物理奥赛复赛模拟题(三)与答案.doc

物理奥赛复赛模拟题(三)与答案 题一：请分析解答下列几个相对论问题：（1）试导出动量恒定的粒子体系，当所有粒子以相同速度、沿相同一个方向运动时，其相对论性总能量达最小值。（2）一个高能光子可产生一个正负电子对（e-e+）。电子对产生是狄拉克（1928年）预言的，要求利用动量和能量守恒定律证明只有当有另一粒子参与作用时，才有可能产生电子对。（3）一个静止电子的在库仑场中产生电子对，求有可能产生这过程的光子的最小能量（阈值）。（4）电子对e-e+）的产生作为光子和极端相对论性的电子相互作用的结果，电子沿光子相反方向运动。如果已知光子的阈能E1=10eV，求：电子的能量。分析与解答：（1）孤立粒子系的总动量、总能量和测量它们时所用的参考系有关。但是 这个物理量在所有惯性参考系是相同的，这称为相对论不变性，在质心参考系： ，因此 当在质心参考系（ 系）中，总能量 有最小值时，在实验室参考系（ 系）中，给定动量 ，能量 有最小值。 式中 和 是第 个粒子的静质量和动能。因为 总是为正（或零），当 时， 是最小值，即当在实验室参考系中，所有粒子具有相同速度沿直线运动时，其速度和质心的速度相等。（2）如果没有第三者参与此过程，则在电子对产生过程中能量和动量不可能同时守恒，有第三粒子参与时，电子对产生的过程可能发生，见下文。（3）当反应后三个粒子沿光子方向运动并具有相同的动量时，光子的能量将为最小值（参见解答（1）。 根据动量和能量守恒定律，可得 (1)式中 为光子的动量 (2)式中 为每一粒子的总能量， 为电子的静能。根据相对论不变性 (3) (4)利用等式(2)，将(3)式和(4)式代入(1)式，得 (5)对于电子， ，阈能 。（4）在实验室参考系中电子的速度接近光速，我们在随电子运动的动力学参考系来考察此问题，其中电子是静止的，对于动量和能量，我们利用洛仑兹变换，可得在此参考系光子的能量为 (6)式中 和 为在实验室参考系中光子的能量和动量。(6)式分子上的符号“+”表示光子和电子运动相反，将 ， ， 代入(6)式，可得 (7)当 （超相对论性电子），有 (8)电子的总能量为 (9)用(8)式除以(9) 式，可得 (10) （在动力学参考系中的阈能） ； 从(10)式可得 题2：两滑块A1和A2叠放在水平的桌面上，如图11-12所示，已知A1的质量为m1，A2的质量为m2，A2与桌面间的静摩擦系数为2，设用1表示A1与A2间的静摩擦系数，F表示作用于滑块A1上的水平拉力，则当1和F各取各种不同值时，A1与A2可能发生的运动情况有下列四种：（1）A2相对于桌面滑动，但A1与A2相对静止。（2）A2相对于桌面滑动，A1与A2间存在着相对运动。图2(a)图11-13O（3）A2相对于桌面而静止，A1相对于桌面滑动。（4）A1和A2相对于桌面均静止。1分别写出上述各种运动情况中1和F满足的条件（不要求写出运算过程）。 2以横坐标表示1，纵坐标表示F，试在F-1图上标出与上述各种运动情况相应的1和F的取值范围。 图2(b)分析与解答：1、（1） （2） （3） （4） ， 2上述各种运动情况相应的 和F的取值范围如图2(b)所示。题3：关于人体能量消耗问题，下表为各种活动热能产生率：活动热能产生率（W）温度变化（没有能量损失）（Chr-1）保持体温不变时水的蒸发（kghr-1）休息751.0轻度工作300适度工作600重度工作12001（1）设人体与水的比热相同，所有产生的热能都能用来提高体温（没有从身体上损失），当休息时每小时温度升高约1.0C，列于上表第二栏中。