函数及其图象试题讲义.doc

函数及其图象 考点 1.变量与函数(一般函数) 函数自变量取值范围的考查是中考考查的热点,涉及分式二次根式二次函数等内容,与解不等式或不等式组有密切 联系,在填空题中经常考查到 例 1.下列函数中,自变量 x 的取值范围错误的是( ) A.y=3x2+2x-1 中,x 取全体实数 B.y=中,x 取的实数 1 2x 2x C.y=中,x 取的实数2x2x D.y=中,x 取的实数 1 5 5 x x 5x 变式练习:1.(2007 年十堰中考题)函数的自变量 x 的取值范围是_. x x y 2 212 分析:由不等式组,解得0x6. 2.(2008 黄冈市)下列说法中正确的是( ) A.是一个无理数4 B.函数 y=的自变量 x 的取值范围是 x1 1 1x C.8 的立方根是2 D.若点 P(2,a)和点 Q(b,-3)关于 x 轴对称,则 a+b 的值为 5 考点 2.一般函数的图象 平面直角坐标系是几何代数联系的纽带,“数形结合”思想在此有明显的体现本部分主要包括点的坐标与点的位置 对应点的对称函数图象信息等各地中考中仍以选择题和填空题为主,近年中考中也出现了阅读题型 例 2.(2008 年潍坊 5 题).某蓄水池的横断面示意图如右图,分深水区和浅水区,如果这个注满水的蓄水池以固定的流量 把水全部放出.下面的图象能大致表示水的深度和放水时间 之间的关系的是( )ht h h t O A h t O B h t O C h t O D 例 3. (2008 年潍坊 17 题).如图,在平面直角坐标系中,的顶点的坐标为RtOABA ,若将绕点逆时针旋转后,点到达点,则点的坐标是 .( 31)，OABO60B B B 变式练习:1.(2007荆州市中考题)点P(1,-2)关于y轴对称的点的坐标是( ) A (-1,-2) B (1, 2) C (-1,2) D (-2,1) 2.(2007年海淀区中考题)甲乙两同学约定游泳比赛规则:甲先游自由泳到泳道中点后改为蛙泳,而乙则是先游蛙泳到 泳道中点后改为自由泳,两人同时从泳道起点出发,最后两人同时游到泳道终点又知甲游自由泳比乙游自由泳速度快, 并且二人自由泳均比蛙泳速度快,若某人离开泳道起点的距离s与所用时间t的函数关系可用图象表示,则下列选项中正 确的是( ) y x A BO A. 甲是图,乙是图B. 甲是图,乙是图 C. 甲是图,乙是图D. 甲是图,乙是图 3.(2007安徽省中考试题)如图,在平行四边形ABCD中,AC=4,BD=6,P是BD上的任一点,过P作EFAC,与平行四边形的 两条边分别交于点E,F设BP=x,EF=y,则能反映y与x之间关系的图象为( ) A B C D E F P 2.(2008 年荆州市)如图,在平面直角坐标系中,点 A 在第一象限,A 与轴相切于 B,与轴交于 C(0,1),D(0,4)两点,则点 A 的坐标是 ( ) A. B. C. D. 3 5 ( , ) 2 2 3 ( ,2) 2 5 (2, ) 2 5 3 ( , ) 2 2 考点 3.一次函数与正比例函数 一次函数正比例函数的概念图象和性质及待定系数法求解析式是本单元的重点对他们的考查主要出现在选 择题和填空题中,常常考查正比例函数和一次函数的意义及字母系数的条件实际问题中的正比例函数和一次函数的 解析式与自变量的取值范围;函数的增减性确定的 kb 的值与函数的图象等;解答题综合题中主要有图象与图象图 象与坐标轴围成的几何图形面积的计算,用待定系数法求解析式等近几年把一次函数图象的平移实际问题中刻画一 次函数模型及一次函数在生活中的应用作为热点,而分段函数在生活中的应用作为考查的难点,也在中考中经常出现 例 4. (2008 年潍坊 12 题)若一次函数的图象过第一三四象限,则函数( )(1)ymxm 2 ymxmx A.有最大值B.有最大值C.有最小值D.有最小值 4 m 4 m 4 m 4 m 变式练习:1.(2008 年宜昌市中考题)函数 y = kx + 1 与函数 x y k 在同一坐标系中的大致图象是( ) O x y O x y O x y O x y A B C D 2.(2008 年龙岩市)(13 分)如图,在平面直角坐标系xOy中,O交x轴于AB两点,直 线FAx轴于点A,点D在FA上,且DO平行O的弦MB,连DM并延长交x 轴于点C. (1)判断直线DC与O的位置关系,并给出证明; (2)设点D的坐标为(-2,4),试求MC的长及 直线DC的解析式. 3.(2008 年湖北省咸宁市)如图,在平面直角坐标系中,直线l是第一三象限的角平 分线. 