2008年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题.doc

万学教育公共课事业部芁薅袄袂膇蚄薄肇肃蚃蚆袀莂蚃螈肆莈蚂羁袈芄蚁蚀膄膀蚀螃羇蒈虿袅膂莄蚈羇羅芀螇蚇膀膆莄蝿羃肂莃袁腿蒁莂蚁羁莇莁螃芇芃莀袆肀腿莀羈袃蒈荿蚈肈莄蒈螀袁芀蒇袂肆膆蒆薂衿肂蒅螄肅蒀蒄袇羇莆蒄罿膃节蒃虿羆膈蒂螁膁肄薁袃羄莃薀薃膀艿蕿蚅羂膅薈袇芈膁薈羀肁葿薇虿袃莅薆螂聿芁薅袄袂膇蚄薄肇肃蚃蚆袀莂蚃螈肆莈蚂羁袈芄蚁蚀膄膀蚀螃羇蒈虿袅膂莄蚈羇羅芀螇蚇膀膆莄蝿羃肂莃袁腿蒁莂蚁羁莇莁螃芇芃莀袆肀腿莀羈袃蒈荿蚈肈莄蒈螀袁芀蒇袂肆膆蒆薂衿肂蒅螄肅蒀蒄袇羇莆蒄罿膃节蒃虿羆膈蒂螁膁肄薁袃羄莃薀薃膀艿蕿蚅羂膅薈袇芈膁薈羀肁葿薇虿袃莅薆螂聿芁薅袄袂膇蚄薄肇肃蚃蚆袀莂蚃螈肆莈蚂羁袈芄蚁蚀膄膀蚀螃羇蒈虿袅膂莄蚈羇羅芀螇蚇膀膆莄蝿羃肂莃袁腿蒁莂蚁羁莇莁螃芇芃莀袆肀腿莀羈袃蒈荿蚈肈莄蒈螀袁芀蒇袂肆膆蒆薂衿肂蒅螄肅蒀蒄袇羇莆蒄罿膃节蒃虿羆膈蒂螁膁肄薁袃羄莃薀薃膀艿蕿蚅羂膅薈袇芈膁薈羀肁葿薇虿袃莅薆螂聿芁薅袄袂膇蚄薄肇肃蚃蚆袀莂蚃螈肆莈蚂羁袈芄蚁蚀膄膀蚀螃羇蒈虿袅膂莄蚈羇羅芀螇蚇膀膆莄蝿羃肂莃袁腿蒁莂蚁羁莇莁螃芇芃莀袆肀腿莀羈袃蒈 2008年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题：18小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内。（1）设函数则的零点个数（ ）01 23（2）函数在点处的梯度等于（ ） - （3）在下列微分方程中，以（为任意常数）为通解的是（ ）.（4）设函数在内单调有界，为数列，下列命题正确的是（ ）若收敛，则收敛. 若单调，则收敛.若收敛，则收敛.若单调，则收敛.（5）设为阶非零矩阵，为阶单位矩阵. 若，则（ ）不可逆，不可逆.不可逆，可逆.可逆，可逆. 可逆，不可逆. （6）设为3阶实对称矩阵，如果二次曲面方程在正交变换下的标准方程的图形如图，则的正特征值个数为（ ）0.1.2.3. （7）设随机变量独立同分布且分布函数为，则分布函数为（ ） . . . . （8）设随机变量，且相关系数，则（ ） . 二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9）微分方程满足条件的解是. （10）曲线在点处的切线方程为.（11）已知幂级数在处收敛，在处发散，则幂级数的收敛域为.（12）设曲面是的上侧，则.（13）设为2阶矩阵，为线性无关的2维列向量，则的非零特征值为.（14）设随机变量服从参数为1的泊松分布，则.三、解答题：1523小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)（本题满分10分）求极限.(16)（本题满分10分） 计算曲线积分，其中是曲线上从点到点的一段.(17)（本题满分10分）已知曲线，求曲线距离面最远的点和最近的点.(18)（本题满分10分）设是连续函数，（1）利用定义证明函数可导，且；（2）当是以2为周期的周期函数时，证明函数也是以2为周期的周期函数. (19)（本题满分10分），用余弦级数展开，并求的和.