满足结合律. G:,满足结合律, 但G:不满足结合律.,北京林业大学信息学院 苏喜友,15,1 二元运算及其性质,若运算在集合S上是可结合的, 则 (xy)z=x(yz)=xyz. 用归纳法可以证明:若二元运算在集合S上是可结合的, 则对任意n个元素x1,x2,xnS, 运算也是可结合的, 此时可省略括号, 记为 x1x2xn. 又若x1=x2=xn=x, 则x1x2xn=xn, 称为元素x的n次幂(Power). 易证: m,nN和xS, 有 xmxn=xm+n, (xm)n=xmn.,北京林业大学信息学院 苏喜友,16,1 二元运算及其性质,Def.6 设和是集合S上的两个二元运算, 如果对于任意的x,y,zS都有 x(yz)=(xy)(xz), (1) (yz)x=(yx)(zx), (2) 则称运算对是可分配的(Distributive), 也称对满足分配律(Distributive Law).若上述两式分别只有(1)或(2)式成立, 这时我们分别称对是左可分配的(Left Distributive)或右可分配的(Right Distributive). 例如, R:对满足分配律, 但对不满足分配律. Mn(R):对满足分配律, 但对不满足分配律. P(S):和相互可分配, G:和也是相互可分配.,北京林业大学信息学院 苏喜友,17,1 二元运算及其性质,Def.7 设和是集合S上的两个可交换的二元运算, 如果对任意的x,yS都有 x(xy)=x, x(xy)=x, 则称和满足吸收律(Absorption Law). 例如, P(S):和满足吸收律. G:和也满足吸收律. 应该指出, 对于一些运算律的验证, 通常是非常困难的, 一般只能对于具体对象进行验证.,北京林业大学信息学院 苏喜友,18,1 二元运算及其性质,下面考虑二元运算的特殊元素. Def.8 设是集合S上的二元运算. (1)如果存在元素eS, 使得对任意xS都有ex=x, 则称e是S中关于运算的一个左幺元(Left Identity Element)或左单位元(Left Unit Element); (2)如果存在元素erS, 使得对任意xS都有xer=x,则称er是S中关于运算的一个右幺元(Right Identity Element)或右单位元(Right Unit Element); (3)如果存在元素eS, 使得对任意xS都有ex=xe=x, 则称e是S中关于运算的一个幺元(Identity Element)或单位元(Unit Element).,北京林业大学信息学院 苏喜友,19,1 二元运算及其性质,例如, N,Z,R:的幺元是0, 的幺元是1. Mn(R):的幺元是0n,的幺元是In. P(S):和的幺元是, 的幺元是S. G:幺元的是0, 的幺元是1. 对于给定的集合及该集合上的二元运算, 有的运算存在幺元, 有的运算不存在幺元. 例如, R:就不存在幺元.,北京林业大学信息学院 苏喜友,20,1 二元运算及其性质,Def.9 设是集合S上的二元运算. (1)如果存在元素S, 使得对任意xS都有x=, 则称是S中关于运算的一个左零元(Left Zero Element); (2)如果存在元素rS, 使得对任意xS都有xr=r, 则称r是S中关于运算的一个右零元(Right Zero Element); (3)如果存在元素S, 使得对任意xS都有x=x=, 则称是S中关于运算的一个零元(Zero Element).,北京林业大学信息学院 苏喜友,21,1 二元运算及其性质,例如, N,Z,R:的零元是0, 而没有零元. Mn(R):的零元是0n, 而没有零元. P(S):的零元是S, 的零元是. G:的零元是1, 的零元是0. 