实验与探究: (1) 由图观察易知A(0,2)关于直线l的对称点的坐标为(2,0),请在图中分别标 A 明B(5,3) C(-2,5) 关于直线l的对称点的位置,并写出他们的坐标: B C ; B C 归纳与发现: (2) 结合图形观察以上三组点的坐标,你会发现:坐标平面内任一点P(a,b)关于第 一三象限的角平分线l的对称点的坐标为 (不必证明); P 运用与拓广: (3) 已知两点D(1,-3)E(-1,-4),试在直线l 上确定一点Q,使点Q到DE两点的距离 之和最小,并求出Q点坐标. 说明:由点E关于直线l的对称点也可完成求解. 4.(2008 年江西省)如图,点 A,B,C 的坐标分别为(0,1),(-1,0),(1,0),设点 D 与 A,B,C 三点 构成平行四边形,(1)写出所有符合条件的点 D 的坐标;(2)选择(1)中的一点 D,求直线 BD 的解析式. 考点 4.反比例函数 反比例函数的概念图象性质及待定系数法求函数解析式是考查的重点对这部分 内容除对图象的对称性求函数解析式等独立考查外,更多的是与一次函数二次函数 联系在一起考查近年来,不少地方出现了主观题,常把反比例函数与实际生活问题结 合起来,考查学生利用数学知识解决实际问题的能力 例 5. (2008 年潍坊 10 题)已知反比例函数,当时,随的增大而增大,则关于的方程 ab y x 0x yxx 的根的情况是( ) 2 20axxb A.有两个正根B.有两个负根 C.有一个正根一个负根D.没有实数根 变式练习:1.(2008 常州市) 若反比例函数的图象在其每个象限内,y 随 x 的增大而减小,则 k 的值可以是( ) 1k y x A.-1B.3C.0D.-3 2.(08 年宁夏) 反比例函数(k0)的部分图象如图所示,AB是图象上两点,AC x k y 轴于点C,BD轴于点D,若AOC的面积为S,BOD的面积为S,则S和Sxx 121 的大小关系为( ) 2 A.S S BS= S CS S D无法确定 121212 3.(2007 年潍坊 10 题)设 P 是函数在第一象限的图像上任意一点,点 P 关于原点的 4 y x 对称点为 P,过 P 作 PA 平行于y轴,过 P作 PA 平行于x轴,PA 与 PA 交于 A 点,则 123456-1-2-3-4-5-6 -1 -2 -3 -4 -5 -6 1 2 3 4 5 6 7 O x y l A B A D E C (图 22图 图 图 y x A C B 2 1 12 12 O 1 2 的面积( )PAP A.等于 2B.等于 4C.等于 8D.随 P 点的变化而变化 4.(2008 年遵义市)如图,在平面直角坐标系中,函数(,常数)的图象经过点 k y x 0x 0k ,(),过点作轴的垂线,垂足为.若的面积为 2,(12)A ，()B mn，1m ByCABC 则点的坐标为 .B 5.(2008 年武汉市)如图,半径为 5 的P 与轴交于点 M(0,-4),N(0,-10),函数 的图像过点 P,则= .(0) k yx x k 6.(2008 年聊城市)已知一次函数与反比例函数的图象交于点.( 3)(23)PmQ， (1)求这两个函数的函数关系式; (2)在给定的直角坐标系(如图)中,画出这两个函数的大致图象; (3)当为何值时,一次函数的值大于反比例函数的值?当为何值时,一次函数的值小于反xx 比例函数的值? 考点 5. 一次函数与反比例函数的实际应用 函数应用题涉及的知识面广,其解法灵活多变,是各类考试命题的热点一次函数应用题包含分段函数的具体应用 和一次函数与方程不等式之间的综合运用解答时,一般都是从建立函数关系式着手,将实际问题模型化有时可从函 数的图象信息来挖掘解题思路,注重“数”与“形”的结合 例 6.(2008 威海市)如图,点A(m,m+1),B(m+3,m-1)都在反比例函数的图象 x k y 上. (1)求m,k的值; (2)如果M为x轴上一点,N为y轴上一点, 以点A,B,M,N为顶点的四边形是平行 四边形, 试求直线MN的函数表达式. 变式练习: 1.( 2008 年杭州市) 为了预防流感,某学校在休息天用药熏消毒法对教室进行消毒.已知药物释放过程中,室内每立方 米空气中的含药量(毫克)与时间 (小时)成正比;药物释放完毕后,与 的函数关系式为(为常数),如图所ytyt t a y a 示.据图中提供的信息,解答下列问题: (1) 写出从药物释放开始,与 之间的两个函 数关系式及相应的自变量的取值范围;yt (2)据测定,当空气中每立方米的含药量降低到毫克以下时,学生方可进入教室,那么从药物释放开始,至少需0.25 要经过多少小时后,学生才能进入教室? 2.(2008 年巴中市)为预防“手足口病”,对教室进行“药熏消毒”.