（2）复制该表，根据第一栏数据，计算其他活动时每小时体温的升高量，列在第二栏。（3）现设体温保持不变，能量仅用来使汗水蒸发，计算汗水的蒸发率，以kg/hr为单位，完成表中的第三栏。（4）这些数据表明，能量被用来蒸发汗水率可能存在最大值，提出一个为什么出现该最大值的理由。（5）现在利用你得到的表，计算所产生每千瓦的热源使体温升高的度数，设没有能量从身体上损失，并计算在保持体温不变时，所产生的每千瓦热能用于蒸发时水的蒸发率。2某一跑马拉松的运动员，质量为65kg，他产生的热能为900W，用了两个半小时跑完全程。（1）假设以最大的蒸发率蒸发汗水，计算该运动员每小时温度升高多少？用所得的结果和所给出的数据解释为什么实际上还有另一些机构从人体内移走能量。（2）另一个从身体耗散热能的机构是，从肺中蒸发的水被呼出体外，如果这是唯一的其他冷却机构，计算要保证体温不超过危险温度41C时该运动员蒸发出的水的质量。（3）计算在整个比赛过程中该运动员共损耗的水量（例如考虑两种机构），并说明脱水的危险。3（1）计算这个马拉松运动员的平均速度（m/s）。（2）假设运动员在空气中运动，使得运动员身体截面前的空气运动，估算每秒有多少质量的空气运动。（3）假设带动的空气与运动员具有相同的速率，计算：每秒钟他传递给空气的动能。为在空气中跑动，他必须提供的功率。通过空气中，他所受的力。4食物的新陈代谢和热耗散的速率随体温增加，解释为什么这能被描述为正反馈，简单地讨论可能的结果。公式 比热容= 蒸发的潜热= 数据：人体平均质量：65kg。马拉松的全程：42km开始马拉松前平均体温:37C从身体表面蒸发而耗散能量最大可能值为650W。身体在41C以上停止正常功能。若由蒸发而损失的质量达人体质量的5%以上，出现严重脱水。水的比热容：4200Jkg-1K-1。35C45C之间的平均蒸发潜热e为： 。空气密度： 。分析与解答：1、（1）（2）设“有效人体质量”为 ，由 （其他不损耗能量） 轻度工作： 适度工作： 重度工作： （3）当令 ， 休息时： 轻度工作： 适度工作： 重度工作： （不能用1200W，要考虑人体最大蒸发率为650W）（4）蒸发与人体和环境的温差有关，一般这个温度不会变化太大，所以在人体表面温度不变，温差达最大值时蒸发率也就出现最大值。（5）（1） （2） 2（1）用来蒸发的功率为650W，用于升温的功率为900-650=250（W）每小时升温： （2）设全程用于升温的功率为 肺中蒸发水的功率为 900-650-120=130（W）该运动员全程通过肺呼出的质量 （3）整个比赛过程中共损耗的水量 因2.94kg =3.25kg，没有脱水的危险。3（1） （2）设人体截面积约A=1.30m（身高）0.4m（平均身宽）=0.72m2，则每秒带动空气质量=0.724.671.3=4.37(kg)。（3） 4人体耗散的热量一部分提高温度，一部分蒸发汗水。温度升高，加速了食物的新陈代谢，从而产生更多的热能，这又会促进温度进一步提高，又使新陈代谢加快，故这过程是正反馈，其结果将使温度超过41C危险温度（因为靠蒸发散热有一最大值）。使身体正常功能停止。题4：一个直立的圆筒形容器，内装有处于热平衡状态的一种分子气体，筒的上盖是一个可以自由上下移动的玻璃板，假设无气体泄漏，并假设玻璃板与筒壁之间的摩擦力恰可消除振动，但其能量损失比起其他能量来又可忽略，起初，气体温度等于环境温度，筒内气体可以认为是理想气体。