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第一章 习题解答1.1 已知不变线性系统的输入为 系统的传递函数。若b取（1）（2），求系统的输出。并画出输出函数及其频谱的图形。答：（1） 图形从略， （2） 图形从略。 1.2若限带函数的傅里叶变换在长度为宽度的矩形之外恒为零，（1） 如果，试证明 证明：（2） 如果， ，还能得出以上结论吗？答：不能。因为这时。1.3 对一个空间不变线性系统，脉冲响应为 试用频域方法对下面每一个输入，求其输出。（必要时，可取合理近似）（1）答：（2）答：（3）答： （4）答：1.4 给定一个不变线性系统，输入函数为有限延伸的三角波 对下述传递函数利用图解方法确定系统的输出。（1）（2）答：图解方法是在频域里进行的，首先要计算输入函数的频谱，并绘成图形方括号内函数频谱图形为：图1.4（1）图形为：图 1.4（2）因为的分辨力太低，上面两个图纵坐标的单位相差50倍。两者相乘时忽略中心五个分量以外的其他分量，因为此时的最大值小于0.04%。故图解频谱结果为：图 1.4（3）传递函数（1）形为：图 1.4（4）因为近似后的输入函数频谱与该传递函数相乘后，保持不变，得到输出函数频谱表达式为：其反变换，即输出函数为：该函数为限制在区间内，平均值为1，周期为3，振幅为1.37的一个余弦函数与周期为1.5，振幅为0.342的另一个余弦函数的叠加。传递函数（2）形为：图 1.4（5）此时，输出函数仅剩下在及两个区间内分量，尽管在这两个区间内输入函数的频谱很小，相对于传递函数（2）在的零值也是不能忽略的，由于可以解得，通过传递函数（2）得到的输出函数为：该函数依然限制在区间内，但其平均值为零，是振幅为0.043，周期为0.75，的一个余弦函数与振幅为0.027，周期为0.6的另一个余弦函数的叠加。1.5 若对二维函数 抽样，求允许的最大抽样间隔并对具体抽样方法进行说明。答： 也就是说，在X方向允许的最大抽样间隔小于1/2a，在y方向抽样间隔无限制。1.6 若只能用表示的有限区域上的脉冲点阵对函数进行抽样，即 试说明，即使采用奈魁斯特间隔抽样，也不能用一个理想低通滤波器精确恢复。答：因为表示的有限区域以外的函数抽样对精确恢复也有贡献，不可省略。1.7 若二维不变线性系统的输入是“线脉冲”，系统对线脉冲的输出响应称为线响应。如果系统的传递函数为，证明：线响应的一维傅里叶变换等于系统传递函数沿轴的截面分布。证明：1.8 如果一个空间不变线性系统的传递函数在频率域的区间，之外恒为零，系统输入为非限带函数，输出为。证明，存在一个由脉冲的方形阵列构成的抽样函数，它作为等效输入，可产生相同的输出，并请确定。答：为了便于从频率域分析，分别设：物的空间频谱 ；像的空间频谱 ；等效物体的空间频谱 ；等效物体的像的空间频谱 由于成像系统是一个线性的空间不变低通滤波器，传递函数在之外恒为零，故可将其记为：、利用系统的传递函数，表示物像之间在频域中的关系为 在频域中我们构造一个连续的、二维周期性分布的频域函数，预期作为等效物的谱，办法是把安置在平面上成矩形格点分布的每一个点周围，选择矩形格点在、方向上的间隔分别为和,以免频谱混叠，于是 （1）对于同一个成像系统，由于传递函数的通频带有限，只能允许的中央一个周期成份（）通过，所以成像的谱并不发生变化，即 图1.8用一维形式表示出系统在频域分别对和的作用，为简单计，系统传递函数在图中表示为。 图 题1.8 既然，成像的频谱相同，从空间域来看，所成的像场分布也是相同的，即 因此，只要求出的逆傅立叶变换式，就可得到所需的等效物场，即 带入（1）式，并利用卷积定理得到 （2）上式也可以从抽样定理来解释。 是一个限带的频谱函数，它所对应的空间域的函数可以通过抽样，用一个点源的方形阵列来表示，若抽样的矩形格点的间隔，在方向是，在方向是，就得到等效物场 ； （3） （4）把（3）、（4）式代入（2）式，得到 利用函数性质（1.8）式，上式可写为这一点源的方形阵列构成的等效物场可以和真实物体产生完