线代上机作业.docx

上机作业（一）随机生成5阶方阵A,B,C及5维列向量b，求：A+B,A-B.解：在Matlab中输入：A=rand(5,5);B=rand(5,5);C=rand(5,5);b=rand(5,1);得：输入A+B；A-B.得：A*B+B*A.解：输入A*B+B*A.得：Ax=b的解,并验证克莱姆法则.解：输入：x=Ab.得：输入：D=A;D1=A;D2=A;D3=A;D4=A;D5=A;D1(:,1)=b;D2(:,2)=b;D3(:,3)=b;D4(:,4)=b;D5(:,5)=b;Y=det(D1)/det(D);det(D2)/det(D);det(D3)/det(D);det(D4)/det(D);det(D5)/det(D).得：发现：x=y,故克莱姆法则成立.A,B的行列式，逆，秩.解：输入：det(A);det(B);inv(A);inv(B);rank(A);rank(B).得：A*B的行列式，逆，秩，并验证det(A*B)=det(A)*det(B).解：输入det(A*B);det(A)*det(B).得：可见det(A*B)=det(A)*det(B).验证(AB)T=BTAT,(AB)-1=B-1A-1,ABBA.解：输入(A*B);B*A;inv(A*B);inv(B)*inv(A);A*B;B*A.由此可见(AB)T=BTAT,(AB)-1=B-1A-1,ABBA.求矩阵X使得AXB=C.解：输入X=(AC)/B.得：上机作业（二）验证：对于一般的方阵A,B,C,D，若A,C均为对角矩阵，且A可逆，则：解：输入：A=rand(3,3);B=rand(3,3);C=rand(3,3);D=rand(3,3);E(1:3,1:3)=A;E(1:3,4:6)=B;E(4:6,1:3)=C;E(4:6,4:6)=D;det(E);det(A)*det(D)-det(B)*det(C).由此可见在Matlab中输入：A=diag(diag(rand(3,3);B=rand(3,3);C=diag(diag(rand(3,3);D=rand(3,3);E(1:3,1:3)=A;E(1:3,4:6)=B;E(4:6,1:3)=C;E(4:6,4:6)=D;det(E);det(A*D-C*B).由此可见上机作业（三）N= 201465004共9位a=最后两位 04.b=第4-5位 46.c=第6-7位 50.d=第4,8位 40.e=第1,8位 20.f=第5,9位 64.g=第4,9位 44.h=第5,7位 60.求A列向量组的一个最大无关组，并把不属于极大无关组的向量利用极大无关组表示.解：由题意可得该矩阵为：A=44650123403444312152220644417576080.在MAtlab中输入A=4,46,50,40,3,4;1,2,3,4,4,3;12,15,22,17,5,7;20,64,44,60,8,0;b=rref(A).所以1,2,3,4是一个极大无关组，且有：5=-0.29451-1.48632-0.00623+1.821446=-0.08631-1.30012+0.36433+1.14844上机作业（四）Ax=b的解在下列不同的取值时变化如何？解：在Matlab中输入syms x; syms y; B=1;2+x;64;50; A=4,46,50,40;1+y,2+2*y,3+3*y,4+4*y;12,15,22,17;20,64,44,60; AB.得：即X=(2*(12597* - 362* + 11873)/(3975*( + 1) -(3298* - 4563* + 2033)/(7950*( + 1) (4791* - 61* + 4669)/(3975*( + 1) -(4413* - 818* + 2777)/(1590*( + 1).上机作业（五）随机生成4个5维向量，并进行正交化.解：在Matlab中输a=rand(5,1);b=rand(5,1);c=rand(5,1);d=rand(5,1);M=a,b,c,d;N=orth(M).得：即：四个五维向量为: 0.78030.38970.24170.40390.0965、0.13200.94210.95610.57520.0598、0.23480.35320.82120.01540.0430、0.16900.64910.73170.64770.4509.正交化向量为: -0.2454-0.5709-0.6522-0.4052-0.1559、0.8748-0.0664-0.42190.22230.0533、-0.40650.1428-0.47270.64500.4182、0.0895-0.50680.2989-0.12680.7935.在Matlab中输入N*N验证答案，得：由结果可知答案正确.上机作业（六）I、随机生成5阶矩阵 ，求其特征值及对应特征向量.解：在Matlab中输入A=rand(5,5); X,B=eig(A).其中B的对角线元素是特征值, X的列是相应的特征向量.II、随机生成5维列向量x，求矩阵XX的特征值并观察结果，尝试得出一般性结论.解：在Matlab中输入syms a; syms b; syms c; syms d; syms e; x=a;b;c;d;e; y=x*x; X,B=eig(y).故当a,b,c,d,e是实数时，矩阵XX的特征值为(0,0,0,0,a2+b2+c2+d2+e2).上机作业（七）化简下列二次型，并判断正定性: 解：在Matlab中输入A=1,1.5,0;1.5,-1,1;0,1,1;P,D=schur(A).得：P就是所求的正交矩阵,使得PAP=D,所以令X=PY,化简后的二次型为g= -2.0616y12+y22+2.0616y32.此二次型非正定非负定.在Matlab中输入A=1,0,2;0,-1,-2;2,-2,0 ;P,D=schur(A).得：P就是所求的正交矩阵,使得PAP=D,所以令X=PY,化简后的二次型为g= -3y12+3y32.此二次型非正定非负定.上机作业（八）某城市共30万人从事农业、工业、商业工作，假定此人数不变，另外，社会调查表明：（1）在此30万人中，目前约15万人从事农业，9万人从事工业，6万人从事商业；（2）农业人员中，每年20%转为工业，10%转为商业；（3）工业人员中，每年20%转为农业，10%转为商业；（4）商业人员中，每年10%转为农业，10%转为工业；预测一、二年后各行业人数，及若干年后各行业人数。解：变换矩阵：农、工、商：0.7,0.2,0.1;0.2,0.7,0.1;0.1,0.1,0.8*15;9;6.若设变换矩阵为A，则n年之后就是An.在Matlab中输入: A=0.7,0.2,0.1;0.