运筹学思考练习题答案.doc

第一章L.P及单纯形法练习题答案一、 判断下列说法是否正确1. 线性规划模型中增加一个约束条件，可行域的范围一般将缩小，减少一个约束条件，可行域的范围一般将扩大。()2. 线性规划问题的每一个基解对应可行域的一个顶点。()3. 如线性规划问题存在某个最优解，则该最优解一定对应可行域边界上的一个点。()4. 单纯形法计算中，如不按最小比值原则选取换出变量，则在下一个基可行解中至少有一个基变量的值为负。()5. 一旦一个人工变量在迭代中变为非基变量后，该变量及相应列的数字可以从单纯形表中删除，而不影响计算结果。()6. 若、分别是某一线性规划问题的最优解，则也是该线性规划问题的最优解，其中、为正的实数。()7. 线性规划用两阶段法求解时，第一阶段的目标函数通常写为(xai为人工变量)，但也可写为，只要所有ki均为大于零的常数。()8. 对一个有n个变量、m个约束的标准型的线性规划问题，其可行域的顶点恰好为个。()9. 线性规划问题的可行解如为最优解，则该可行解一定是基可行解。()10. 若线性规划问题具有可行解，且其可行域有界，则该线性规划问题最多具有有限个数的最优解。()二、 求得L.P问题的解如下：X=(0,3,2,16,0)T;X=(4,3,-2,0,0)T;X=(3.5,2,0.5,2,4)T;X=(8,0,0,-16,12)T;=(4.5,2,-0.5,-2,4)T;X=(3,2,1,4,4)T;X=(4,2,0,0,4)T。要求：分别指出其中的基解、可行解、基可行解、非基可行解。答案：基解：X、X、X、X，可行解：X、X、X、X，基可行解：X、X，非基可行解：X、X(或非基可行解：X、X、X、X、X)。三、 求解下列线性规划问题：答案：化为标准型：得初始单纯形表并求解：54000b06121006042-101020155300130540000405/21-1/208/5521-1/201/2005011/20-5/2110/11-10013/20-5/20019/110017/11-5/1119/7527/111003/111/119410/11010-5/112/11-175/110005/11-13/11019/70011/71-5/7512/710-3/702/7415/7015/70-1/7-120/700-5/70-6/7所有检验数，已得最优解：，。第二章 对偶理论与灵敏度分析练习题答案1判断下列说法是否正确：(1)任何线性规划问题存在并具有惟一的对偶问题；()(2)根据对偶问题的性质，当原问题为无界解时，其对偶问题无可行解，反之，当对偶问题无可行解时，其原问题具有无界解；()(3)设，分别为标准形式的原问题与对偶问题的可行解，分别为其最优解，则恒有；()(4)若线性规划的原问题有无穷多最优解，则其对偶问题也一定具有无穷多最优解；()(5)已知为线性规划的对偶问题的最优解，若，说明在最优生产计划中第i种资源已完全耗尽；()(6)已知为线性规划的对偶问题的最优解，若，说明在最优生产计划中第i种资源一定有剩余；()(7)若某种资源的影子价格等于k，在其他条件不变的情况下，当该种资源增加5个单位时，相应的目标函数值将增大5k；()(8)应用对偶单纯形法计算时，若单纯形表中某一基变量，又xi所在行的元素全部大于或等于零，则可以判断其对偶问题具有无界解；()(9)若线性规划问题中的bi，cj值同时发生变化，反映到最终单纯形表中，不会出现原问题与对偶问题均为非可行解的情况；()(10)在线性规划问题的最优解中，如某一变量xj为非基变量，则在原来问题中，无论改变它在目标函数中的系数cj或在各约束中的相应系数aij，反映到最终单纯形表中，除该列数字有变化外，将不会引起其他列数字的变化。()2下表是某一约束条件用“”连接的线性规划问题最优单纯形表格，其中x4、x5为松弛变量。XBx1x2x3x4x5x35/201/211/20x15/21-1/20-1/61/3j0-40-4-2要求：(1)写出原线性规划问题及其对偶问题的数学模型；(2)直接由表写出对偶问题的最优解； (3)其它条件不变时，约束条件右端项b1在何范围内变化，上述最优基不变。(4)若以单价2.5购入第一种资源是否值得，为什么？若有人愿意购买第二种资源应要价多少，为什么？答案：(1)注：该问题得解法非唯一，以下解法只是其中一种（各解法原理相同）。由题意已知原线性规划问题目标函数为Max（因j0为最优），且c4、c5为0（松弛变量目标函数系数为0）。根据知：，得：根据，得：则原线性规划问题的数学模型为：其对偶问题的数学模型为：(2)直接由表写出对偶问题得最优解为：(3)令原解，得Dbr的变化范围为：，其中：。则：，即，则(4)以单价2.5购入第一种资源是值得的，因其小于该资源“影子价格”（即2.54），可盈利；第二种资源应要价至少为2（影子价格），否则不如自己组织生产。第三章运输问题、第四章目标规划练习题答案一、判断下列说法是否正确1表上作业法实质上就是求运输问题的单纯形法。()2在运输问题中，只要任意给出一组含(m+n-1)个非零的xij，且满足，就可以作为一个初始可行解。()3建立目标规划模型时，正偏差变量应取正值，负偏差变量应取负值。()4线性规划问题是目标规划问题的一种特殊形式。