2016届中考数学复习专题一动点探究测试题.docx

动点探究一、单动点1（2015成都）如图，在半径为5的O中，弦AB=8，P是弦AB所对的优弧上的动点，连接AP，过点A作AP的垂线交射线PB于点C，当PAB是等腰三角形时，线段BC的长为8，或 解：当BA=BP时，易得AB=BP=BC=8，即线段BC的长为8当AB=AP时，如图1，延长AO交PB于点D，过点O作OEAB于点E，则ADPB，AE=AB=4，BD=DP，在RtAEO中，AE=4，AO=5，OE=3，易得AOEABD，即PB=，AB=AP=8，ABD=P，PAC=ADB=90，ABDCPA，CP=，BC=CPBP=；当PA=PB时如图2，连接PO并延长，交AB于点F，过点C作CGAB，交AB的延长线于点G，连接OB，则PFAB，AF=FB=4，在RtOFB中，OB=5，FB=4，OF=3，FP=8，易得PFBCGB，设BG=t，则CG=2t，易得PAF=ACG，AFP=AGC=90，APFCAG，解得t=，在RtBCG中，BC=t=，答案为：8，2（2015连云港）已知如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x2与x轴、y轴分别交于A，B两点，P是直线AB上一动点，P的半径为1（1）判断原点O与P的位置关系，并说明理由；（2）当P过点B时，求P被y轴所截得的劣弧的长；（3）当P与x轴相切时，求出切点的坐标解：（1）原点O在P外理由：直线y=x2与x轴、y轴分别交于A，B两点，点A（2，0），点B（0，2），在RtOAB中，tanOBA=，OBA=30，如图1，过点O作OHAB于点H，在RtOBH中，OH=OBsinOBA=，1，原点O在P外；（2）如图2，当P过点B时，点P在y轴右侧时，PB=PC，PCB=OBA=30，P被y轴所截的劣弧所对的圆心角为：1803030=120，弧长为：=；同理：当P过点B时，点P在y轴左侧时，弧长同样为：；当P过点B时，P被y轴所截得的劣弧的长为：；（3）如图3，当P与x轴相切时，且位于x轴下方时，设切点为D，在PDx轴，PDy轴，APD=ABO=30，在RtDAP中，AD=DPtanDPA=1tan30=，OD=OAAD=2，此时点D的坐标为：（2，0）；当P与x轴相切时，且位于x轴上方时，根据对称性可以求得此时切点的坐标为：（2+，0）；综上可得：当P与x轴相切时，切点的坐标为：（2，0）或（2+，0）3（2015潍坊）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=mx28mx+4m+2（m0）与y轴的交点为A，与x轴的交点分别为B（x1，0），C（x2，0），且x2x1=4，直线ADx轴，在x轴上有一动点E（t，0）过点E作平行于y轴的直线l与抛物线、直线AD的交点分别为P、Q（1）求抛物线的解析式；（2）当0t8时，求APC面积的最大值；（3）当t2时，是否存在点P，使以A、P、Q为顶点的三角形与AOB相似？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由解：（1）由题意知x1、x2是方程mx28mx+4m+2=0的两根，x1+x2=8，由解得：B（2，0）、C（6，0）则4m16m+4m+2=0，解得：m=，该抛物线解析式为：y=；（2）可求得A（0，3）设直线AC的解析式为：y=kx+b，直线AC的解析式为：y=x+3，要构成APC，显然t6，分两种情况讨论：当0t6时，设直线l与AC交点为F，则：F（t，），P（t，），PF=，SAPC=SAPF+SCPF=，此时最大值为：，当6t8时，设直线l与AC交点为M，则：M（t，），P（t，），PM=，SAPC=SAPMSCPM=，当t=8时，取最大值，最大值为：12，综上可知，当0t8时，APC面积的最大值为12；（3）如图，连接AB，则AOB中，AOB=90，AO=3，BO=2，Q（t，3），P（t，），当2t8时，AQ=t，PQ=，若：AOBAQP，则：，即：，t=0（舍），或t=，若AOBPQA，则：，即：，t=0（舍）或t=2（舍），当t8时，AQ=t，PQ=，若：AOBAQP，则：，即：，t=0（舍），或t=，若AOBPQA，则：，即：，t=0（舍）或t=14，t=或t=或t=144（2015铁岭）