已知药物燃烧阶段,室 内每立方米空气中的含药量(mg)与燃烧时间(分钟)成正比例;燃烧后,与成反yxyx 比例(如图所示).现测得药物 10 分钟燃完,此时教室内每立方米空气含药量为 8mg.据以 上信息解答下列问题: (1)求药物燃烧时与的函数关系式;(2)求药物燃烧后与的函数关系式;yxyx (3)当每立方米空气中含药量低于 1.6mg 时,对人体方能无毒害作用,那么从消毒开 始,经多长时间学生才可以回教室? 3.(2008 苏州)如图,帆船和帆船在太湖湖面上训练,为湖面上的一个ABO 定点,教练船静候于点.训练时要求两船始终关于点对称.以OAB，O 为原点,建立如图所示的坐标系,轴,轴的正方向分别表示正东正北方Oxy y O x C A(1，2) B(m，n ) O P M y A x N xO y A B y x A B O 1 1 1 1 C (百米) (百米) 向.设两船可近似看成在双曲线上运动.湖面风平浪静,双帆远影优美.训练中当教练船与两船恰AB， 4 y x AB， 好在直线上时,三船同时发现湖面上有一遇险的船,此时教练船测得船在东南方向上,船测得yxCC45A 与的夹角为,船也同时测得船的位置(假设船位置不再改变,三船可分别用ACAB60BCCABC， 三点表示).ABC， (1)发现船时,三船所在位置的坐标分别为和;CABC，(_ _)(_ _)AB，(_ _)C， (2)发现船,三船立即停止训练,并分别从三点出发船沿最短路线同时前往救援,设两船的速CAOB，AB， 度相等,教练船与船的速度之比为,问教练船是否最先赶到?请说明理由.A3:4 考点 6:二次函数 1从最简单最基本的二次函数 y=ax2(a0)复习起围绕图象对称轴顶点坐标(最值)绘制成表格,不仅能让学生巩 固掌握多种形式的二次函数还能让学生理解和掌握图象间的平衡规律 2让学生明确三个“二次”,即二次函数二次方程二次三项式,最主要的是二次函数一元二次方程是二次函数的函 数值等于 0 的特殊情况二次函数与 x 轴能否有交点,有几个交点,一元二次方程能否有实根,二次三项式能不能判断 (在实数范围),都取决于 ,反过来也能判断 情况 二次三项式二次函数一元二次方程联系在一起,可构成题型多变的综合题,解这类问题要通盘考虑,使得三个“二次” 互相转化与借用, 3二次函数的特征数 abc a 决定开口方向和开口大小,c 决定抛物线与 y 轴的交点位置这点坐标为(0c),ab 共同决定对称轴的位置 4二次函数解析式的两种形式 一般式 y=ax2+bx+c(a0),顶点式 y=a(x+ h )2 + k , 在确定函数的解析式时,一般用待定系数法,要认真分析条件的 特点,选择适当的形式,找到最简捷的方案 例6.(2007年辽宁)某公司推出了一种高效环保型洗涤用品,年初上市后,公司经 历了从亏损到盈利的过程.下面的二次函数图象(部分)刻画了该公司年初以来累 积利润s(万元)与销售时间t(月)之间的关系(即前t个月的利润总和s与t之间的关 系). 根据图象提供的信息,解答下列问题: (1)由已知图象上的三点坐标,求累积利润s(万元)与时间t(月)之间的函数关 系式; (2)求截止到几月末公司累积利润可达到30万元; (3)求第8个月公司所获利润是多少万元? 变式练习:1.(2008 年潍坊 22 题)(本题满分 11 分) 一家化工厂原来每月利润为 120 万元.从今年一月起安装使用回收净化设备(安装时间不计),一方面改善了环境,另一 方面大大降低原料成本.据测算,使用回收净化设备后的 1 至月()的利润的月平均值(万元)满足x112xw ,第 2 年的月利润稳定在第 1 年的第 12 个月的水平.1090wx (1)设使用回收净化设备后的 1 至月()的利润和为,写出关于的函数关系式,并求前几个月的利x112xyyx 润和等于 700 万元? (2)当为何值时,使用回收净化设备后的 1 至月的利润和与不安装回收净化设备时个月的利润和相等?xxx (3)求使用回收净化设备后两年的利润总和. (3)12(1012+90)+12(1012+90)=5040(万元) 2.(2008 年潍坊 22 题) -1 -2 -3 3 4 5 6 s(万元) t(月) O 4 3 2 1 1 2 如图,圆切轴于原点,过定点作圆切线交圆于点.已知ByO( 2 3 0)A ，BP ,抛物线经过两点. 3 tan 3 PAB CAP， (1)求圆的半径;B (2)若抛物线经过点,求其解析式;CB (3)投抛物线交轴于点,若三角形为直角三角形,求点的坐标.CyMAPMM 3.(2007 年潍坊 11 题)对于二次函数,我们把使函数值等于