数列的概念与通项公式.pptVIP

新课标高中一轮总复习,第五单元 数列、推理与证明,知识体系,1.数列的概念和简单表示法. (1)了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表法、图象法、通项公式法）. (2)了解数列是自变量为正整数的一类函数. 2.等差数列、等比数列. (1)理解等差数列、等比数列的概念. (2)掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式.能在具体问题情境中，识别数列的等差、等比关系，并能用有关知识解决相应的问题.,(3)了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系. 3.合情推理与演绎推理 (1)了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用. (2)了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单的推理.,(3)了解合情推理与演绎推理之间的联系与差异. 4.直接证明与间接证明 (1)了解直接证明的两种基本方法分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点. (2)了解间接证明的一种基本方法反证法；了解反证法的思考过程、特点. 5.数学归纳法 了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.,第30讲,数列的概念与通项公式,1.了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）. 2.了解数列是自变量为正整数的一类函数. 3.会用观察法、递推法等求数列的通项公式.,1.以下关于数列的叙述： 数列是以正整数集为定义域的函数； 数列都有通项，且是惟一的； 数列只能用通项公式的方法来表示； 既不是递增也不是递减的数列,则为常数列; 数列1,1,2,3,5,8与数列8,5,3,2,1,1是同一数列; 对所有的nN*，都有an+3=an，则数列an是以3为周期的周期数列. 其中正确的结论有( ),B,A.0个 B.1个 C.3个 D.5个,本题是考查数列及相关概念的题，在解题过程中，每一个叙述都有可能判断错误，故需一一给予剖析：命题，数列可以看作是一个定义域为正整数集N+（或它的有限子集1，2，3，n)的函数；命题，不是每一个数列都有通项，有的数列不存在通项；另外，有通项公式的数列，通项公式也不一定惟一；命题，数列除了用通项公式表示外还可以用列表法和图象法表示；命题，数列存在递增数列、递减数列、常数数列，还有摆动数列；命题，数列是有序的；正确.,2.数列-1,7,-13,19，的一个通项公式是an= .,(-1)n(6n-5),符号问题可通过(-1)n或(-1)n+1表示，其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比它前面数的绝对值大6，故通项公式为an=(-1)n(6n-5).,3.如果数列an的前n项的和Sn=n2，那么这个数列的通项公式是 .,an=2n-1,a1=S1=1，所以a1=1， 当n2时，an=Sn-Sn-1=2n-1. 经检验，a1符合上式，所以an=2n-1.,4.在数列an中，若an+1= ，a1=1，则a6= .,因为an+1= a2= = , a3= = ，a4= = ， a5= = ，a6= = .,5.已知数列an(nN*)满足 an+1=an-t (ant) t+2-an (an2，若an+k=an(kN*)，则实数k的最小值是 .,4,因为tt, a4=a3-t=t+2-a1t，a5=t+2-a4=a1， 所以最小正周期为4，故k的最小值为4.,1.数列的概念 (1)数列是按一定 排列的一列数，记作a1,a2,a3,an,，简记an. (2)数列an的第n项an与项数n的关系若能用一个公式an=f(n)给出，则这个公式叫做这个数列的 .,顺序,通项公式,(3)数列可以看做定义域为N*(或其子集）的函数，当自变量由小到大依次取值时，对应的一列函数值，它的图象是一群 . 2.数列的表示方法 数列的表示方法有：列举法、图示法、解析法（用通项公式表示）和递推法（用递推关系表示）.,孤立的点,3.数列分类 (1)按照数列的项数分 、 . (2)按照任何一项的绝对值是否超过某一正常数分: 、 . (3)从函数单调性角度考虑分：递增数列、 、常数列、 . 4.数列通项an与前n项和Sn的关系 (1)Sn=a1+a2+a3+an； (2)an= .,有穷数列,无穷数列,有界数列,无界数列,递减数列,摆动数列,S1(n=1) Sn-Sn-1(n2),题型一 观察法写数列的通项公式,例1,求下列数列的一个通项公式： (1)1,-1,1,-1,; (2)3,5,9,17,33,; (3) ,2, ,8, ,; (4)1,0,-1,0,1,0,-1,0,.,(1)an=(-1)n+1或an=cos(n+1). (2)an=2n+1. (3)an= . (4)an=sin .,已知数列的前n项，写出数列的通项公式，主要从以下几个方面来考虑： (1)符号用(-1)n与(-1)n+1(或(-1)n-1)来调节，这是因为n和n+1奇偶交错.,(2)分式形式的数列，分子找通项，分母找通项，要充分借助分子、分母的关系. (3)对于比较复杂的通项公式，要借助等差数列、等比数列（后面将学到）和其他方法来解决. (4)此类问题虽无固定模式，但也有其规律可循，主要靠观察（观察规律）、比较（比较已知的数列）、归纳、转化（转化为等差或等比数列）等方法.,有一数列an,a1=a，由递推公式an+1= ,写出这个数列的前4项，并根据前4项观察规律，写出该数列的一个通项公式.,可根据递推公式写出数列的前4项，然后分析每一项与该项的序号之间的关系，归纳概括出an与n之间的一般规律，从而做出猜想，写出满足前4项的该数列的一个通项公式.,因为a1=a,an+1= , 所以a2= ,a3= = = , a4= = = . 