()二、用表上作业法求解下表最小运费方案销地产地甲乙丙丁产量11814171210025813151003177129150销量50706080答案：因该问题为产销不平衡问题，总产量350 (100+100+150)大于总销量260 (50+70+60+80)，故假想一销地“戊”，其销量为90 (350-260)，形成产销平衡问题，并用Vogel法求得初始解：销地产地甲乙丙丁戊产量差额118141710129001001012122251225055081315010050,058531720760127090150130,70772239销量50，070,20,060,08090，0差额1211301130113753533用位势法求空格检验数：甲乙丙丁戊ui11118414217101290032505508013515201313172076012709300vj47129-3所有空格检验数ij0，表中已得最优解：，(就地贮存)，其余；最小运费：。但考虑非基变量的检验数23=0，该问题有无穷多最优解，用闭回路法调整得另一最优解：，(就地贮存)，其余。(见下表)甲乙丙丁戊ui1181417101290032505850131501317707101270900vj47129-3三、针对目标规划模型：(1)用图解法求出问题的满意解。(2)若将目标函数改为：满意解会如何变化。答案：(1) 满意解为图中A(4,0)、B(6,1)、C(2,3)所围成的区域。x1x2A(4,0)B(6,1)C(2,3)O(2) 满意解为B(6,1)、C(2,3)线。第五章整数规划练习题答案一. 判断下列说法是否正确1. 用分枝定界法求解一个极大化的整数规划问题时，任何一个可行整数解的目标函数值是该问题目标函数值的下界。(P)2. 用割平面法求解整数规划时，构造的割平面有可能切去一些不属于最优解的整数解。(O)3. 用割平面法求解纯整数规划时，要求包括松弛变量在内的全部变量必须取整数值。(P)4. 指派问题数学模型的形式与运输问题十分相似，故也可以用表上作业法求解。(P)二. 设有五项工作要分派给五个工人，每人的作业产值如下表所示，为了使总产值最大，问应如何分配这五项工作，并求得最大产值。工作工人ABCDE甲 946 85乙 859106丙 973 58丁 486 95戊1053 63答案：设原矩阵为A，因求极大问题，令B=M-aij，其中M=Maxaij=10，则： m=5=n，得最优解。解矩阵。即，甲D，乙C，丙E，丁B，戊A，最大产值=10+8+9+8+8=43。三. 对整数规划解得其松弛问题最优表如下：cj8500CBXBbx1x2x3x45x23/2011/4-1/48x115/4101/83/8j75/200-9/4-7/4要求：用割平面法完成求解过程。答案：(1) 产生高莫雷约束：根据Maxfi，应选取x1所在行为源行：，即，产生高莫雷约束为：。(2) 将高莫雷约束加入松弛变量x5，写入原表最后一行形成下表并用对偶单纯形法求解：cj85000CBXBbx1x2x3x4x55x23/2011/4-1/408x115/4101/83/800x5-3/400-1/8-3/81j75/200-9/4-7/40cj85000CBXBbx1x2x3x4x55x22011/30-2/38x13100010x42001/31-8/3j3400-5/30-14/3b列均为整数，所有j均非负，已得最优整数解：X*=(3, 2)T，Z*=34。第六章 动态规划的基本方法习题1. 已知网络图各段路线所需费用如图所示：232331123245242613514173321256A线B线图中A线和B线上的数字分别代表相应点的有关费用。试求从A线到B线的最小费用路线及其总费用。答案：23231123245242613514173321256A线B线23234971310768141081416315017采取顺序标号法解得最小费用路线有两条，即图中的粗实线，其费用为17。2. 用动态规划方法求解答案：按问题的变量个数划分为一个三阶段决策问题；设状态变量为s1、s2、s3、s4；并记s16；取问题中的变量x1、x2、x3为决策变量；各阶段指标函数按乘积方式结合；令最优值函数fk(sk)表示为第k阶段的初始状态为sk，从k阶段到3阶段所得到的最大值。设各阶段状态转移方程为：s1=x1+x2+x36，s2=s1-x1，s3=s2-x2，s4=s3-x3=0(即s3=x3)则有各阶段允许决策集合：x3=s3，0x2s2，0x1s1用逆推法，从后向前依次有：及最优解由得又则：及最优解由得又即则：及最优解由于0s16不知道其具体值，故须再对s1求一次f1(s1)的极值：显然，s1=6时f1(s1)才能达到最大值。所以按计算的顺序反推，可求得最优解为：，；则，则，即最优解为：，。第八章图与网络优化练习题答案一、判断下列说法是否正确1.在任一图G中，当点集V确定后，树图是G中边数最少的连通图。( P )2.若图中某点vi有若干个相邻点，与其距离最远的相邻点为vj，则边vi，vj必不包含在最小支撑树内。( O )3.若图中从v1至各点均有惟一的最短路，则连接v1至其他各点的最短路在去掉重复部分后，恰好构成该图的最小支撑树。( O )4.求网络最大流的问题可归结为求解一个线性规划模型。( P )二、有一项工程，要埋设电缆将中央控制室与15个控制点连通。下图中标出了允许挖电缆沟的地点和距离（单位：hm）。若电缆线100元/m，挖电缆沟（深1m，宽0.6m）土方30元/m3，其它材料和施工费用50元/m，请作出该项工程预算的最少费用。