显然, 有的二元运算存在零元, 有的二元运算不存在零元.,北京林业大学信息学院 苏喜友,22,1 二元运算及其性质,Def.10 设是集合S上的二元运算, e是S中关于的幺元, 元素xS, 若存在一元素yS使得 (1)yx=e, 则称x是左可逆的(Left Invertible),并称y是x的一个左逆元(Left Inverse Element),记为x; (2)xy=e, 则称x是右可逆的(Right Invertible),并称y是x的一个右逆元(Right Inverse Element),记为xr ; (3)xy=yx=e, 则称x是可逆的(Invertible),并称y是x的一个逆元(Inverse Element),记为x-1. 由定义, 显然, x与x-1互为逆元.,-1,-1,北京林业大学信息学院 苏喜友,23,1 二元运算及其性质,例如, N:的幺元e=0, 0-1=0, 其它自然数都无逆元; 的幺元e=1, 1-1=1, 其它自然数都无逆元. Z:的幺元e=0, xZ, x-1=-x; 的幺元e=1, 1-1=1, (-1)-1=-1, 其它整 数都无逆元. R:的幺元e=0, xR, x-1=-x; 的幺元e=1, 0无逆元, xR, x0, x-1=1/x. R*:无幺元, 从而每个非零实数都无逆元; 的幺元e=1, xR*, x-1=1/x.,北京林业大学信息学院 苏喜友,24,1 二元运算及其性质,Mn(R): 的幺元e=0n, MMn(R), M-1=-M; 的幺元e=In, MMn(R), 当|M|0, M的逆元为M-1. P(S):的幺元e=S, S-1=S, 其它元素都不存在逆元; 的幺元e=,-1=, 其它元素都不存在逆元. 对于给定集合上的二元运算, 逆元和幺元、零元不同. 如果幺元或零元存在, 则幺元或零元一定是唯一的. 而逆元是与集合中的某个元素有关, 有的元素有逆元,有的元素无逆元, 不同的元素对应着不同的逆元, 而且一个元素的逆元也可能不唯一.,北京林业大学信息学院 苏喜友,25,1 二元运算及其性质,Exp.7 设A=a,b,c,d, 在A上定义二元运算如右表, 求A中关于运算的幺元及每个元素的逆元. 解. 由表易知: a是幺元, 因此a-1=a.,b的左逆元为c,d, 右逆元为c, 所以b-1=c. c的左逆元和右逆元均为b,c, 因此, c-1=b, c-1=c. d的右逆元为b, 但无左逆元, 从而d无逆元.,北京林业大学信息学院 苏喜友,26,1 二元运算及其性质,Th.1 设是集合S上的二元运算. (1)若S中存在关于运算的左幺元e和右幺元er,则有 e=er=e, 且e是S中关于运算的唯一幺元; (2)若S中存在关于运算的左零元和右零元r,则有 =r=, 且是S中关于运算的唯一零元; (3)若S中存在关于运算的幺元e, 且可结合, 元素xS存在左逆元x 和右逆元xr , 则有 x =xr =x , 且x 是x的唯一逆元.,-1,-1,-1,-1,-1,-1,北京林业大学信息学院 苏喜友,27,1 二元运算及其性质,证.(1)因为e和er分别是S中关于运算的左幺元 和右幺元, 则 eer=er, eer=e, 所以, e=er. 令e=er=e, 即e是幺元, 又若e也是S中关于的 幺元, 则 ee=e, ee=e, 所以, e=e, 即e是唯一的.,北京林业大学信息学院 苏喜友,28,1 二元运算及其性质,(2)因为和r分别是S中关于运算的左零元和 右零元, 则 r=r, r=, 所以, =r. 令=r=, 即是零元, 又若也是S中关于的 零元, 则 =, =, 所以, =, 即是唯一的.,北京林业大学信息学院 苏喜友,29,1 二元运算及其性质,(3)因为x 和xr 分别是S中元素x关于运算的左 逆元和右逆元, 则 x x=e, xxr =e, 所以, x =x e=x (xxr )=(x x)xr =exr =xr . 令x =xr =x-1,因此x有逆元x-1.又若y也是x的 逆元, 则 xy=yx=e, 所以, y=ye=y(xx-1)=(yx)x-1=ex-1=x-1. 故, x-1是x的唯一逆元.,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,北京林业大学信息学院 苏喜友,30,1 二元运算及其性质,推论. 