观察规律:an= 形式，其中x与n的关系可由n=1,2,3,4得出x=2n-1.而y比x小1, 所以an= .,从特殊的事例，通过分析、归纳，总结出一般规律，再进行科学地证明，这是创新意识的具体体现，这种探索问题的方法，在解数列的有关问题中经常用到，应引起足够的重视.,题型二 利用数列前n项和公式求通项,例2,已知数列an的前n项和为Sn，分别求其通项公式. (1)Sn=3n-2； (2)Sn= (an+2)2(an0).,(1)当n=1时，a1=S1=1; 当n2时，an=Sn-Sn-1=3n-2-（3n-1-2） =23n-1. 由于a1=1不适合上式，因此数列an的通项公式为 1 （n=1） 23n-1 （nN*，且n2）.,an=,(2)当n=1时，a1=S1= (a1+2)2，解得a1=2. 当n2时,Sn=Sn-Sn-1= (an+2)2- (an-1+2)2, 所以(an-2)2-(an-1+2)2=0， 所以(an+an-1)(an-an-1-4)=0， 又an0，所以an-an-1=4， 可知an为等差数列，公差为4, 所以an=a1+(n-1)d=2+(n-1)4=4n-2, a1=2也适合上式，故an=4n-2.,S1 (n=1) Sn-Sn-1 (n2)求数列的通项，特别要注意验证a1的值是否满足“n2”的通项公式；同时认清“an+1-an=d（常数）(n2)”与“an-an-1=d（d为常数，n2）”的细微差别.,本例的关键是应用an=,题型三 利用递推公式求数列的通项,例3,根据下列条件,写出数列的通项公式： （1）a1=2，an+1=an+n； （2）a1=1，an-1=2n-1an.,（1）将递推关系写成n-1个等式累加，即“累加法”. （2）将递推关系写成n-1个等式相乘，即“累积法”或用逐项迭代法.,(1)(方法一)an+1=an+n， 所以a2=a1+1，a3=a2+2，a4=a3+3，, an=an-1+(n-1), 所以a2+a3+an =(a1+a2+an-1)+1+2+3+(n-1)， 所以an= +2= .,(方法二)因为an+1-an=n， 所以an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+ +(a3-a2)+(a2-a1)+a1 =(n-1)+(n-2)+1+2 = +2 = .,(2)(方法一)因为an= , 所a2= ,a3= ,a4= ,an= , 相乘得a2a3an= an= = . (方法二)因为 = ， 所以an= a1 = 1= .,已知数列的递推关系，求数列的通项公式的方法大致分为两类：一是根据前几项的特点归纳猜想出an的通项公式，然后用数学归纳法证明；二是将已知递推关系整理，变形为可用“累加法”“累乘法”或新的等差数列、等比数列等，再求其通项.,已知数列an的前n项的“均倒数”为 . (1)求an的通项公式； (2)设cn= ，试判断并说明cn+1-cn(nN*)的符号. (3)设函数f(x)=-x2+4x- ,是否存在最大的实数,使得当x时，对于一切自然数n，都有f(x)0.,(1)由题意， 得关系式a1+a2+an-1+an=n(2n+1), 从而有a1+a2+an-1=(n-1)(2n-1). 将两式相减，得an=4n-1(n2), 而a1=3也满足上式,所以an=4n-1(nN*). (2)应用(1)的结论,得 cn= = =2- ,cn+1=2- , 于是cn+1-cn= - 0, 即cn+1-cn0.,(3)由(2)知，c1=1是数列cn中的最小项, 因为x时,对于一切自然数n,都有f(x)0, 即-x2+4x =cn, 所以-x2+4xc1=1,即x2-4x+10， 解得x2+ 或x2- , 所以取=2- .,数列通项公式的求法： 观察分析法； S1 (n=1) Sn-Sn-1 (n); 转化成等差、等比数列； 迭加、累乘法（见第34讲）.,公式法:an=,(2009湖北卷)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种行状来研究数，例如：,他们研究过图1中的1，3，6，10，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1，4，9，16，这样的数为正方形数.下列数中既是三角形数又是正方形数的是( ),C,A. 289 B. 1024 C. 1225 D. 1378,由图形可得三角形数构成的数列通项an= (n+1),同理可得正方形数构成的数列通项bn=n2,由bn=n2(nN*),在区间（1000，1250）中是平方数的只有322，332，342，352，又由an= (n+1)知an必为奇数，故只可能是332或352，经检验只有352= =1225.,(2009重庆卷)已知a1=1,a2=4,an+2=4an+1+an,bn= ,nN*. （1）求b1,b2,b3的值； （2）设cn=bnbn+1,Sn为数列cn的前n项和，求证Sn17n； （3）求证：|b2n-bn| .,(1)因为a2=4,a3=17,a4=72， 所以b1=4,b2= ,b3= . (2)证明：由an+2=4an+1+an,得 =4+ , 则bn+1=4+ . 由已知递推式易得an0，bn0， 所以当n2时，bn4， 于是c1=b1b2=17,cn=bn+1