答案：求出其最小支撑树为：埋设电缆的最优方案为总长6200m所以最少工程预算费为6200(100+0.630+50)=元三、用Dijkstra标号法求出下图中v1到各点的最短距离与最短路径。答案：图中的粗线即为v1到各点的最短路径；v1到各点的最短距离为图中带 的数字。四、所给网络中弧旁数字为该弧容量，求网络最大流与最小截集。答案：第一次迭代：vsv1v2v3v4vt(13,7)2663344(7,7)15(0,+)(vs,13)(vs,6)(vs,2)(v1,4)(v1,7)得增广链：(vs, v1, vt)；按=7调整，如上图。第二次迭代：vsv1v2v3v4vt(13,11)266334(4,4)(7,7)(15,4)(0,+)(vs,5)(vs,6)(vs,2)(v1,4)(v4,4)得增广链：(vs, v1, v4, vt)；按=4调整，如上图。第三次迭代：vsv1v2v3v4vt(13,11)(2,2)6(6,2)334(4,4)(7,7)(15,6)(0,+)(vs,2)(vs,6)(vs,2)(v2,2)(v4,2)得增广链：(vs, v2, v4, vt)；按=2调整，如上图。第四次迭代：vsv1v2v3v4vt(13,13)(2,2)6(6,4)(3,2)34(4,4)(7,7)(15,8)(0,+)(vs,2)(vs,6)(v1,2)(v2,2)(v4,2)得增广链：(vs, v1, v2, v4, vt)；按=2调整，如上图。第五次迭代：vsv1v2v3v4vt(13,13)(2,2)(6,4)(6,4)(3,2)3(4,4)(4,4)(7,7)(15,12)(0,+)(vs,6)(-v4,4)(v3,4)(v4,4)得增广链：(vs, v3, v4, vt)；按=4调整，如上图。第六次迭代：vsv1v2v3v4vt(13,13)(2,2)(6,6)(6,6)(3,2)(3,2)(4,4)(4,4)(7,7)(15,14)(0,+)(vs,2)(v3,2)(v2,2)(v4,2)(-v2,2)得增广链：(vs, v3, v2, v4, vt)；按=2调整，如上图。第七次迭代：vsv1v2v3v4vt(13,13)(2,2)(6,6)(6,6)(3,2)(3,2)(4,4)(4,4)(7,7)(15,14)(0,+)所有fsj=csj（均为饱和弧）标号无法继续，解题结束。图中可行流即为所求最大流，最大流量为：同时得到最小截集：其中，即，其容量也为21。第九章 网络计划练习题及答案一、判断下列说法是否正确1.网络图中任何一个节点都表示前一工作的结束和后一工作的开始。( O )2.在网络图中只能有一个始点和一个终点。( P )3.工作的总时差越大，表明该工作在整个网络中的机动时间就越大。( P )4.总时差为零的各项工作所组成的线路就是网络图中的关键路线。( P )5.TFi-j是指在不影响其紧后工作最早开始的前提下，工作所具有的机动时间。( O )6.FFi-j是指在不影响工期的前提下，工作所具有的机动时间。( O )二、根据下表资料：工作代号紧前工作工作持续时间（Di-j）A15BA15CA14DB、C10EB6FD6GD1HE、G30IF、H8要求：(1)绘制网络计划图；(2)用标号法计算时间参数：ESi-j、EFi-j、LSi-j、LFi-j、TFi-j、FFi-j；(3)确定关键路线。答案：(1)12345678ABDEFGHI15151066130814C(2)各时间参数如图所示（ESi-jLSi-jTFi-jEFi-jLFi-jFFi-j）。12345678ABDEFGHI15151066130814C000151501515030300303553641541410717101516129301303004040040652546712540400414107171079790(3)图中TFi-j为零的各工作构成了关键路线（粗红线），即关键工作为：A,B,D,G,H,I。三、某项工程的各工作及其持续时间如下表所示：工作名称紧后工作工作持续时间（天）AB、C4BD、E6CE5DF、G8EF、G5F7G9要求：绘制网络图，用标号法计算时间参数，确定关键路线，计算工程完工期。答案：1234567A4B6C5D8E5G9F70004404401010048491311010018180101331518318202252701818027270时间参数：ESi-jLSi-jTFi-jEFi-jLFi-jFFi-j关键路线：工程完工期：27天2527225272F0T=27技术官员村位于位于亚运城东部，主干道二以东石楼涌以西的地块，占地面积、m2，总建筑面积、m2，共包括地下室南区、地下室北区、地上部分1栋12栋、服务中心、室外工程等多个单体工程。其中住宅面积m2，共12栋，17栋建筑层数为11层，812栋11层（局部复式顶层），首层局部架空，布置公建配套设施。