小学五年级奥数下册教案：同余的概念和性质教案.doc

小学五年级奥数下册教案：同余的概念和性质你会解答下面的问题吗？ 问题1：今天是星期日，再过15天就是“六一”儿童节了，问“六一”儿童节是星期几？ 这个问题并不难答.因为，一个星期有7天，而157=21，即1572+1，所以“六一”儿童节是星期一。 问题2：1993年的元旦是星期五，1994年的元旦是星期几？ 这个问题也难不倒我们.因为，1993年有365天，而365=752+1，所以1994年的元旦应该是星期六。 问题1、2的实质是求用7去除某一总的天数后所得的余数.在日常生活中，时常要注意两个整数用某一固定的自然数去除，所得的余数问题.这样就产生了“同余”的概念.如问题1、2中的15与365除以7后，余数都是1，那么我们就说15与365对于模7同余。 同余定义：若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为： ab（modm）. （*） 上式可读作： a同余于b，模m。 同余式（*）意味着（我们假设ab）： a-b=mk，k是整数，即m（a-b）. 例如：15365（mod7），因为365-15=350=750。 5620（mod9），因为56-20=3694。900（mod10），因为90-090=109。 由例我们得到启发，a可被m整除，可用同余式表示为：a0（modm）。 例如，表示a是一个偶数，可以写 a0（mod 2） 表示b是一个奇数，可以写 b1（mod 2） 补充定义：若m（a-b），就说a、b对模m不同余，用式子表示是： ab（modm） 我们书写同余式的方式，使我们想起等式，而事实上，同余式与等式在其性质上相似.同余式有如下一些性质（其中a、b、c、d是整数，而m是自然数）。 性质1：aa（mod m），（反身性） 这个性质很显然.因为a-a=0=m0。 性质2：若ab（mod m），那么ba（mod m），（对称性）。 性质3：若ab（mod m），bc（mod m），那么ac（mod m），（传递性）。 性质4：若ab（mod m），cd（mod m），那么acbd（mod m），（可加减性）。 性质5：若ab（mod m），cd（mod m），那么acbd（mod m）（可乘性）。 性质6：若ab（mod m），那么anbn（mod m），（其中n为自然数）。 性质7：若acbc（mod m），（c，m）=1，那么ab（mod m），（记号（c，m）表示c与m的最大公约数）。 注意同余式性质7的条件（c，m）1，否则像普通等式一样，两边约去，就是错的。 例如610（mod 4），而35（mod 4），因为（2，4）1。 请你自己举些例子验证上面的性质。 同余是研究自然数的性质的基本概念，是可除性的符号语言。 例1 判定288和214对于模37是否同余，74与20呢？ 解：288-214=74=372。 288214（mod37）。 74-20=54，而3754， 7420（mod37）。 例2 求乘积4188141616除以13所得的余数。分析 若先求乘积，再求余数，计算量太大.利用同余的性质可以使“大数化小”，减少计算量。 解：4182（mod13）， 8148（mod13），16164（mod13）， 根据同余的性质5可得： 41881416162846412（mod13）。 答：乘积4188141616除以13余数是12。 例3 求14389除以7的余数。 分析 同余的性质能使“大数化小”，凡求大数的余数问题首先考虑用同余的性质化大为小.这道题先把底数在同余意义下变小，然后从低次幂入手，重复平方，找找有什么规律。 解法1：1433（mod7） 14389389（mod 7） 8964+16+8+1 而322（mod 7）， 344（mod7）， 38162（mod 7）， 3164（mod 7）， 332162（mod 7）， 3644（mod 7）。 38936431638344235（mod 7）， 143895（mod 7）。 答：14389除以7的余数是5。 解法2：证得14