《概率统计教学资料》第4-6节随机事件及概率.ppt

2019/4/30,1,内容回顾,1. 概率论中的基本概念：,样本点，,样本空间，,随机事件,2. 随机事件的四种关系和三种运算以及运算定律,3. 事件的统计性规律,4. 概率的公理化定义：,非负性，规范性，可加性,5. 概率的四条性质,2019/4/30,2,第四节 古典概型,2019/4/30,3,预备知识：,1.加法原理：完成1件事，有n类办法. 在第1类办法中,有m1种不同的方法，,在第2类中有m2种不同的方法，,在第n类中有mn种不同的方法，,那么完成这件事共有,2.乘法原理：完成1件事，需要分成n个步骤.,做第1步,有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同的方法，,做第n步有mn种不同的方法，,那么完成这件事共有,2019/4/30,4,3.排列：从n个不同元素中（按不放回方式）取出m (mn)个元素的所有排列的个数，,叫做从n个不同元素中 取出m个元素的排列数，记为,4.组合：从n个不同元素中（按不放回方式）取出m (mn)个元素并成一组，,叫做从n个不同元素中取出m个 元素的组合数，记为,2019/4/30,5,每个盒子至多装一只球，则第一只球共有N种装法， 第二只球有N-1种装法，第n只球有N-n+1种， 故N(A)=N(N-1)(N-n+1),于是,解：设A为每个盒子至多装一只球，,将n只球随机地装入N个盒子中去，问每个盒子 至多装一只球的概率（设盒子容量不限,nN）.,例1.,n只球随机地装入N个盒子共有,2019/4/30,6,事件A的取法共有 种，于是所求概率为,不放回地抽取15件样品共有 种取法，,设事件A表示“取出的15件样品中恰有2件次品”,解：,例2. 设一批产品共100件,其中共有95件正品和5件次品, 从中任取15件，求其中恰有2件次品的概率。,2019/4/30,7,例3.,袋中有a只白球，b只红球，k个人依次在袋中取一只球， (1)作放回抽样；(2)作不放回抽样 求第i(i=1,2,)人取到白球(记为事件B)的概率（设k a+b）.,2019/4/30,8,第五节 条件概率,条件概率是概率论中的一个重要概念，,什么是条件概率？,同时，我们将发现它也是用来计算,复杂模型中概率的重要工具。,2019/4/30,10,例 掷一骰子一次，设事件A为得到奇数点，事件B为点数小于等于3。若已知点数小于等于3，求其为奇数点的概率。,解 设 A=得到奇数点，B=点数小于等于3,样本空间 缩减为B,2019/4/30,12,2.条件概率的定义,为事件B已发生的条件下事件A发生的条件概率.,设A与B是E的随机事件,若P(B)0,则称,2019/4/30,13,Sample space,Reduced sample space given event B,条件概率 P(A|B)的样本空间,条件概率也是概率, 故具有概率的性质：,监狱看守通知三个囚犯, 在他们中要随机地选出一个处决 , 而把另外两个释放. 囚犯甲请求看守秘密地告诉他,另外两个囚犯中谁将获得自由.,因为我已经知道他们两人中至少有一人要获得自由，所以你泄露这点消息是无妨的.,甲,如果你知道了你的同伙中谁将获释，那么，你自己被处决的概率就由1/3增加到1/2,因为你就成了剩下的两个囚犯中的一个了.,乙,丙,NO！,2019/4/30,17,二、概率乘法公式,概率的乘法定理：对事件A和B，,若P(B)0,则,或若P(A)0 ,则,乘法公式还可推广到三个事件的情形： P(ABC)P(A)P(B|A)P(C|AB). 一般地，有下列公式： P(A1A2An)P(A1)P(A2|A1).P(An|A1An1).,2019/4/30,18,(2)求这件次品在第3次检验时得到的概率。,1件次品与4件正品混在了一起，需要逐个进行检验将次品找出来。,（1）求至少需要检验3次才能找出这件次品的概率；,例.,解：,设A表示至少需要检验3次才能找出这件次品 Bi表示“第 i 次检验时得到正品”,2019/4/30,19,A,三、全概率公式与贝叶斯公式,B1,B2,B3,Bi,Bn,2019/4/30,20,如图,A,B1,B2,B3,Bi,Bn,化整为零 各个击破,2019/4/30,21,2019/4/30,22,以上这类问题在医药领域相当重要，,显然，甲的可能性要大得多，因为甲产量多，次品率也高。 