integrated energy, chemicals and textile Yibin city, are the three core pillars of the industry. In 2014, the wuliangye brand value to 73.58 billion yuan, the citys liquor industry slip to stabilise. Promoting deep development of integrated energy, advanced equipment manufacturing industry, changning district, shale gas production capacity reached 277 million cubic metres, built the countrys first independent high-yield wells and pipelines in the first section, the lead in factory production and supply to the population. 2.1-3 GDP growth figure 2.1-4 Yibin, Yibin city, Yibin city, fiscal revenue growth 2.1.4 topography terrain overall is Southwest, North-Eastern State. Low mountains and hills in the city landscape as the main ridge-and-Valley, pingba small fragmented nature picture for water and the second land of the seven hills. 236 meters to 2000 meters above sea level in the city, low mountain, 46.6% hills 45.3%, pingba only 8.1%. 2.1.5 development of Yibin landscapes and distinctive feature in the center of the city, with limitations, and spatial structure of typical zonal group, 2012-cities in building with an area of about 76.2km2. From city-building situation, old town-the South Bank Center construction is lagging behind, disintegration of the old city is slow, optimization and upgrading, quality public service resources are still heavily concentrated in the old town together. Southbank Centre has not been formed, functions of the service area space is missing. Meanwhile, peripheral group centres service was weak and inadequate accounting for city development, suspicious pattern could not be formed. As regards transport, with the outward expansion of cities, cities have been expanding, centripetal city traffic organization has not changed, integrated energy, chemicals and textile Yibin city, are the three core pillars of the industry. In 2014, the wuliangye brand value to 73.58 billion yuan, the citys liquor industry slip to stabilise. Promoting deep development of integrated energy, advanced equipment manufacturing industry, changning district, shale gas production capacity reached 277 million cubic metres, built the countrys first independent high-yield wells and pipelines in the first section, the lead in factory production and supply to the population. 2.1-3 GDP growth figure 2.1-4 Yibin, Yibin city, Yibin city, fiscal revenue growth 2.1.4 topography terrain overall is Southwest, North-Eastern State. Low mountains and hills in the city landscape as the main ridge-and-Valley, pi