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+与x轴交于A（3，0），B（1，0）两点与y轴交于点C，点D与点C关于抛物线的对称轴对称（1）求抛物线的解析式，并直接写出点D的坐标；（2）如图1，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB匀速运动，到达点B时停止运动以AP为边作等边APQ（点Q在x轴上方），设点P在运动过程中，APQ与四边形AOCD重叠部分的面积为S，点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式；（3）如图2，连接AC，在第二象限内存在点M，使得以M、O、A为顶点的三角形与AOC相似请直接写出所有符合条件的点M坐标解：（1）抛物线y=ax2+bx+经过A（3，0），B（1，0）两点，解得，抛物线解析式为y=x2x+；则D点坐标为（2，）（2）点D与A横坐标相差1，纵坐标之差为，则tanDAP=，DAP=60，又APQ为等边三角形，点Q始终在直线AD上运动，当点Q与D重合时，由等边三角形的性质可知：AP=AD=2当0t2时，P在线段AO上，此时APQ的面积即是APQ与四边形AOCD的重叠面积AP=t，QAP=60，点Q的纵坐标为tsin60=t，S=tt=t2当2t3时，如图1：此时点Q在AD的延长线上，点P在OA上，设QP与DC交于点H，DCAP，QDH=QAP=QHD=QPA=60，QDH是等边三角形，S=SQAPSQDH，QA=t，SQAP=t2QD=t2，SQDH=（t2）2，S=t2（t2）2=t图1当3t4时，如图2：此时点Q在AD的延长线上，点P在线段OB上，设QP与DC交于点E，与OC交于点F，过点Q作AP的垂涎，垂足为G，OP=t3，FPO=60，OF=OPtan60=（t3），SFOP=（t3）（t3）=（t3）2，S=SQAPSQDESFOP，SQAPSQDE=tS=t（t3）2=t2+4t综上所述，S与t之间的函数关系式为S=图2图3图4（3）OC=，OA=3，OAOC，则OAC是含30的直角三角形当AMO以AMO为直角的直角三角形时；如图3：过点M2作AO的垂线，垂足为N，M2AO=30，AO=3，M2O=，又OM2N=M2AO=30，ON=OM2=，M2N=ON=，M2的坐标为（，）同理可得M1的坐标为（，）当AMO以OAM为直角的直角三角形时；如图4：以M、O、A为顶点的三角形与OAC相似，=，或=，OA=3，AM=或AM=3，AMOA，且点M在第二象限，点M的坐标为（3，）或（3，3）综上所述，符合条件的点M的所有可能的坐标为（3，），（3，3），（，），（，）5（2015绵阳）如图，在边长为2的正方形ABCD中，G是AD延长线时的一点，且DG=AD，动点M从A点出发，以每秒1个单位的速度沿着ACG的路线向G点匀速运动（M不与A，G重合），设运动时间为t秒，连接BM并延长AG于N（1）是否存在点M，使ABM为等腰三角形？若存在，分析点M的位置；若不存在，请说明理由；（2）当点N在AD边上时，若BNHN，NH交CDG的平分线于H，求证：BN=HN；（3）过点M分别作AB，AD的垂线，垂足分别为E，F，矩形AEMF与ACG重叠部分的面积为S，求S的最大值 （1）解：存在；当点M为AC的中点时，AM=BM，则ABM为等腰三角形；当点M与点C重合时，AB=BM，则ABM为等腰三角形；当点M在AC上，且AM=2时，AM=AB，则ABM为等腰三角形；当点M为CG的中点时，AM=BM，则ABM为等腰三角形；（2）证明：在AB上截取AK=AN，连接KN；如图1所示：四边形ABCD是正方形，ADC=90，AB=AD，CDG=90，BK=ABAK，ND=ADAN，BK=DN，DH平分CDG，CDH=45，NDH=90+45=135，BKN=180AKN=135，BKN=NDH，在RtABN中，ABN+ANB=90，又BNNH，即BNH=90，ANB+DNH=180BNH=90，ABN=DNH，在BNK和NHD中，BNKNHD（ASA），BN=NH；（3）解：当M在AC上时，即0t2时，AMF为等腰直角三角形，AM=t，AF=FM=t，S=AFFM=tt=t2；当t=2时，S的最大值=（2）2=2；当M在CG上时，即2t4时，如图2所示：CM=tAC=t2，MG=