设集合S上的二元运算是可结合的, 且有幺元e存在, 若元素x,yS的逆元分别为x-1和y-1, 则xy存在逆元, 且(xy)-1=y-1x-1. 证.由逆元定义, 有 xx-1=x-1x=e, yy-1=y-1y=e, 则 (xy)(y-1x-1)=x(yy-1)x-1 =xex-1=xx-1=e, (y-1x-1)(xy)=y-1(x-1x)y =y-1ey=y-1y=e. 所以, (xy)-1=y-1x-1.,北京林业大学信息学院 苏喜友,31,1 二元运算及其性质,Def.11 设是定义在集合S上的二元运算, 若元素aS, 使得aa=a, 则称a是S中关于的一个幂等元(Idempotent Element), 简称a为幂等元. 若S中每一个元素都是幂等元, 则称在S中是幂等的(Idempotent)或称满足幂等律(Idempotent Law). 显然, 幺元和零元都是幂等的. 例如, P(S):和满足幂等律. G:和满足幂等律. R:max(x,y)和min(x,y)满足幂等律. Z+:无幂等元.,北京林业大学信息学院 苏喜友,32,1 二元运算及其性质,Exp.8 实数集合R上定义二元运算为 xy=x+y-xy,x,yR, 讨论运算是否可交换、可结合, 并求幺元、零元、 幂等元和所有可逆元素的逆元. 解.对x,yR, 有 xy=x+y-xy=y+x-yx=yx, 所以可交换. 对x,y,zR, 有 (xy)z=(x+y-xy)z=x+y-xy+z-(x+y-xy)z =x+y+z-xy-xz-yz+xyz, x(yz)=x(y+z-yz)=x+y+z-yz-x(y+z-yz) =x+y+z-xy-xz-yz+xyz, 所以, 是可结合的.,北京林业大学信息学院 苏喜友,33,1 二元运算及其性质,假设有幺元e, 则xR, 应有 ex=xe=x. 因是可交换的, 只需考虑xe=x即可. 而 xe=x+e-xe=x, 因此, 要使该式对xR 成立, 必然有e=0, 故0是R中关于的幺元. 假设有零元, 则xR, 应有 x=x=. 因是可交换的, 只需考虑x=即可. 而 x=x+-x=, 因此, 要使该式对xR 成立, 必然有=1, 故1是R中关于的零元.,北京林业大学信息学院 苏喜友,34,1 二元运算及其性质,假设xR是关于的幂等元, 则xx=x, 即 x+x-x2=x, 由此得方程 x2-x=0. 解之得 x=0, x=1. 即0和1是幂等元. 假设xR有逆元y, 则xy=yx=0, 因可交换, 只需考虑xy=0即可. 而 xy=x+y-xy=0, 由此得 y=x/x-1. 所以, R中每个不是零元1的元素都有逆元, x-1=x/x-1(x1).,北京林业大学信息学院 苏喜友,35,1 二元运算及其性质,Def.12 设是集合S上的二元运算, 元素aS, 使得对任意的x,yS都有 (1)若ax=ay, 则x=y, (2)若xa=ya, 则x=y, 则称a在集合S中关于是可消去的(Cancellative)或 称a是可消去元(Cancellative Element), 仅满足(1) 的元素称为左可消去元(Left Cancellative Element), 仅满足(2)的元素称为右可消去元(Right Cancellative Element). 若S中所有元素都是可消去 元, 则称在S上是可消去的或称满足消去律 (Cancellative Law).,北京林业大学信息学院 苏喜友,36,1 二元运算及其性质,例如, Z:,满足消去律. R:,满足消去律. Z,R:满足消去律, 但不满足消去律, 只有0不是可消去元. P(S):不满足消去律, S是可消去元; 也不满足消去律, 是可消去元. Note1 零元不是可消去元; Note2 幺元都是可消去元.,北京林业大学信息学院 苏喜友,37,1 二元运算及其性质,Th.2 设集合S上的二元运算是可结合的. (1)若元素aS是左可逆的, 则a是左可消去的; (2)若元素aS是右可逆的, 则a是右可消去的; (3)若元素aS是可逆的, 则a是可消去的. 证.(1)设a的左逆元为a , 则a a=e. 