假设圆筒(包括上盖和筒底)的热导率和热容量均很小，因此，气体和外界的热传递很缓慢，在解本题时可以忽略。一束由功率固定的激光器发射的光穿透玻璃板照入圆筒，此光辐射很容易无吸收地穿过空气和玻璃板，却被筒内气体完全吸收。吸收辐射能后，筒内气体分子进到激发态，接着它们又很快放出红外辐射，逐步回到分子的基态，这种红外辐射又为其他分子吸收，并被筒壁、筒底和玻璃板反射。因此，从激光器中吸收的能量在很短的时间内就转化为热运动(分子混沌)，随后较长时间地保留在气体中，我们观察到玻璃板向上运动，在辐照一定时间后，关掉激光器，测量玻璃板的位移。(1)用题后的数据(必要的话，还可用附录的物理常数表)计算辐照后气体的温度和压强。(2)计算气体吸收辐射后所做的机械功。(3)计算在辐照过程中气体所吸收的辐射能。(4)计算被气体吸收的辐射功率以及相应的单位时间内的光子数。(5)计算光能转化为玻璃板的机械势能这一能量转化过程的效率。然后把圆筒慢慢旋转90，使其成水平方向，仍设气体和容器间的热交换可以忽略。(6)说明这样旋转后气体的压强和温度是否会改变？如果改变了，新的值是多少？数据：室内大气压强： 室温： 玻璃板质量： 筒内气体的量： n=0.100mol气体等容摩尔比热 圆筒的内直径： 2r=100mm激光波长： 辐照时间： 辐照后玻璃板的位移: 分析与解答：按题意可知，气体对外所做功和气体内能增量均来自气体所吸收的辐射能，另在容器旋转这一绝热过程中遵循 =常数，利用气态方程和热力学第一定律本题即可求解。(1)平衡时，筒内压强p必须等于室内压强加上由可移动的盖子产生的压强这在辐射之前和辐射之后均如此。开始时，气体温度为室内温，由理想气体状态方程知，开始时气体体积为 (R是气体常数)，因此，气体所占有筒形容器高度 为 辐照后，此高度变为h2=h1+ ，因此新的温度为数值结果为： (2)气体对抗盖子重量做的机械功为 ，对抗室内压强做的功为 ，因此总的功为(3)由于温度改变，气体内能的改变量为 ，在辐照的 时间内送入系统的热量为此热量纯由吸收光辐射而来，因此与吸收的光能一致，Q=84J，利用等压过程也可得到同样结果(4)因为激光器的功率是恒定的，因此吸收的光的功率为每一个光子的能量为 ，因此单位时间吸收的光子数为(5)势能的改变等于对盖子重量所做的机械功，因此能量转换的效率 为(6)柱形容器倒下，这是一个绝热过程，而压强由p变为p0，温度变为新的值T3，绝热变换过程中， =常数，利用气态方程我们可得即 其中 最后 题5：如图5所示，两根平行金属棒与两金属弹簧构成回路。已知棒长为L，质量为m，只能作左右对称的运动，边缘效应可以忽略。已知弹簧的劲度系数为K，原长为L0（L0L）， 用某种方式使回路有恒定的电流I， 电磁感应可以忽略。求两根棒围绕平衡位置作小振动的周期。图5(a)图5(b)分析与解答：两棒中通有等值反向的电流，彼此间有斥力作用。当弹簧伸缩时又有弹力作用。先确定两根棒的平衡位置。设平衡时，弹簧伸长 ，弹簧长度为 ，两根棒所受弹力 ， 安培力故平衡条件为： （1）即 解出正根 （2）平衡时两根棒的距离 （3）取 轴如图43-20（b），原点O设在右棒的平衡位置。假设右边棒向右偏离小量 ，同时左边棒向左偏离小量 ，即当两根棒相距（ ）时，右边棒受力 令 而 题6：2004年12月26日，印度洋发生特大海啸。全世界为之震惊，纷纷奉献爱心，以资助他们重建家园。假设如图6(a)所示，海啸声源S和经历者A都沿x轴正方向运动，相对于地面的速度分别为 ，空气中声音传播的速率为 ，设 ，空气相对地面没有流动。