4t，在ACD和GCD中，ACDGCD（SAS），ACD=GCD=45，ACM=ACD+GCD=90，G=90GCD=45，MFG为等腰直角三角形，FG=MGcos45=（4t）=4t，S=SACGSCMJSFMG=42CMCMFGFG=4（t2）2（4）2=+4t8=（t）2+，当t=时，S的最大值为6（2015抚顺）已知，ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，A点坐标为（6，0），B点坐标为（4，0），点D为BC的中点，点E为线段AB上一动点，连接DE经过点A、B、C三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+8（1）求抛物线的解析式；（2）如图，将BDE以DE为轴翻折，点B的对称点为点G，当点G恰好落在抛物线的对称轴上时，求G点的坐标；（3）如图，当点E在线段AB上运动时，抛物线y=ax2+bx+8的对称轴上是否存在点F，使得以C、D、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由解：（1）抛物线y=ax2+bx+8经过点A（6，0），B（4，0），解得抛物线的解析式是：y=x2x+8（2）如图，作DM抛物线的对称轴于点M，设G点的坐标为（1，n），由翻折的性质，可得BD=DG，B（4，0），C（0，8），点D为BC的中点，点D的坐标是（2，4），点M的坐标是（1，4），DM=2（1）=3，B（4，0），C（0，8），BC=4，在RtGDM中，32+（4n）2=20，解得n=4，G点的坐标为（1，4+）或（1，4）（3）抛物线y=ax2+bx+8的对称轴上存在点F，使得以C、D、E、F为顶点的四边形为平行四边形当CDEF，且点E在x轴的正半轴时，如图，由（2），可得点D的坐标是（2，4），设点E的坐标是（c，0），点F的坐标是（1，d），则解得点F的坐标是（1，4），点E的坐标是（1，0）当CDEF，且点E在x轴的负半轴时，如图，由（2），可得点D的坐标是（2，4），设点E的坐标是（c，0），点F的坐标是（1，d），则解得点F的坐标是（1，4），点E的坐标是（3，0）当CEDF时，如图，由（2），可得点D的坐标是（2，4），设点E的坐标是（c，0），点F的坐标是（1，d），则解得点F的坐标是（1，12），点E的坐标是（3，0）综上，可得抛物线y=ax2+bx+8的对称轴上存在点F，使得以C、D、E、F为顶点的四边形为平行四边形，点F的坐标是（1，4）、（1，4）或（1，12）二、双动点1（2015辽阳）如图，点A是双曲线y=在第二象限分支上的一个动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为底作等腰ABC，且ACB=120，点C在第一象限，随着点A的运动，点C的位置也不断变化，但点C始终在双曲线y=上运动，则k的值为（）A1 B2 C3D4解：连接CO，过点A作ADx轴于点D，过点C作CEx轴于点E，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为底作等腰ABC，且ACB=120，COAB，CAB=30，则AOD+COE=90，DAO+AOD=90，DAO=COE，又ADO=CEO=90，AODOCE，=tan60=，则=3，点A是双曲线y=在第二象限分支上的一个动点，|xy|=ADDO=6=3，k=ECEO=1，则ECEO=2选：B2.（2015衢州）如图，在ABC中，AB=5，AC=9，SABC=，动点P从A点出发，沿射线AB方向以每秒5个单位的速度运动，动点Q从C点出发，以相同的速度在线段AC上由C向A运动，当Q点运动到A点时，P、Q两点同时停止运动，以PQ为边作正方形PQEF（P、Q、E、F按逆时针排序），以CQ为边在AC上方作正方形QCGH（1）求tanA的值；（2）设点P运动时间为t，正方形PQEF的面积为S，请探究S是否存在最小值？