对x,yS, 若 ax=ay, 则 a (ax)=a (ay), 因可结合, (a a)x=(a a)y, 即 ex=ey, 所以 x=y. (2)与(1)类似可证, (3)由(1)(2)直接可得.,-1,-1,-1,-1,-1,-1,北京林业大学信息学院 苏喜友,38,1 二元运算及其性质,Note Th.2的逆定理是不成立的, 即若一个元素是左(右)可消去的, 但不一定是左(右)可逆的. 例如, Z+中每个元素关于运算都是可消去的, 但每个元素关于运算都不存在逆元,因为Z+关于运算不存在幺元.,北京林业大学信息学院 苏喜友,39,2 代数系统及其子代数,Def.1 非空集合S和S上的m个运算1,2,m(其中i为ni元运算, i=1,2,m)所组成的系统称为 一个代数系统(Algebraic System), 简称为代数(Algebra), 记为S,1,2,m. 当S是有限集 合时, 该代数系统称为有限代数系统, 否则称为 无限代数系统. 有限代数系统中集合的元素数 称为该有限代数系统的阶.,北京林业大学信息学院 苏喜友,40,2 代数系统及其子代数,例如, N,Z,R,都是代数系统. Mn(R),是代数系统. P(S),是代数系统, 称为集合代数. G,是代数系统, 称为命题代数. 在某些代数系统中对于给定的二元运算存在幺元或零元, 并且它们对该系统的性质起着重要作用, 称之为该系统的特异元素或代数常数. 为了强调这些特异元素的存在, 有时把它们列到有关的代数系统的表达式中. 例如, P(S),S, G,0,1.,北京林业大学信息学院 苏喜友,41,2 代数系统及其子代数,在P(S),S和G,0,1这两个代数系统中, 虽然它们具有不同的运算对象和运算符, 但它们具有相同的形式, 即都是由一个集合和两个定义在该集合上的二元运算及一个一元运算所组成, 且具有相同数目的代数常数, 这样的代数系统我们称之为同类型的代数系统. Def.2 设S1,1,2,m,a1,a2,ak和S2,1,m,b1,b2,bk是两个代数系统, 若 i和i都是ni元运算(i=1,2,m), 则称这两个代数系统是同类型的.,北京林业大学信息学院 苏喜友,42,2 代数系统及其子代数,具有一个非空集合和一个定义在该集合上的二元运算构成的代数系统通常称为二元代数(Binary Algebra). Def.3 设V=S,1,2,m是代数系统, BS且B,如果B对运算1,2,m都是封闭的, 且B和S含有相同的代数常数, 则称V=B,1,2,m是 V的子代数系统(Subalgebraic System), 简称为 子代数(Subalgebra).若BS, 则称V是V的真子 代数(Proper Subalgebra). 有时, 为方便起见, 也常说B是V的子代数.,北京林业大学信息学院 苏喜友,43,2 代数系统及其子代数,例如,N,是Z,的子代数,N,和Z,都是R,的子代数, 且都是真子代数. N,0是Z,0的子代数, N,0和 Z,0都是R,0的子代数, 且也都是真子代数. R,是R,的子代数, 但不是R,0的子代数, 因为R,没有代数常数0.,北京林业大学信息学院 苏喜友,44,2 代数系统及其子代数,由子代数的定义不难看出, V的子代数V与V本身不仅具有相同的代数运算, 并且这些运算也具有相同的性质, 它们是同类型的代数系统. 任何代数系统其子代数一定存在, 因为它本身就是它的子代数, 但真子代数不一定存在. 代数系统V的最大子代数就是V本身. 设B表示代数系统V中所有代数常数组成的集合, 且B对V中所有运算都是封闭的, 那么B就构成了V的最小子代数. V的最小与最大子代数称为V的平凡子代数.,北京林业大学信息学院 苏喜友,45,2 代数系统及其子代数,Exp.1 设V=Z,0,令 nZ=nz|zZ, n为自然数, 则nZ是V的子代数. 证.nz1,nz2nZ, 则 nz1nz2=n(z1z2)nZ, 即nZ对运算是封闭的, 并且0=n0nZ也是 nZ,的幺元. 所以, nZ,0是V的子代数. 