实际上,因为人们常常需要从诊断的结果来寻找真正的原因。,2019/4/30,23,贝叶斯公式 (或逆概率公式),A,B1,B2,B3,Bi,Bn,例: GRS是家高科技公司, 有十名行政主管人员。其中一人正在向GRS的竞争对手泄漏信息。你作为（公司）保安部门的首脑，随机选择一名行政主管并要求他接受彻底的调查。,根据过往的经验估计, 在说谎的人中有5%通过检查,在诚实的人中有1%未通过检查.,假如被选中的主管通过了检查，这名主管就是泄密者的概率是多少？,令 A - 被选中的主管是泄密者; B - 被选中的主管通过了检查.,解,已知,由全概率公式,由Bayes公式,先验概率 P(A) = 0.1,后验概率 P(A|B) = 0.0056,注意,2019/4/30,26,行刺美国总统里根案,1981年3月30日，美国总统里根在华盛顿希尔顿饭店召开一次劳工集会上发表演讲后遭到枪击胸部受伤，同行的白宫新闻秘书詹姆斯. 布雷迪、一名华盛顿当地警察及一名联邦特工也在枪击中受伤。行刺的枪手是25岁的科罗拉多州失业青年Hinckley。 1982年审判他时， Hinckley以精神病为理由作为其无罪的辩护。在18个医师中作证的医师Danial，他告诉法院当给被诊断为精神分裂症的人以CAT扫描时，扫描显示30%的案例为脑萎缩，而给正常人以CAT扫描时，只有2%的扫描显示脑萎缩。Hinckley的辩护律师试图拿他的扫描结果为依据，争辩说因Hinckley的扫描展示了脑萎缩，他极有可能患有精神病，从而免于收到法院的起诉。,2019/4/30,27,行刺美国总统里根案,案例分析：,令A=该人是精神病患者, B=该人CAT扫描为脑萎缩，,根据医学资料知,一个国家所以人群中，得精神病的比例比较低,因Hinckley已扫描为脑萎缩，要判断他是精神病人的概率 多大，即计算P（A|B）,根据贝叶斯公式,2019/4/30,28,肝癌普查问题,甲胎蛋白免疫检测法(简称AFP法)被普遍应用于肝癌的普查和诊断。设A=肝癌患者, B=AFP检验反应为阳性;由过去的资料已知：,假阳性率,又已知在人群中肝癌的发病率为,今有一人AFP检测为阳性,现问该人患肝癌的可能性有多大？,真阳性率,解：,由全概率公式知,2019/4/30,29,2019/4/30,29,第六节随机事件的独立性,一、事件相互独立,1. 问题的引入,设A，B是试验E的两事件，,现比较P(A|B)与P(A).,一般地, P(A|B) P(A).,只有 B的发生对A发生的概率无影响，才会有,P(A|B) =P(A),若P(B)0，可定义,这时有,2019/4/30,30,2019/4/30,30,对任意两个随机事件A与B,则称事件A与事件B相互独立 (简称为独立).,若,2. 两事件的独立,定义.,容易证明，若P(A)0, P(B)0, 则A, B相互独立与 A, B互不相容不能同时成立的.,注： 独立与互不相容的关系,2019/4/30,31,2019/4/30,31,定理1 若事件A与B相互独立，且P(B)0,则,定理2 若事件A与B相互独立，,也相互独立.,则下列各对事件,P(A|B) =P(A). 反之亦然.,推论：若 这四对事件中,只要有一对独立，则其余三对也独立.,2019/4/30,32,2019/4/30,32,只证事件,从而,由此得,因为,证明:,AB,2019/4/30,33,2019/4/30,33,例2:一个均匀的正四面体,其第一面染成红色， 第二面染成白色,第三面染成黑色,而第四面同 时染上红、白、黑三种颜色.现以A, B, C 分别 记投一次四面体出现红、白、黑颜色朝下的事件，问 A，B，C是否两两独立? 并验证P(ABC)=P(A)P(B)P(C)是否成立？,解:,由于在四面体中红、白、黑分别出现两面,因此,又由题意知,伯恩斯坦反例,2019/4/30,34,2019/4/30,34,故有,则三事件 A, B, C 两两独立.,且,2019/4/30,35,2019/4/30,35,3. 