若存在，求出这个最小值，若不存在，请说明理由；（3）当t为何值时，正方形PQEF的某个顶点（Q点除外）落在正方形QCGH的边上，请直接写出t的值 解：（1）如图1，过点B作BMAC于点M，AC=9，SABC=，ACBM=，即9BM=，解得BM=3由勾股定理，得AM=4，则tanA=；（2）存在如图2，过点P作PNAC于点N依题意得AP=CQ=5ttanA=，AN=4t，PN=3tQN=ACANCQ=99t根据勾股定理得到：PN2+NQ2=PQ2，S正方形PQEF=PQ2=（3t）2+（99t）2=90t2162t+81（0t）= 在t的取值范围之内，S最小值=；（3）如图3，当点E在边HG上时，t1=；如图4，当点F在边HG上时，t2=；如图5，当点P边QH（或点E在QC上）时，t3=1如图6，当点F边C上时，t4=3（2015大连）如图1，在ABC中，C=90，点D在AC上，且CDDA，DA=2，点P，Q同时从点D出发，以相同的速度分别沿射线DC、射线DA运动，过点Q作AC的垂线段QR，使QR=PQ，连接PR，当点Q到达点A时，点P，Q同时停止运动设PQ=x，PQR与ABC重叠部分的面积为S，S关于x的函数图象如图2所示（其中0x，xm时，函数的解析式不同）（1）填空：n的值为；（2）求S关于x的函数关系式，并写出x的取值范围解：（1）如图1，当x=时，PQR与ABC重叠部分的面积就是PQR的面积，PQ=，QR=PQ，QR=，n=S=（）2=（2）如图2，根据S关于x的函数图象，可得S关于x的函数表达式有两种情况：当0x时，S=PQRQ=x2，当点Q点运动到点A时，x=2AD=4，m=4当x4时，S=SAPFSAQE=APFGAQEQ，AP=2+，AQ=2，AQEAQ1R1，QE=，设FG=PG=a，AGFAQ1R1，AG=2+a，a=，S=SAPFSAQE=APFGAQEQ=（2）（2）（2）（2）=x2+S=x2+综上，可得S=4（2015宿迁）已知：O上两个定点A，B和两个动点C，D，AC与BD交于点E（1）如图1，求证：EAEC=EBED；（2）如图2，若=，AD是O的直径，求证：ADAC=2BDBC；（3）如图3，若ACBD，点O到AD的距离为2，求BC的长（1）证明：EAD=EBC，BCE=ADE，AEDBEC，EAEC=EBED；（2）证明：如图2，连接CD，OB交AC于点FB是弧AC的中点，BAC=ADB=ACB，且AF=CF=0.5AC又AD为O直径，ABC=90，又CFB=90CBFABD，故CFAD=BDBCACAD=2BDBC；（3）解：如图3，连接AO并延长交O于F，连接DF，AF为O的直径，ADF=90，过O作OHAD于H，AH=DH，OHDF，AO=OF，DF=2OH=4，ACBD，AEB=ADF=90，ABD=F，ABEADF，1=2，BC=DF=45（2015荆门）如图，在矩形OABC中，OA=5，AB=4，点D为边AB上一点，将BCD沿直线CD折叠，使点B恰好落在边OA上的点E处，分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系（1）求OE的长及经过O，D，C三点抛物线的解析式；（2）一动点P从点C出发，沿CB以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时动点Q从E点出发，沿EC以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当点P到达点B时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，DP=DQ；（3）若点N在（1）中抛物线的对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出M点坐标；若不存在，请说明理由解：（1）CE=CB=5，CO=AB=4，在RtCOE中，OE=3，设AD=m，则DE=BD=4m，OE=3，AE=53=2，在RtADE中，由勾股定理可得AD2+AE2=DE2，即m2+22=（4m）2，解得m=，D（，5），C（4，0），O（0，0），设过O、D、C三点的抛物线为y=ax（x+4），5=a（+4），解得a=，抛物线解析式为y=x（x+4）=x2+x；（2）CP=2t，BP=52t，在RtDBP和RtDEQ中，DBPDEQ（HL），BP=EQ，52t=t，t=；（3）抛物线的对称为直线x=2，设N（2，n），又由题意可知C（4，0），E（0，3），设M（m，y），当EN为对角线，即四边形ECNM是平行四边形时，则线段EN的中点横坐标为=1，线段CM中点横坐标为，EN，CM互相平分，=1，解得m=2，又M点在抛物线上，y=22+2=16，M（2，16）；当EM为对角线，即ECMN是平行四边形时，则线段EM的中点横坐标为，线段CN中点横坐标为=3，EN，CM互相平分，=3，解得m=6，又M点在抛物线上，y=（6）2+（6）=16，M（6，16）；当CE为对角线，即四边形EMCN是平行四边形时，则M为抛物线的顶点，即M（2，）综上可知，存在满足条件的点M，其坐标为（2，16）或（6，16）或（2，）三、面动探究1.