（1）若海啸声源相继发出两个信号，时间间隔为 。请根据发出的这两个声信号从声源传播到经历者的过程，确定经历者接收到这两个声信号的时间间隔 。（2）请利用（1）的结果，推导此情形下观察者接收到的声波频率与声源发出的声波频率间的关系。图6(a)分析与解答：（1）设 为声源S发出两个信号的时刻， 、 为经历者接收两个信号的时刻，则第一个信号经过( -t1)时间被经历者A接收到，第二个信号经过（ -t2）时间被经历者A收到，且 设声源发出第一个信号时，S、A两点间的距离为L，两个声信号从声源传播到经历者的过程中，它们运动的距离关系如图6(b)所示,可得： 图6(b)由以上各式得： （2）设声源发出声波的振动周期为T，这样，由以结论，经历者接收到的声波振动的周期： 由此可得，观察者接收到声波频率与声源发出声波频率间的关系为： 题7：想讨论地球外洋潮汐的某些数值特征，为使问题简化，作如下假设：（1）地球和月球组成一个封闭系统；（2）月球到地球的距离为一常量；（3）地球完全由海洋覆盖；（4）地球绕其轴自转的动力学影响被略去；（5）地球提供的万有引力等于地球质量全部集中于地球中心时提供的万有引力。参考数据：地球质量： 月球质量： 地、月的中心间距： 万有引力常量： 地球半径： 1月球和地球以相同的角速度围绕系统质心C作圆周运动，试求地球中心到C的距离 的数值，并确定数值。地球到月球如图7在P平面 ， P平面现在取这样一个参照系，此参照系与地球、月球中心一起同步地围绕系统的统质心C旋转，在这一参照系中，地球的液体表面形状保持不变。此参照系内与转轴垂直过质心C的平面P中，地球液体表面上质点的位置可用极坐标量r，表述，如图7所示，其中r是到地球中心距离。在后面的讨论中，地球液体表面在P平面内的形状将表述为 r()=R+h() 式中R为地球半径。2在平面P中，考虑在地球液体表面上质量为m的一个质点，在所取参照系中，此质点受惯性离心力和月球、地球引力的作用。求：与这三个力相应的总势能表达式。注意：相应于坐标原点的任何一种球对称径向为F（r），是对一个球对称势能U（r）求导数的负值，即当r趋近于零时有：图7(a) 3用已给出的M， 诸量，给出潮面的高度 h()的近似表述式。试问：最高涨潮位和最低落潮位之间的高度差为多少米？解答本小问时，可利用下述近似展开式： 分析与解答：1、系统质心C与地球中心的间距 满足如下关系式： 解得 将有关数据代入后，可算得 此值小于地球半径R，因此系统质心C位于地球内部。地球绕C作圆周运动所需向心力由月球万有引力提供，即有 由此解得 将有关数据代入后，可算得 （对应的旋转周期为 ）2地球液体表面上质量为m质点所具有的势能包括如下三项：（1）在转动参照系中的离心势能 其中 为质点到系统质心C的距离。此项势能对应的力是惯性离心力 ，（2）地球的万有引力势能图7(b) （3）月球的万有引力势能 其中 为质点到月球中心的距离。在P平面中质点m的极坐标r，如图7(b)所示，图中各种量有如下关系：质点m的总势能为 其中 3因r/L1，可利用题文所给近似展开式，得 将它代入到U（r,）表述式，可得 因 所以 于是有因， ，L均为常量，故可引入新的势能函数U（r,），使得 作如下近似计算： 便有 利用 可得 其中 为第二次引入的新势能函数。考虑到 所以 /m表述式中第一项和第四项相对第二项均可略，便有 地球液体表面为等势面，在表面上U（r,）/m为常量，从面 /m， /m也都是常量。设后一常量为C，则有h()的下述相对表述