当n=1时, nZ就是V本身, 是V的最大子代数; 当n=0时, 0Z=0, 是V的最小子代数, 而其它 的子代数都是V的非平凡的真子代数.,北京林业大学信息学院 苏喜友,46,3 代数系统的同态与同构,同态与同构是研究两个代数系统之间关系的有力工具. 在讨论代数系统时, 我们常常会发现有些代数系统在结构上有某些相似的地方. Exp.1设A=a,b,是P(A)上的二元运算,P(A),是一个代数系统. 设B2=00,01,10,11为所有两位二进制数的集合, 位或是B2上的二元运算, 则B2,是一个代数系统. 它们的运算表为:,北京林业大学信息学院 苏喜友,47,3 代数系统的同态与同构,两个运算的运算表结构非常相似. 两个代数系统除了集合的元素和运算符不同外, 它们的数学结构完全一样. :P(A)B2. ()=00, (a)=01, (b)=10, (a,b)=11. 称这两个代数系统是同构的.,北京林业大学信息学院 苏喜友,48,3 代数系统的同态与同构,我们只对具有一个二元运算的代数系统给出同态映射的定义. Def.1 设V1=S1, V2=S2,是两个二元代数系统. 如果存在映射(函数):S1S2, 满足对x,yS1, 有 (xy)=(x)(y), 则称是V1到V2的同态映射, 简称同态. 称上式为同态式. 称(S1),是V1在下的同态像.,北京林业大学信息学院 苏喜友,49,3 代数系统的同态与同构,如果同态映射分别是满射、单射、双射时,则分别称是满同态、单同态、同构. 如果是V1到V2的满同态, 记作V1V2; 如果是V1到V2的同构, 记作V1 V2. 当V1=S1,=S2,=V2时, 则称同态映射为V1=S1,上的自同态映射, 简称自同态. 当分别是满射、单射、双射时, 则分别称是满自同态、单自同态、自同构.,北京林业大学信息学院 苏喜友,50,3 代数系统的同态与同构,Exp.2(1)R, R+,. 令:RR+,xR,(x)=ex, 则x,yR, 有 (xy)=ex+y=exey=(x)(y), 所以是R,到R+,的同态映射. x,yR, 若xy, 则exey, 即(x)(y), 所以是单射的. yR+, 有x=lnyR, 使得 (x)=(lny)=elny=y, 所以是满射的. 因此, 是双射的, 故是R,到R+,的同 构, 即R, R+,.,北京林业大学信息学院 苏喜友,51,3 代数系统的同态与同构,(2)对于R,和R, 存在从R,到R,的同态. 令:RR,xR,(x)=ex, 则x,yR, 有 (xy)=ex+y=exey=(x)(y), 所以是R,到R,的同态. x,yR, 若xy, 则exey, 即(x)(y), 所以是R,到R,的单同态. 但对于任一负数y, 在R中不存在x, 使得x=lny, 即不存在xR, 使得(x)=y, 故不是满同态.,北京林业大学信息学院 苏喜友,52,3 代数系统的同态与同构,Exp.3 Z,Zn, 其中, Zn=0,1,n-1,为数的加法, 为模n加法, 即x,yZn, 有 xy=(xy)modn. 令: ZZn,xZ,(x)=(x)modn, 则x,yZ, 有 (xy)=(xy)modn =(x)modn(y)modn)modn, 所以,(xy)=(x)(y)modn =(x)(y). 从而是Z,到Zn,的同态映射.,北京林业大学信息学院 苏喜友,53,3 代数系统的同态与同构,又xZn, 有xZ, 使得(x)=(x)modn=x, 所以是满射的. 但存在0,nZ, 使得 (0)=(n)=0Zn, 所以不是单射的. 综上, 是Z,到Zn,的满同态, 即 Z,Zn,.,北京林业大学信息学院 苏喜友,54,3 代数系统的同态与同构,Exp.4 设Z, 给定aZ, 令a:ZZ,a(x)=ax,xZ. 对x,yZ, 有 a(xy)=a(xy)=axay=a(x)a(y), 所以, 是Z,上的自同态. 当a=0时, 对xZ, 有0(x)=0, 即0将Z中 所有元素映射到Z,上的幺元0, 称0为零同 态, 同态像为0,.,北京林业大学信息学院 苏喜友,55,3 代数系统的同态与同构