多个事件的独立性,定义2.,设三个事件A、B、C，,如果满足下述等式,P(AB)= P(A) P(B),P(BC)= P(B) P(C),P(AC)= P(A) P(C),P(ABC)= P(A)P(B)P(C),则称事件A、B、C相互独立.,注：,3个事件相互独立,3个事件两两独立,（两两独立）,2019/4/30,36,2019/4/30,36,n个事件的独立性,设有n个事件,若其中任意,k个事件,有,则称这n个事件相互独立.,n个事件相互独立需要证多少个等式？,注：,n个事件相互独立,n个事件两两独立,定义2.,2019/4/30,37,2019/4/30,37,则其中任意,性质：,相互独立，,1. 设n个事件,2. 若n个事件A1, A2, , An (n2) 相互独立，则将A1, A2, , An中任意多个事件换成它们的对立事件，所得的n个事件仍相互独立.,个事件也是相互独立.,2019/4/30,38,2019/4/30,38,甲获胜至少需比赛3局，且最后一局是甲胜，而前面甲需胜二局。由独立性得甲获胜的概率为,例.,甲乙两人进行乒乓球比赛,每局甲胜的概率为p，,p1/2. 问对甲而言，采用三局二胜制有利，还是采用五局三胜制有利.设各局胜负相互独立.,解:,采用三局二胜制，甲获胜的情况：,甲甲 ，乙甲甲 ， 甲乙甲 （互不相容）,由独立性得甲获胜的概率为,采用五局三胜制，,2019/4/30,39,2019/4/30,39,例.,某一治疗方法对一个患者有效的概率为0.9.今对3个,患者进行了治疗，求对3个患者的治疗中，至少有一人是 有效的概率.设对各个患者的治疗效果是相互独立的。,解:,设A表示对3个患者的治疗中，至少有一人是有效的,Ai表示对第i个患者的治疗是有效的，故所求概率,2019/4/30,40,条件概率、概率乘法公式、全概率公式以及贝叶斯公式的关系：,条件概率,乘法公式,全概率公式,贝叶斯公式,2019/4/30,41,内容小结,1. 会计算古典概型的概率;,2. 理解条件概率的概念，掌握概率的乘法公式、,全概率公式以及贝叶斯公式，并能应用这些公式,进行概率计算.,3. 掌握事件的独立性，并能应用它计算概率.,2019/4/30,42,作业,习题一（P23）：8、 9、12、13、15、18,2019/4/30,43,备用题,1. 鞋子配对问题,取走两只, 求下列事件的概率.,(1)每人取走的鞋恰为一双的概率;,(2)每人取走的鞋不成一双的概率.,解 设第一个人从2n只中取任取2只, 第2个人从,2n-2只中任取2只, ,第n个人取走最后2只.,有n双不同的鞋混放在一起,有n个人每人随机,2019/4/30,44,(1)每个取走一双鞋的事件数为,于是,依乘法原理, 基本事件的总数为,2019/4/30,45,因为第一个人可以从n只右脚鞋中取一只, 又可以,从n只左脚中取一只 (只要2只鞋不成双), 其余类推.,于是,(2)每个人取走的2只鞋都不成双的事件数为(n!)2.,2019/4/30,46,2.生日问题,全班共有学生30人，求下列事件的概率：,(1) 某指定30天，每位学生生日各占一天；,(2) 全班学生生日各不相同；,(3) 全年某天恰有二人在这一天同生日；,(4) 至少有两人的生日在10月1日.,解,日 房，N=365(天),2019/4/30,47,(1) A=“某指定30天，每位学生生日各占一天”,(2) 设B=“全班学生生日各不相同”,(3) 设 C=“全年某天恰有二人在这一天同生日”,2019/4/30,48,(4) 设 D=“至少有两人的生日在10月1日”,D1=“恰有一人的生日在10月1日”,D2=“无一人的生日在10月1日”,2019/4/30,49,3.电话号码问题,设电话号码由7位数字组成 (第一位数字不,为0),试求下列事件的概率:,(3)7位数字不含0和9;,(4)7位数字不含0或9;,解: 由0,1, ,9这十个数可以形成9106个不同,的电话号码.,(1)7位数字为3501896;,(2)7位数字完全相同;,(5)7位数字含0不含9.,2019/4/30,50,于是,有,2019/4/30,51,4. 某种动物,解：设A表示“这