（2015青岛）已知，如图，在ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，ACAB，ACD沿AC的方向匀速平移得到PNM，速度为1cm/s；同时，点Q从点C出发，沿CB方向匀速移动，速度为1cm/s，当PNM停止平移时，点Q也停止移动，如图，设移动时间为t（s）（0t4），连接PQ，MQ，MC，解答下列问题：（1）当t为何值时，PQMN？（2）设QMC的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t，使SQMC：S四边形ABQP=1：4？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由（4）是否存在某一时刻t，使PQMQ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由解：（1）在RtABC中，AC=4，由平移得MNAB，PQMN，PQAB，=，=，t=，（2）过点P作PDBC于D，CPDCBA，=，=，PD=t，PDBC，SQMC=SQPC，y=SQMC=QCPD=t（t）=tt2（0t4），（3）SQMC：S四边形ABQP=1：4，SQPC：S四边形ABQP=1：4，SQPC：SABC=1：5，（tt2）：6=1：5，t=2，（4）若PQMQ，则PQM=PDQ，MPQ=PQD，PDQMQP，=，PQ2=MPDQ，PD2+DQ2=MPDQ，CD=，DQ=CDCQ=t=，（）2+（）2=5，t1=0（舍去），t2=，t=时，PQMQ2（2015徐州）如图，平面直角坐标系中，将含30的三角尺的直角顶点C落在第二象限其斜边两端点A、B分别落在x轴、y轴上，且AB=12cm（1）若OB=6cm求点C的坐标；若点A向右滑动的距离与点B向上滑动的距离相等，求滑动的距离；（2）点C与点O的距离的最大值=12 cm解：（1）过点C作y轴的垂线，垂足为D，如图1：在RtAOB中，AB=12，OB=6，则BC=6，BAO=30，ABO=60，又CBA=60，CBD=60，BCD=30，BD=3，CD=3，所以点C的坐标为（3，9）；设点A向右滑动的距离为x，根据题意得点B向上滑动的距离也为x，如图2：AO=12cosBAO=12cos30=6AO=6x，BO=6+x，AB=AB=12在AO B中，由勾股定理得，（6x）2+（6+x）2=122，解得：x=6（1），滑动的距离为6（1）；（2）设点C的坐标为（x，y），过C作CEx轴，CDy轴，垂足分别为E，D，如图3：则OE=x，OD=y，ACE+BCE=90，DCB+BCE=90，ACE=DCB，又AEC=BDC=90，ACEBCD，即，y=x，OC2=x2+y2=x2+（x）2=4x2，取AB中点D，连接CD，OD，则CD与OD之和大于或等于CO，当且仅当C，D，O三点共线时取等号，此时CO=CD+OD=6+6=12，故答案为：12第二问方法二：因角C与角O和为180度，所以角CAO与角CBO和为180度，故A，O，B，C四点共圆，且AB为圆的直径，故弦CO的最大值为123（2015深圳）如图1，水平放置一个三角板和一个量角器，三角板的边AB和量角器的直径DE在一条直线上，AB=BC=6cm，OD=3cm，开始的时候BD=1cm，现在三角板以2cm/s的速度向右移动（1）当B与O重合的时候，求三角板运动的时间；（2）如图2，当AC与半圆相切时，求AD；（3）如图3，当AB和DE重合时，求证：CF2=CGCE （1）解：由题意可得：BO=4cm，t=2（s）；（2）解：如图2，连接O与切点H，则OHAC，又A=45，AO=OH=3cm，AD=AODO=（33）cm；（3）证明：如图3，连接EF，OD=OF，ODF=OFD，DE为直径，ODF+DEF=90，DEC=DEF+CEF=9