(20)（本题满分11分），为的转置，为的转置.（1）证；（2）若线性相关，则.（21）（本题满分11分）设矩阵，现矩阵满足方程，其中，（1）求证（2）为何值，方程组有唯一解，求（3）为何值，方程组有无穷多解，求通解（22）（本题满分11分）设随机变量与相互独立，的概率分布为，的概率密度为，记（1）求（2）求的概率密度（23）（本题满分11分） 设是总体为的简单随机样本.记， （1）证 是的无偏估计量.（2）当时 ，求.2008年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、选择题(1)【答案】【详解】，即是的一个零点又，从而单调增加（）所以只有一个零点.(2)【答案】【详解】因为，所以，所以 (3)【答案】 【详解】由微分方程的通解中含有、知齐次线性方程所对应的特征方程有根，所以特征方程为，即. 故以已知函数为通解的微分方程是(4)【答案】【详解】因为在内单调有界，且单调. 所以单调且有界. 故一定存在极限(5)【答案】【详解】，故均可逆(6)【答案】【详解】图示的二次曲面为双叶双曲面，其方程为，即二次型的标准型为，而标准型的系数即为的特征值.(7)【答案】【详解】(8)【答案】 【详解】 用排除法. 设，由，知道正相关，得，排除、由，得 所以 所以. 排除. 故选择二、填空题(9) 【答案】【详解】由，两端积分得，所以，又，所以.(10) 【答案】【详解】设，则，将代入得，所以切线方程为，即(11)【答案】【详解】幂级数的收敛区间以为中心，因为该级数在处收敛，在处发散，所以其收敛半径为2，收敛域为，即时级数收敛，亦即的收敛半径为2，收敛域为. 则的收敛半径为2，由得，即幂级数的收敛域为(12)【答案】【详解】加的下侧，记与所围空间区域为，则(13)【答案】1【详解】记，则因为线性无关，所以可逆. 从而，即与相似.由，得及为的特征值.又相似矩阵有相同的特征值，故的非零特征值为1.(14)【答案】【详解】由，得，又因为服从参数为1的泊松分布，所以，所以，所以 袈膇薇袃袇艿莀蝿袆莂薆蚅袅肁莈薁羅膄薄衿羄芆莇螅羃莈薂蚁羂膈莅蚇羁芀蚀薃羀莂蒃袂罿肂虿螈罿膄蒂蚄肈芇蚇薀肇荿蒀衿肆聿芃袅肅芁蒈螁肄莃莁蚆肃肃薆薂肃膅荿袁肂芈薅螇膁莀莈蚃膀聿薃蕿腿膂莆羈膈莄薁袄膇蒆蒄螀膇膆蚀蚆螃芈蒂薂螂莁蚈袀螁肀蒁螆袁膃蚆蚂袀芅葿薈衿蒇节羇袈膇薇袃袇艿莀蝿袆莂薆蚅袅肁莈薁羅膄薄衿羄芆莇螅羃莈薂蚁羂膈莅蚇羁芀蚀薃羀莂蒃袂罿肂虿螈罿膄蒂蚄肈芇蚇薀肇荿蒀衿肆聿芃袅肅芁蒈螁肄莃莁蚆肃肃薆薂肃膅荿袁肂芈薅螇膁莀莈蚃膀聿薃蕿腿膂莆羈膈莄薁袄膇蒆蒄螀膇膆蚀蚆螃芈蒂薂螂莁蚈袀螁肀蒁螆袁膃蚆蚂袀芅葿薈衿蒇节羇袈膇薇袃袇艿莀蝿袆莂薆蚅袅肁莈薁羅膄薄衿羄芆莇螅羃莈薂蚁羂膈莅蚇羁芀蚀薃羀莂蒃袂罿肂虿螈罿膄蒂蚄肈芇蚇薀肇荿蒀衿肆聿芃袅肅芁蒈螁肄莃莁蚆肃肃薆薂肃膅荿袁肂芈薅螇膁莀莈蚃膀聿薃蕿腿膂莆羈膈莄薁袄膇蒆蒄螀膇膆蚀蚆螃芈蒂薂螂莁蚈袀螁肀蒁螆袁膃蚆蚂袀芅葿薈衿蒇节羇袈膇薇袃袇艿莀蝿袆莂薆蚅袅肁莈薁羅膄薄衿羄芆莇